向量在解決高中數學問題中的運用

徐瑩

摘要：向量是高中數學中廣泛運用且實用性極強的知識，數與形結合的特點，使它成為高中數學課程中最重要的教學內容和解題手段，許多高中數學知識都可以通過向量有機地串聯起來，形成一個統一的整體。基于此，本文從向量的含義和基本特點出發，著重分析了向量在高中數學解題中的實際運用。

關鍵詞：向量 ? 高中數學 ? 運用

一、向量的含義和基本特點

向量于20世紀進入數學領域，但其在19世紀就已經被物理學家和數學家研究和運用。20世紀90年代，我國把向量的相關知識納入高中數學，并成為高中數學的重點。在向量中，集合以V表示，V構成了向量的加法換算群。在V中，運算出向量的數量積，就可以表達向量的長度。在向量長度具有實際意義之后，（V，R）對向量相關的運算構成了線性范圍。向量是數學建模的基礎，也是代數的主要研究對象，所以向量可以解決很多數學難題。向量具備了形和數的特點，把數和形聯系成一體，既可以表示物體的位置，又可以反映物體的面積、長度等基本性質。對于一些抽象化的問題，向量還可以把其具象化，形成直觀的模型，便于解決問題。

二、向量在高中數學問題中的運用

1.向量在平面幾何中的運用

向量的大小和方向可以反映相關線段或點之間的長度關系以及位置關系。根據不同的性質，向量還可以分為平行向量、共線向量和零向量等。在平面幾何中，利用向量知識來解決相關問題，比運用幾何知識解決問題更加方便。如通過把線段轉化為向量，再利用向量的相關知識，學生就能輕松解決問題了。在平面幾何問題中運用向量時，學生一定要對應清楚點和線之間的關系，否則會得出錯誤的結果。

2.向量在不等式證明中的運用

在證明條件不等或不等式時，學生經常需要通過一些技巧對不等式進行變形處理，否則很難證明。此時，假如學生運用向量知識進行變形處理，則會簡化問題，容易證明結果。

舉例來說，有一個等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中m、n不等于0，求證a/m=b/n。對于這個問題，只要學生細心觀察等式，就能發現括號部分與向量的模以及數量積是一樣的，所以可以設向量P=（a，b），向量Q=（m，n）。通過式子，可以看出P和Q是平行關系，再利用平行向量的特點，就可以得出an-bm=0，再進行變換，就可得出a/m=b/n的結果。所以，在不等式證明中，學生只要把相關數字轉化為向量，就能把抽象的關系轉化為具象的向量關系，從而輕松地得出結果。在不等式證明中運用向量時，學生一定要仔細觀察不等式的基本特點，找出向量的切入點，再加以運用。

3.向量在解方程中的運用

方程解析在高中數學中是很常見的問題，對于某些方程而言，假如直接通過技巧變形很難解出方程，這時學生就可以考慮使用向量來解決問題。

4.向量在三角函數中的運用

三角函數是高中數學的重點和難點內容，也是高考的必考內容。學生可以通過向量數量積，把向量與三角函數有機結合起來，為三角函數相關問題提供便利的解決方法。

舉例來說，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根據三角函數公式，對原式進行變形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔細觀察該式，學生就會發現其與向量數量積一致，于是設向量P=（1-cosb，sinb），向量Q=（cosa，sina），把兩個向量相乘，可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=，再根據相應關系可得|3/2-cosb|≤，cosb=1/2，即∠b=600，再把它帶入原式，可以得到∠a的值。在三角函數的問題中運用向量法，可以簡化三角函數的變形步驟，具象三角函數之間的關系，把復雜的問題轉化為簡單的向量，大大提高解題的效率。

三、結束語

在高中數學中，向量具有極大的實用性，從平面幾何到空間幾何，從三角函數到方程不等式，都可以運用向量的相關知識來簡化問題。因此，學生在學習過程中應當靈活運用向量，不斷提高自身的學習效率和質量。

參考文獻：

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[2]王曉.高中數學解題中向量方法的應用分析[J].高中數理化，2014，（12）.

[3]劉永斌.向量在高中數學解題中的應用[J].吉林教育，2010，（3）.

（作者單位：黑龍江省綏化市第一中學）