探究導數在高中數學解題中的應用

全裕剛

摘 ? ?要： 在近幾年的高考題中，對導數的考察越來越多，與導數有關的知識點也成為高考考察的重要內容.教育改革提倡在數學教學中體現知識的實用性和經濟性.在高中數學中進行關于導數知識的教學，不僅可以為數學教學注入新鮮血液，還可以提高學生的解題效率.本文就導數在高中數學中的應用作探討.

關鍵詞： 高中數學 ? ?導數 ? ?解題 ? ?應用

一、導數的內涵

導數是在微積分領域較重要的基本概念，是函數概念的局部，具有函數的基本性質.當函數y=f（x）中自變量X在某一個點X■上時就會出現一個增量X，這時函數輸出的增量y與自變增量ΔX的比值在向0無限靠近時如果存在極限a，a就是X■這一點的導數.許多問題通過運用導數求解，會更加方便、準確[1].

二、導數在數學解題中的應用

（一）利用導數判斷函數的單調性

所謂函數的單調性問題，其實就是在某一特定區間內，隨著自變量的增減，因變量也會隨之產生變化.例如在減函數區域內，就只有自變量不斷增大而因變量隨之變小這一單一的情況，如果隨著自變量變大因變量同時變大，則是出在增函數區域內.在沒有進行導數的相關教學之前，一般是通過定義判斷函數的單調性的，在簡單的單調函數的判斷中，這種做法尚且可取，但是如果遇到比較復雜的函數，再通過運用定義判斷，過程就會極其繁瑣費時，而且容易出錯.學習引入導數概念后，就可以根據導數的概念輕松地判斷了.如果要判斷函數f（x）在[m，n]這一區間內的單調性，就可以利用導數，在區間內求導，如果導數值大于零，則證明函數f（x）在[m，n]區間內為單調遞增函數，如果導數值小于零，則相反.如果是要求某段函數上的單調函數區間，就要對求證的區間范圍做明確的說明[2].

（二）利用導數求證不等式

通過對近年來高考試題的分析，發現經常將導數與不等式結合起來考察.利用導數解決不等式問題，解題方式往往會更簡便明了，而且通過使用導數求證不等式還可以使學生更深入地了解不同類型的題目之間的內在聯系，使學科的學習更系統化、網絡化.利用導數解決不等式問題通常是將兩個不等式轉換為函數問題，就是判斷兩個函數大小的問題，通過構建新的輔助函數，判斷函數在某一區間的單調性情況，這樣就可以通過判斷函數的大小判斷不等式是否成立.

（三）利用導數求函數最值

在高考考察范圍內，求函數的最大值問題一直是作為難點考察的.關于函數最值的求解方式也很多.在部分題目求解時，采用導數的方法，會產生新的解題思考方式與解題技巧.最經典的是在二次函數中求解最值，二期函數求最值，本來就是在某一特定的區間內求出最大值或者是最小值，提供了一定的參數.如果使用傳統的其他解題方式，一般是要將數形結合起來，解答過程中要不斷參考數據與圖形，二者要同時兼顧，如果在哪一點疏漏了，就會出現錯誤，得不償失.而采用導數的方法，就可以對區間內函數的單調性作出迅速準確的判斷，只要將求解的最值與區間相對應就可以了.如果遇到復合函數求最值問題，只要能確定定義域，就能很快求出最值[3].

（四）利用導數解決切線問題

隨著素質教育的觀念深入人心及教育改革對數學提出的要求，近年來，對于特殊曲線的切線問題的探究也越來越多.例如對指數函數的曲線切線、三角曲線的切線等此類問題的研究，這些切線問題用傳統的方法求值，不僅繪圖過程繁瑣，還容易出錯.導數從本質上來講，是函數的一部分，也就是任意曲線上某一點的斜率.就是這一實質，使得將導數運用到切線問題中時，解題思路和方法就會變得十分清晰簡單，能夠更高效準確地求出正確答案.切線問題在高考中的比重變得越來越大，值得引起各位教師和學生的注意.

（五）利用導數解決數列問題

數列同樣是高考考察的重要部分，也是中學階段需要學生掌握的一個重要的教學內容，關于數列有很多的解決方案，其實也可以把數列問題運用到導數進行解答，把數列整體看做是自變量為整數的特殊函數，這樣將數列問題轉化為函數問題，然后就可以運用導數求解了[4].

結語

通過上文的分析，不難看出導數在高考命題中出現的幾率越來越高，漸漸變成了命題的熱門，而且在平時的數學學習、練習中，導數可以應用到多種類型的題目中，是很重要的分析、解決題目的有效工具.熟練地運用導數解題，不僅可以更迅速、準確地解題，還能開拓學生在解題時的思維方式，培養創新的思維習慣.因此，在平時的學習、練習中加強對導數內容的學習與鞏固很有必要.

參考文獻：

[1]余修偉，高海霞.導數在高中數學解題中的運用分析[J].新課程研究（基礎教育），2009（11）.

[2]彭源廣.導數在高中數學解題中的應用管窺[J].數理化解題研究（高中版），2014（09）.

[3]藍桂丹.例談導數在高中數學解題中的應用[J].教育探索與實踐，2009（8）.

[4]閆紅梅.談導數在高中數學解題中的應用[J].數學之友，2012（20）.