基于過程教育的“多邊形”課例及點評

周海　鄔云德

[摘 要] 本文根據“多邊形（第2課時）”的教學目標，通過“過程教育”指導下的多次螺旋式教學探索與反思，以及初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法能落實其全面、和諧的教學目標.

[關鍵詞] 過程教育；多邊形；教學探索；教學點評

課例背景

“過程教育”是旨在滿足學生全面、持續、和諧發展的需要，關注數學結果形成、應用的過程和獲得數學結果（或解決問題）之后反思過程的育人活動. 浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊“4.1多邊形（第2課時）”是認識多邊形的繼續——從三角形、四邊形的內角和與外角和定理到n邊形（n≥5）的內角和與外角和定理，其主要教學目標是：探索多邊形的內角和；能發現并證明多邊形內角和與外角和公式；能感悟蘊涵的類比思想、歸納思想、化歸思想等；參與嘗試知識應用的活動；會用多邊形內角和與外角和公式解決簡單的幾何問題；能積淀用數學知識解決問題的數學活動經驗. 那應選擇怎樣的載體和運用怎樣的方法以落實其全面、和諧的教學目標呢？筆者在過程教育指導下多次螺旋式教學探索與反思的基礎上，將形成的教學經驗在象山縣骨干教師帶徒活動中進行了再實踐，得到了同仁的認可，現將其整理出來，以饗讀者.

教學實錄

環節1：經歷提出問題的過程——明確研究的問題

師：我們知道，三角形的內角和是180°，外角和是360°；四邊形的內角和是360°，外角和是360°. 那n邊形（n≥5）的內角和與外角和分別是多少呢？這節課我們就來探討這個問題（揭示課題）.

環節2：探索多邊形的內角和——形成多邊形的內角和定理

師：現在請大家用適當的方法探究并填寫表1.

（約3分鐘后）

師：大家從表中能得到什么結論？

生1：n邊形從某頂點出發有（n-3）條對角線.

生2：n邊形能劃分成（n-2）個三角形.

生3：n邊形的內角和是（n-2）×180°（n≥3）.

生4：n邊形的外角和是360°.

師：好的. 但從特殊到一般歸納得到的結論不一定正確，需要用推理的方法來證明. 誰能類比證明四邊形內角和定理的方法來證明n邊形內角和的命題？

生5：如圖1，對于n邊形，從某一頂點出發的（n-3）條對角線把n邊形劃分成（n-2）個三角形，所以n邊形的內角和就等于這（n-2）個三角形所有內角之和，即n邊形的內角和等于（n-2）×180°（n≥3）.

師：好的. 你運用了化歸思想——把多邊形問題轉化為三角形問題.

生6：也可用圖2、圖3、圖4的方法，把多邊形問題轉化為三角形問題.

師：非常好！這說明化歸的方法具有多樣性.

師：這樣，我們就證明了這個命題是真命題——n邊形的內角和為（n-2）×180°（n≥3）.

師：這個定理（也稱公式）以后會經常用到.

師：n邊形（n≥3）的外角和是多少？為什么？

生7：n邊形（n≥3）的外角和為360°，因為每一個外角與和它相鄰的內角互補，所以n邊形的外角和（每一個頂點只取一個外角）為n×180°-（n-2）×180°=360°.

師：好的. 這個定理也可以利用圖5來進行直觀解釋……

師：n邊形的n個內角中最多有幾個銳角？為什么？

生8：n邊形最多有三個銳角，因為n邊形的外角和是360°.

師：你的推理完全正確！

環節3：參與嘗試知識應用的活動——合作解答有代表性的問題

師：現在請大家解答下列問題.

問題1：（1）十邊形的內角和是多少？外角和呢？

（2）若n邊形的內角和是1800°，則n=______.

（3）若n邊形的每個外角都等于72°，則n=______.

（約2分鐘后）

師：誰來回答第（1）問？

生9：1440°；360°.

師：好的，誰來回答第（2）問？

生10：12.

師：好的，誰來回答第（3）問？

生11：5.

師：好的，解答上述問題的依據是什么？

生12：解題的依據是多邊形的內角和與外角和定理.

師：不錯，下面請大家合作解答下列問題（課本中的例2）.

問題2：如圖6，若AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，則∠A+∠C+∠E是多少度？

師：請大家先分析解決這個問題的策略.

生13：要求∠A+∠C+∠E的度數，只要分別求出這三個角的度數即可.

生14：不行，因為圖形的變化會引起角度的變化.

師：有道理，這條常規思路不能用于解決本題.

生15：由于6個角的和已知，可以尋找角與角的關系.

師：不錯，這是一種思考的方向.

生16：將六邊形問題轉化為三角形問題.

師：值得思考，這是化歸思想——化復雜圖形為簡單圖形.

師：現在請大家用生15或生16的思路來嘗試解決這個問題.

（約3分鐘后）

師：誰來交流解題過程？

生17：如圖7，連結AD，因為AB∥DE，CD∥AF（已知），所以∠1=∠3，∠2=∠4（兩直線平行，內錯角相等）. 所以∠1+∠2=∠3+∠4，即∠FAB=∠CDE. 同理，∠B=∠E，∠C=∠F. 因為∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠C+∠E=×720°=360°.

生18：如圖8，分別延長AB，CD，EF三邊構成△PQR，因為DE∥AB，所以∠1=∠R，同理，∠2=∠R，所以∠1=∠2. 所以∠CDE=∠FAB. 同理，∠AFE=∠BCD，∠ABC=∠DEF. 因為∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=×720°=360°.endprint

生19：如圖9，分別延長AB，CD，EF三邊構成△PQR，因為DE∥AB，所以∠2=∠R，同理∠1=∠P，∠3=∠Q. 因為∠FAB=∠Q+∠1，∠DEF=∠P+∠2，∠BCD=∠R+∠3，∠P+∠Q+∠R=180°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=2（∠P+∠Q+∠R）=2×180°=360°.

師：好的. 在求解上述問題的過程中，你獲得了哪些數學活動經驗？

生20：解題之前的分析是發現解題思路的關鍵；利用平行線的性質能實現角之間的相互轉化（或能發現角之間的關系）；將復雜圖形轉化為基本圖形是解題的基本策略.

師：非常好！解題之前分析、利用輔助線作橋梁、運用化歸思想等是解題的基本經驗.

環節4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）本節課研究了哪些內容？我們是怎樣研究的？

（2）獲得多邊形內角和定理經歷了哪幾個步驟？

（3）證明多邊形內角和定理的基本策略是什么？

（4）你在學習過程中有何感觸？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師進行評價.

第三，在此基礎上，教師總結本節課的研究方法：發現多邊形內角和定理采用了特殊到一般的歸納方法；證明多邊形內角和定理運用了化歸思想——化未知為已知；化復雜為簡單.

教學點評

根據過程教育的含義，基于過程教育的數學教學需要全面的教學內容、完整的認知過程、和諧的教學方法，本節課的教學操作符合基于過程教育的數學教學基本條件，對促進學生全面、和諧發展有積極的影響.

首先，教學內容體現了全面的教學內容觀. 基于過程教育的數學教學的教學內容應當全面——不僅包括數學結果，也包括數學結果的形成與應用的過程和蘊涵的數學思想方法. 本節課的教學內容體現了全面的教學內容觀，其教學內容不僅包括多邊形內角和與外角和定理，也包括定理的形成與應用的過程，蘊涵的類比思想、歸納思想、化歸思想等，以及用定理解決幾何問題的數學活動經驗. 這是落實其全面、和諧的教學目標的前提.

其次，認知過程體現了完整的認知過程觀. 基于過程教育的數學教學認知過程應當完整——既有認知過程“前半段”，也有認知過程“后半段”. 對整節課來說，認知過程前半段的主要任務是獲得數學結果；認知過程后半段的主要任務是用獲得的數學結果解決具體問題. 對于每個教學環節來說，認知過程前半段是感性到理性的認識過程，以獲得數學結果（或解決問題）；認知過程后半段是理性認識的加深過程，以欣賞數學結果和感悟蘊涵的數學思想方法和積淀蘊涵的數學活動經驗. 本節課體現了完整的認知過程觀——既有多邊形內角和與外角和的探索與證明認知過程，以獲得多邊形內角和與外角和定理；也有獲得定理之后反思的認知過程，以欣賞定理和感悟蘊涵的數學思想等；既有用獲得的定理解決具體問題的認知過程，以鞏固定理和發展智慧技能；也有解決問題之后反思的認知過程，以積淀用定理解決問題的數學活動經驗. 這是落實其全面、和諧的教學目標的關鍵.

第三，教學方法體現了和諧的教學方法觀. 基于過程教育的數學教學方法應當和諧——不僅包括教師準確、清晰、富有啟發性的講解，也包括有助于學生經歷實質性思維過程的價值引導（以好的“題材”為載體、有導學味的問題引導、有啟發性的語言點撥、設置認知提示語、必要的辨析與干預、適時評價與追問等），以激發學生的學習興趣、引發學生的思考、培養學生良好的學習習慣，使學生掌握恰當的學習方法. 本節課的教學方法體現了和諧的教學方法觀，例如，課本中例2的教學（由于上節課的鋪墊，探索并證明多邊形的內角和不是教學難點，求解課本中的例2是教學難點），首先，教師引導學生分析求解策略，以獲得求解思路；其次，教師組織學生探索并交流求解方法，以獲得多樣化的解題方法；第三，教師在總結性講解的基礎上引導學生反思，以積累解題經驗和感悟蘊涵的化歸思想等，這是落實其全面、和諧的教學目標的可靠保證.

總之，在數學教學中要實現知識、技能、能力、態度的完美統一，需要教師增強揭示數學結果所蘊涵的思維活動過程的自覺性，而引導學生經歷實質性思維過程需要教師貫徹啟發式教學思想——以符合“最近發展區”理論的題材為載體，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的教學方法，使學生經歷“過程”中的思維“站點”，從而促進學生全面、和諧的發展.endprint