由一道高考題引起的思考

楊志軍

【關鍵詞】 數學教學;圓錐曲線;距離;

離心率

【中圖分類號】 G633.6

【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）

18—0123—01

圓錐曲線是高中數學中的重要內容，利用參數方程解決其動點問題是非常有效的方法.然而在求距離的最值當中，分類討論是學生面臨的難點問題.在有些情況下，我們只需由其離心率直接求得.下面就以高考題為例進行討論.

2008年湖南高考數學試卷中有一道填空題是這樣的：已知點A（0，5），橢圓方程為+=1.若P在橢圓上，則AP的最大值是.

解：設P（5cosθ，4sinθ），

則AP=

=

=

=

當sinθ=-1時，AP可取最大值.

∴AP≤9

如右圖所示，P點正好取在短軸的端點上.

問題一：是否短軸所在的坐標軸上在橢圓外的定點到橢圓上的最大距離一定是到另一端點的距離嗎？

例 已知點A（0，2），橢圓方程為+y2=1，若P在橢圓上，則AP的最大值是多少？

解：設P（2cosθ，sinθ），

則AP=

=

=

=

當sinθ=-時，AP可取最大值，

即AP≤

右圖P點并不在短軸的端點上， 可見AP取得最大值時，P可以出現在短軸的端點上，也可以出現在橢圓的其他位置.

如右圖，P點的位置決定于橢圓的形狀，即橢圓的離心率.

問題二：離心率是何值時，P點在橢圓的短軸的端點上？

例 已知點A（0，m），橢圓方程為+=1，求橢圓上的動點P到A的最大距離.

解：設P的坐標為（acosθ，bsinθ），

則AP=

=

=

=

當b≥c時，>1，∴sinθ=-1取最大值.

故AP≤

=

=

=m+b.

即P點正好是短軸的一個端點.這時，b≥c，即b2≥c2，∴a2≥2c2，從而得e≤.

當b

綜合上述，我們得出的結論是：橢圓外在短軸所在坐標軸上的一個定點，到橢圓上P點最大距離可由離心率決定.當e≤時，P點正好為短軸另一端點.

編輯：謝穎麗