高師《初等數論》第一堂課教學設計

侯小華　潘兵

[摘要]大學新學期第一堂課的教學重點不應是具體知識內容的講授，而是要幫助學生明確課程學習意義、了解學科發展簡史、明確學科研究對象，并通過問題幫助學生認識到自身的不足，此外教師還應該在第一堂課上明確課程學習要求及目標。

[關鍵詞]初等數論；課程；第一堂課；教學設計

[中圖分類號]G642 [文獻標識碼]A [文章編號]1671-5918（2015）14-0117-03

高等教育明顯不同于初等教育的一個特點是開設課程的多樣性，一個大學生四年大約要修30-40門不同的課程，而且這些課程多是一學期修完，所以，大學生通常在每個學期伊始都會面對諸多的新開課程。

“好的開始是成功的一半”，一門大學課程第一堂課的教學既關乎教師留給學生的第一印象又對于幫助學生明確該門課程的學習意義、調動學生的學習積極性有重要的作用，所以，教師對于自己任教課程的第一堂課應該格外重視，做更加充分的準備，具體來說，大學課程第一堂課應該講什么，如何講？本文以地方高師院校數學教育專業《初等數論》為例，談一下自己對這一問題的理解。

《初等數論》是大學數學系普遍開設的一門課程，初等數論一般被認為是古老而又常新的學科，它既是典型的純粹數學，又是日益得到廣泛應用的新“應用數學”，高師院校數學教育專業有其專業特殊性，所以開設此課程時除了介紹有關數論的基礎理論知識以外，還要注重強調數論的應用性，更要結合師范的專業特色來組織教學。

一、明確課程的學習意義及必要性

一門課程的學習伊始，教師應該清晰謹慎地提出本課程可以給予學生的承諾與機會。例如，該課程將幫助學生回答什么樣的問題？這些問題將有助于他們發展何種類型的智力、體力、感情或社交能力？學習該門課程對于他們后續課程學習有什么幫助？對于他們日后工作有什么樣的幫助，所以，第一堂課，最重要的不是快速進入教學內容的講授環節，而在于幫助學生明確該門課程的學習意義。一個直接明了的問題有助于引起學生的深入思考，所以教師首先可以向學生提出問題：為什么學習《初等數論》（或課程）？

要回答該問題，不僅需要教師對于該門課程的課程教學目標有清晰的理解，而且要能通過簡潔、非專業的語言向未學習該門課程的同學解釋清楚答案，對該問題的回答既有學科知識上的考慮，如對于后續課程的學習、對學生能力的培養等方面的影響，但更要從學生實際出發，采用實用主義的觀點，告訴學生該課程對于其自身日后的成長發展尤其是畢業求職以及離開學校后的發展可能會起的作用。

作為對問題的回答，第一個原因，基于營造良好課堂教學氣氛的考慮，教師給出答案：為了拿到學分，為了畢業，不得不學，而且結合課程性質，因為它是一門專業限選課，該門課程的成績影響學分績點，所以，要求同學不僅要考試通過，而且應該爭取取得盡可能高的成績，以此對學生的學習提出比較高的要求，接著，教師向全體同學展示新的高中數學教材選修2——《數論初步》，讓學生明確，數論不僅是數學的一個重要分支，而且是新的高中數學課程標準要求的教學內容，如果要想成為一名符合新課程要求的合格的高中數學教師，同學應該要學習掌握數論的有關知識，然后，教師講述自己親身經歷過的一件事情：“曾經有一個同事問我，2.5除以0.8余數是幾，因為他孩子做作業時遇到這樣一個問題，結果孩子答案是1，老師說答案是0.1，請問余數到底是幾？”，學生對于這個問題也陷入了思考，有的認為是0.1，因為余數要小于除數，有的認為答案是1，因為小學生做除法時應該要先移動小數點然后再計算，此時教師可以告訴學生，余數是數論中的一個概念，而數論研究對象是整數，所以，教師所提的問題本身就是錯的，以此幫助學生明確該課程學習的第三重理由：作為數學教師，數學專業水平不高，不懂得一些數論的知識，教學工作就可能會犯錯，接下來教師再提問第四個問題，什么樣的整數能夠被3整除？幾乎所有的學生立刻能夠說出答案：只要看這個整數各個數位上的數字的和是不是3的倍數，教師接著問為什么有此結論？則所有的同學都安靜下來，這時教師點明學習初等數論的第四個理由：幫助同學明白一些數學結論成立的道理，可能有的同學認為“這些結論我知道、好用、會用”就可以了，何必要弄明白它為什么成立呢？教師回答：知道這些結論成立的道理一方面可以幫助我們確信這些結論成立的正確性，另一方面可以以此幫助我們去探尋更多好用的結論，如“什么樣的數能被9、11、13、17…整除？”而且有些結論如果不知道它成立的原因容易忘記或者用錯，但是明確了知識的來龍去脈，就變成了理解性記憶，不僅記憶能更加深刻持久，而且不會覺得記憶相關結論是一個負擔，最后教師結合上一學期《競賽數學》課的學習點明第五個學習初等數論的原因：中小學數學教師進行數學競賽輔導活動需要學習數論知識，雖然數學競賽活動飽受批評，但那多是由于人們將競賽活動過度功利化及競賽開展的低齡化、競賽培訓范圍的擴大化和培訓形式的單一化所造成的，數學競賽活動本身有其積極的教育價值，而數論問題題意簡單、解答需要深入思考的特點決定了它用于培養和發現數學人才具有先天的優勢，誠如大衛·希爾伯特所講；“用以發現數學天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了……”，第六個學習初等數論的理由是：通過人們對初等數論應用價值的研究，幫助大家加深對數學的認識，20世紀50年代以前，人們認為數論沒有多少應用價值，數學家研究它是因為數論問題有趣，是進行“思維體操”的材料，但是隨著計算機和信息技術的發展，數論中的許多理論找到了用武之地：比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；有文獻報道，現在有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等，此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用，特別是現在由于計算機的發展，用離散量的計算去逼近連續量而達到所要求的精度已成為可能，尤其是基于大數分解的RSA公開密鑰體制深刻地改變著人們對數論和數學的認識。endprint

以上六條理由在輕松的氣氛下既幫助學生明確了《初等數論》課程的學習意義，又告訴學生“學科知識對于課堂教學及數學教育至關重要，大學數學課程對于未來從教發揮重要作用”，同時介紹了數論現代發展的一些特點。

二、介紹學科的發展簡史

“如果我們想要預測數學的未來，那么適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀”（亨利·龐加萊），近年來，在我國的數學教育改革中，人們越來越重視數學史知識在數學教育中的價值和應用，介紹該門學科的歷史從淺的層次上看可以通過講故事的形式吸引學生的學習興趣，從深的層次上看可以幫助學生理解該門學科的研究問題、學科特點及發展趨勢。

該節課討論的第二個問題是數論學科的發展歷史及分類，以發展的眼光看初等數論是如何形成、產生和發展的。在此既從古代人們對數論問題的零星、瑣碎的研究，明確數論問題的解決和研究促進了數學的發展，又要介紹高斯在數論的學科化、系統化方面所作出的杰出貢獻，包括其劃時代的著作《算術探討》在完成之初被法國科學院拒絕出版的軼事也有其積極的教育價值。而正如前面回答“為什么學習初等數論”時給出的第六個答案所講的，數論學科的現代發展已經使得該門學科不再僅僅是思維的體操，更慢慢成為一門有著廣泛應用的學科。

三、明確學科研究對象及特點

一門學科總有其核心的研究對象或問題。在第一堂課上，即使學生難以一下子完全理解，教師也應該明確指出該門學科研究的核心問題。

所以該節課第三個要講授的內容是數論的研究對象及學科特點。第一，要幫助學生明確該門課程的研究對象是整數，其最核心的概念是整除。初等數論的知識體系其實都是圍繞整數和整除展開的。第二，數論是一門蓬勃發展的學科，它內部產生的大量問題促進了數論學科的快速發展。加拿大數論專家Richard K。Guy教授曾編寫了一本《數論中未解決的問題》一書，該書在1981年首次出版時大約有150頁，而1994年第二次再版時，將第一次出版后已解決了的問題刪去，又將隨后提出的新數論問題加入，這樣一來，第二版書的頁碼增加到280頁。第三點要著重說明的是無論是古代還是現代，中國數學家在數論研究上都取得了杰出的成就。

為了幫助學生加深對學科特點的認識，教師可以列舉介紹一些簡單而典型的學科問題。

高斯說，“數學是科學的皇后，數論是皇后戴的皇冠”，而一些精彩有趣的數論問題則被喻為是皇冠上的明珠，熠熠發光。通過簡單介紹費馬大定理尤其是A·懷爾斯的工作幫助學生了解數學家解答數學問題的艱辛，以及數學家在證明費馬大定理上所做的各種嘗試和提出的理論，幫助學生了解數學問題的研究對數學發展的極大促進作用。或許某個理論并沒有解決它想要解決的問題，但可以在其它方面找到應用，正如費馬大定理被喻為“生下金蛋的母雞”一樣；通過介紹哥德巴赫猜想及其證明原理幫助學生了解陳景潤證明的“1+2”的含義，消除誤解；通過介紹完全數、親和數問題，幫助學生感受數學問題里蘊含的理與美。以上所有問題可以再次讓學生體會數論問題的特點：題目本身簡單易懂、富有趣味，許多數論難題甚至連小學生都能明白題意，可是要真正證明它，卻可能需要數學家長時間的研究和解決。

四、幫助學生明確不足

一門學科或許是有趣的、有意義的，但是如果能讓學生意識到自己現在的不足，則對于后面的主動學習無疑是有利的。

該節課介紹的第四個內容是數學競賽大綱中涉及的數論問題及要求。通過介紹數學競賽大綱中涉及的數論內容，幫助學生意識到自己知識能力上的不足。尤其是通過請學生嘗試思考解決一些中小學的典型數論競賽題，讓學生更進一步地認識到自己在問題思考和解決上能力的不足，給本門課程的學習創造一個憤悱的狀態。

五、明確課程的學習要求及學習建議

第一堂課，教師對于該門課程的學習應提出明確的學習要求，這個要求既包括了對教師自己的要求——老師將會努力提供值得一聽的課堂教學，幫助大家解決前面提出的問題，讓大家通過該門課程的學習學有所獲；如果大家認為教師沒有做到，或者中間有任何問題，請大家及時告訴老師；同時也包括了對同學的要求：同學們一旦選定了這門課就要對自己的選擇負責，不僅每次都來上課，而且為了對選修了該門課程的同學負責，不要遲到，嚴格遵守課堂紀律以免影響老師的教學和同學的學習。假如發現某位同學曠課，那么老師將會從平時成績中扣10分。當然，如果最后該同學沒有上課，可是通過自學或者其他方式最后在該門課程的期末考試中取得理想的成績，那么他仍然有可能拿到這個學分。

至于該門課程的學習，一方面課堂認真聽講肯定是有益的，另一方面要注意記筆記和積極思考。有關學習資料可以在教學網站上下載，也可通過教師公布的電子信箱及時與老師交流。

另外，對于該門課程的考核方式及要求教師也應該在第一堂課上明確告知學生，以利于學生平日的學習和最后的復習。

一百個老師就有一百種不同的講授第一堂課的方法。以上《初等數論》第一堂課教學設計肯定不完美。只是我們希望通過拋出的這一塊“磚”能引起大家對新學期第一堂課乃至大學課堂教學設計的關注，則目的達到。

（責任編輯：章樊）endprint