“三重聯系”在教學設計中的地位和作用

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》的課程總目標提出“三重聯系”，這不僅規定了義務教育數學課程的總目標，而且也為教師的教學設計提供了一個新的視角。以“頻率的穩定性”為例，分析“三重聯系”在數學教學設計中的地位和作用，并由此構建“頻率的穩定性”的教學設計。

【關鍵詞】三重聯系;教學設計;頻率的穩定性

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0015-03

【作者簡介】陳克勝，安徽師范大學數學計算機科學學院（安徽蕪湖，241002）副教授，碩士生導師。

高水平的教學設計是保證課堂教學質量和效益的根本性措施之一，同時也反映教師專業化水平。《義務教育數學課程標準（2011年版）》的課程總目標提到：“通過義務教育階段的數學學習，學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系”，概稱為“三重聯系”，作為課程總目標之一，實際上為教師的課堂教學設計指明了方向，同時也架構了數學教學設計的基本內容。由此，可以說“三重聯系”為高水平的課堂教學設計提供一個新的視角。

從數學的發展來看，19世紀前，數學發展的動力主要來自于現實中的問題，與之對應的相關數學知識的教學，很自然地將數學與其他學科、數學與生活之間建立了聯系，但容易忽視數學知識之間的聯系。到了20世紀，數學發展的另一動力來自數學自身內部，特別是羅素悖論的產生使數學家對數學形成了三個不同觀點——邏輯主義、直覺主義和形式主義，與之相對應的數學知識的教學容易過于“數學化”“抽象化”。綜合考量“三重聯系”，為數學教學設計提供了基本思路，下面以“頻率的穩定性”為例來進行說明，以供參考。

一、“頻率的穩定性”的“三重聯系”之分析

1.概率與其他學科和生活之間的二重聯系。

概率最早源于賭博問題的研究，與人們的生活緊密聯系在一起。1653年，帕斯卡的一位朋友梅雷向其請教賭博中分配賭金的問題，引起帕斯卡的興趣，帕斯卡和費爾馬共同研究，解決了賭博中的問題，他們將擲骰子視為古典概型，后來拉普拉斯給出了古典概率的定義。由賭博而開啟了概率的研究，這成為當時數學家研究的動力和興趣。1657年，荷蘭數學家惠更斯出版了《論賭博中的計算》，專門討論賭博中有關點數的問題，如計算骰子的點數出現的概率。1713年，雅各布·伯努利《猜度術》，將概率知識進行系統化，并由有限樣本空間逐步擴展到無限樣本空間，得到處理隨機現象的大數定律。而現實生活能為理解概率提供大量有趣、啟迪思維的例子。總之，在現實生活、其他學科中存在大量的隨機現象，為“頻率的穩定性”的教學設計提供了豐富的教學資源，包括課題學習的引入、教學中的師生互動、分析以及鞏固練習、課外訓練等。

2.數學知識之間的聯系。

由于概率源自于生活，并用于解決其他學科的問題，內容豐富而有意義，而建立在公理化基礎上的概率論對于中學生來說比較抽象，因此，應加強概率有關知識之間的聯系。由數學知識之間的聯系而獲得教學設計的啟發，其教學設計除了用豐富的實例引入、分析、歸納“頻率的穩定性”定義外，還應關注：（1）概率的古典定義和統計定義的聯系;（2）概率的統計定義中關于試驗的次數的確定;（3）頻率估計概率的基本思想與方法。

3.概率的古典定義和統計定義的聯系。

概率的古典定義是由拉普拉斯給出的，它討論的對象僅限于隨機試驗中所有可能的結果為有限多且等可能的情形，并且每一事件都是等可能發生，具有先驗性，是客觀存在的理想值。而概率的統計定義是以伯努利大數定理為理論依據，取頻率的穩定值為概率，具有后驗性。也就是說，概率的統計定義是利用頻率來研究隨機事件的概率，只是近似地計算隨機事件概率的方法。其優點有：一是這種定義突破了隨機試驗要滿足“事件發生的等可能性”的限制，具有一般性;二是這種定義突破了事件發生所有可能的結果的有限性，而只關注某個事件發生的概率;三是直觀性，直觀地揭示了概率的含義;四是隨機試驗并不限于古典概型，需要通過大量試驗、重復觀察來確定概率，是用來估計概率的一種方法。因此，概率的統計定義主要是具有理論上的價值，很少用它直接計算事件的概率。但也有其弊端：在有限次試驗中很難確定頻率的穩定值，求概率比較難。因為事件的隨機性會導致不同的試驗者在有限試驗的次數內可能會得到不同的“穩定值”，也就是說在穩定值上下擺動，只有當試驗次數無限大時，才能得到穩定值。但在實際中，往往不知概率為何值，只能通過試驗的次數充分大，頻率才能近似地表示概率。

在教學設計時，教師從中獲得的啟發是：考量學生已有的認知水平和現實生活的經驗，將其納入到教學設計中來，例如，擲硬幣、骰子，可以從檢驗古典概型有關概率計算的正確性的角度，把概率的古典定義與統計定義聯系起來，有助于理解概率的統計定義。

4.概率的統計定義中關于試驗的次數。

由頻率的穩定性來刻畫概率可以通過試驗來進行教學，但是頻率具有隨機性，是一個不斷變化的值，需要進行大量的試驗反映隨機事件的穩定性，即概率是一個理論的確定值。在教學設計時，需要考慮試驗的次數，以保證學生直觀感受到頻率的穩定性能刻畫概率，同時又考慮課堂教學時間的有限性。

關于隨機事件試驗的次數問題的數學說明。假設我們要估計某隨機事件A發生的概率，共進行n次試驗，將第i次試驗的結果用Xi表示（i=1，2，…，n），1表示在第i次試驗中隨機事件A發生，0表示該隨機事件不發生。在n次試驗中事件A發生的頻率為fnXi，其均值E（fn）=p，方差var（fn）=，實驗表明，當n≥100時，事件A發生的頻率近似服從正態分布。由中心極限定理，若p=0.5，試驗次數n=100，此時=0.1，則有p{fn-p<0.1}≈0.95，即大約有95%的把握保證頻率和概率的偏差小于0.1。若精度再提高1位，試驗次數要提高100倍，即10000次試驗，大約有95%的把握保證頻率和概率的偏差小于0.01。

由此，在教學設計時，教師從中獲得的啟示是：讓學生在試驗的過程中逐漸增加次數，使學生初步感受到概率的統計定義是在一定量的試驗的基礎上頻率趨于一個穩定值。設計課堂教學時，考慮對學生進行分組，可以2人一組，然后匯總，每組學生試驗次數分為兩個數量級：100次以下，100次以上，這樣保證試驗的次數達到一定的量。在此基礎上再利用計算機模擬，給出更大數量。將兩種途徑相互結合，既達到有足夠試驗次數的目的，又能讓學生親身感受隨機現象的規律性。

5.頻率估計概率的基本思想和方法。

統計方法的選擇依賴于要解決的實際問題和收集數據的方法。頻率估計概率涉及統計方法的運用，其基本方法是：兩個估計量均為同一個參數的無偏估計，在統計中方差小的估計量更好。假設為了估計事件A發生的概率p做了大量的試驗，得到的統計結果如下表。

事件A發生的頻率表

記n=n1+n2+…+nk，把頻率再平均通常有以下兩種方法。

加權平均的方法p1=

直接取平均的方法p2=

現在有三個估計量p1、p2和fnk可以用來估計事件A發生的概率P，且它們都是P的無偏估計，分兩種情況來討論它們中哪個估計量最好，即方差最小。

因此，在教學設計中，教師獲得的啟示是：利用頻率估計概率，讓學生理解頻率與概率的區別與聯系，在分析和處理數據時，感受到概率與統計之間的關系。

二、基于“三重聯系”的課堂教學設計

基于上述“頻率的穩定性”之“三重聯系”分析，我們試作如下教學設計，希望能夠為初中生切實掌握“頻率的穩定性”提供幫助。

1.問題情境引入課題。

在現實生活中，人們經常利用拋擲硬幣來決定事情的先后，請同學們想一想：這樣做合理嗎？硬幣正面朝上和反面朝上的可能性相等嗎？為什么？

（設計意圖：以現實例子來引入課題，其目的是：其一，學生對擲硬幣的隨機現象已有了一定的認知，并已知道其中的結論，為從統計的意義驗證結論奠定基礎;其二，現實生活和其他學科存在豐富的隨機現象的例子，以引發學生的學習興趣，讓學生感受到學習概率的現實意義。）

2.試驗驗證知識經驗。

請同學們分成小組來驗證一下你們的猜想，2人一個小組，分別做三次試驗：第一次試驗次數為50次，第二次試驗次數為200次，第三次試驗次數為300次，并分別統計頻數和頻率，然后請同學們將每個小組的試驗數據匯總，統計全班所做試驗的頻數和頻率，并畫出統計折線圖。請同學們研究其中有什么規律。

教師也可以利用計算機模擬硬幣試驗，請同學們注意觀察在相同試驗次數下的頻率值，比較一下發現了什么？

（設計意圖：由“數學知識之間的聯系”啟發運用統計知識對經驗結論進行驗證，其目的是：其一，通過學生親自動手操作，重在學生親身體驗頻率與概率的關系，利于啟迪學生內心世界的自我反省與思考;其二，重溫統計知識，實現統計與概率知識內在聯系，有助于學生體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象;其三，經歷試驗過程的比較與研究，有助于學生學會觀察、猜想等，提升數學活動能力，學會表達自己的想法;其四，感受計算機在數學研究中的作用;其五，有助于培養學生團結合作的精神。）

展現歷史上數學家曾做過的擲硬幣試驗，利用計算機模擬這些數學家所做試驗的次數，比較結果，并做出解釋。

（設計意圖：其一，讓學生再次認識、感受頻率的隨機性，并由之體會概率的統計定義;其二，展現數學文化的價值，體會數學家的探索精神和研究方法;其三，培養學生對權威有一種勇于批判的精神。）

3.課堂練習鞏固所學。

小凡做了5次拋擲均勻硬幣的試驗，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他認為正面朝上的概率大約為■，朝下的概率約為■。你同意他的觀點嗎？你認為他再多做一些試驗，結果還是這樣嗎？

擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為■，那么，擲100次硬幣，你能保證恰好50次正面朝上嗎？

（設計意圖：將所學的知識用于解釋現實生活中的現象與困惑，做到學以致用，反思所學，利于培養學生的科學批判與審視的態度和精神。）

三、一點啟示

以上“頻率的穩定性”嘗試以“三重聯系”為數學教學設計提供一種理論指導，構建“頻率穩定性”教學設計，從而為教師進行教學設計提供一種新的視角。同時，也給數學教育工作者更多的啟示與思考：第一，“三重聯系”是以課程總目標的形式規定了教學設計應達到的教學目的，數學教學設計需要整體地考量數學知識內部之間、數學與其他學科、數學與生活的聯系，基顯著的特點是整體性;第二，“三重聯系”是課程總目標之一，從宏觀上規定了數學具體的課堂教學目標，但是將課程總目標轉化為課堂具體目標需要教師的數學教育智慧，既能實現課程目標，又能滿足學生意愿，讓學生樂意去學，增強學生學習數學的樂趣、興趣;第三，從某種意義上說，“三重聯系”可以作為體現數學文化價值的一種手段，在數學課堂教學上實現數學文化教育的目的。

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

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[3]徐文彬.如何認識《義務教育數學課程標準》中的三重聯系[J].江蘇教育：小學教學，2013（02）.

[4]張淑梅，張唯一.初中“用頻率估計概率”的教學解析[J].數學通報，2010（01）.

【基金項目】安徽省教育科學規劃項目，編號：JG12016