抽象函數問題的求解

陳興勇

摘 要：抽象函數通常是指只給出函數滿足某些條件（性質），而沒有給出具體解析式的函數。抽象函數問題在近年的高考中也常常出現，它可以將函數、方程和不等式等內容綜合于一題，也可以通過構造一定的背景，定義一些新的知識，從而在“抽象”中具體考查考生的邏輯推理能力、抽象思維能力與創新能力。

關鍵詞：抽象函數；解題方法；解題規律

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2015）20-001-02

一、某些有原型的抽象函數

有些具體函數滿足抽象函數的性質，我們把這些具體函數稱為抽象函數的原型函數，通過研究原型函數的性質來研究抽象函數。

，

明確了“抽象”與“具體”之間了聯系，我們就可以通觀全局，整體把握，局部入手。

【例1】對任意x，y∈R，函數f（x）滿足，f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）<0，若f（1）=-2，求f（x）在[-3，4]的最值。

分析：由已知聯想到f（x）=kx，又f（1）=-2，所以f（1）=-2x是f（x）的一個特例，由f（x）=-2x是奇函數且是減函數可求出最值

解：令x=y=0，則，f（0）=2f（0），∴f（0）=0，以-x代y，

那么f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）在R上是奇函數

設x1，x2∈R，且x10，

從而f（x2）-f（x1）=f（x2）-f（-x1）=f（x2-x1）<0，f（x）在R上是遞減函數，所以在[-3，4]上，f（x）max=f（-3）=-f（3）=-[f（2）+f（1）]=-3f（1）=6，同理得f（x）min=-8.

評注：在解抽象函數問題時，對題設中的變量賦予特殊值是常用的方法，應仔細體會。本例若改為填空題，從分析即知答案，可省卻許多運算，但解答題則要有完整過程

【例2】已知函數f（x）定義域為R，且f（x+y）=f（x）·f（y），若f（x）的反函數為g（x），比較g（mn）與g（m）+g（n）的大小。

分析：由題設可知原型函數為f（x）=ax，它的反函數為g（x）=logax，從而g（mn）=g（m）+g（n）.

解：設f（x）的值域為D，對m，n∈D，在R中存在f（x1）=m，f（x2）=n，由反函數定義知x1=g（m），x2=g（n），所以mn=f（x1）f（x2）=f（x1+x2）.

因為f（x）的反函數為g（x），所以g（mn）=x1+x2=g（m）+g（n）.

評注：由函數方程猜想原型函數，進而猜想得到函數的周期是解本題的關鍵

解題規律：對一些性質與一次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數類似的函數，解答時可選一個符合條件的特殊函數（原型函數），根據這個函數的性質，去研究該抽象函數的一般性質是一種常見而有效的方法。

二、一些沒有原型函數的抽象函數

并非所有抽象函數問題都能找出原型函數。

評注：解答本例的關鍵是要充分利用已知條件，溝通已知與待求（證）式之間的聯系。

解題規律：對一些沒有原型函數的抽象函數，解題時只能根據題目的具體條件入手，利用函數的相關性質解題。