如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“變與不變”的思想方法

杜曉晴

[摘 要]世界上的事物是千變?nèi)f化的，而變化中又蘊(yùn)含著變與不變的因素。數(shù)學(xué)教材中也蘊(yùn)含著許多變與不變的素材，因此教師要以學(xué)生為本，在教學(xué)中滲透“變與不變”的思想方法，科學(xué)、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]變與不變 思想方法 滲透 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 思維品質(zhì) 規(guī)律

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）32-038

蘇軾在《赤壁賦》中寫道“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無(wú)盡也”，他從哲學(xué)的角度感慨人生中變與不變的道理。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，世界上的事物也是千變?nèi)f化的，而變化中又蘊(yùn)含著變與不變的因素。其中，如何從“不變中抓變” “變中抓不變”是我們解決問(wèn)題的突破口，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含著許多變與不變的素材，教師鉆研教材時(shí)應(yīng)深入挖掘，并在教學(xué)之中無(wú)形滲透，有助于培養(yǎng)學(xué)生求同又求異的思維品質(zhì)，幫助學(xué)生解決繁瑣復(fù)雜的問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷虒W(xué)中如何滲透“變與不變”的數(shù)學(xué)思想方法。

一、在“變與不變”中辨析概念

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，所以正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，但數(shù)學(xué)概念的抽象性使得數(shù)學(xué)概念的教學(xué)相對(duì)棘手。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)捉住“變與不變”的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生去比較辨析，從而更清晰地理解概念的本質(zhì)特征。

例如，教學(xué)“面積”一課時(shí)，不少教師把周長(zhǎng)和面積割裂開來(lái)進(jìn)行教學(xué)，從而導(dǎo)致學(xué)生容易把面積與周長(zhǎng)兩個(gè)重要概念混淆。在分別教學(xué)周長(zhǎng)與面積的概念后，我們可以設(shè)計(jì)一系列相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生觀察圍成圖形的線的變化是如何引起周長(zhǎng)和面積的變化，從中體會(huì)到周長(zhǎng)與面積之間既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別。

片斷1：

師（出示下圖）：觀察這兩個(gè)圖，什么沒變，什么變了？

生1：周長(zhǎng)不變，面積變了。

生2：圖形的周長(zhǎng)相等，面積不一定相等。

師：面是線圍成的，圍成圖形的線的變化，既會(huì)引起圖形周長(zhǎng)的變化，又會(huì)引起圖形面積的變化。那么，你認(rèn)為周長(zhǎng)的變化會(huì)引起面積怎樣的變化呢？

生3（猜測(cè)）：周長(zhǎng)越長(zhǎng)，面積越大。

片斷2：

師（出示下圖）：圖形的周長(zhǎng)有變化嗎？是怎樣變化的？面積呢？

生4（歸納）：周長(zhǎng)變長(zhǎng)，面積變大。

師：是否真的周長(zhǎng)變長(zhǎng)，面積都會(huì)變大呢？

片斷3：

師（出示下圖）：圖形的周長(zhǎng)有變化嗎？是怎樣變化的？面積呢？

生5：周長(zhǎng)變長(zhǎng)，面積反而變小。

師：那是不是周長(zhǎng)不變，面積就不會(huì)變呢？

（學(xué)生討論并提出各種猜測(cè)，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為周長(zhǎng)不變，面積也不變）

片斷4：

（多媒體出示一個(gè)能活動(dòng)的平行四邊形框架，演示平行四邊形變成長(zhǎng)方形再變成夾角更小的平行四邊形的過(guò)程，如下圖）

師：在這個(gè)過(guò)程中，周長(zhǎng)的長(zhǎng)短有變化嗎？

生6：周長(zhǎng)不變。

師：面積有什么變化呢？

生7：周長(zhǎng)不變，但是面積變了，可能會(huì)變大，也可能會(huì)變小。

師：想一想，我們剛才的猜測(cè)“周長(zhǎng)不變，面積也可能不變”對(duì)嗎？

……

通過(guò)一系列猜測(cè)、驗(yàn)證、比較、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，學(xué)生不僅清晰地理解了面積與周長(zhǎng)兩個(gè)不同的概念，而且學(xué)會(huì)了全面思考問(wèn)題和辨析事物的方法。

二、在“變與不變”中探究規(guī)律

課程改革實(shí)施以來(lái)，不同版本的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書都對(duì)探索規(guī)律的內(nèi)容進(jìn)行了合理選擇和精心設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)教材中的一些規(guī)律、性質(zhì)或公式，幾乎都可以通過(guò)“變與不變”思想方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)。

例如，教學(xué)“商不變的性質(zhì)”一課時(shí)，教師讓學(xué)生在觀察一系列的算式后思考：“被除數(shù)和除數(shù)變了，但商不變，這里面隱藏著什么規(guī)律呢？”在學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律和歸納出性質(zhì)以后，教師可以適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生用“什么變了，什么不變，變化的量是按照怎樣的規(guī)律變化”的模式來(lái)進(jìn)行歸納總結(jié)。以此類推，在后面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會(huì)有意識(shí)地按照“變與不變”的思想方法來(lái)觀察和總結(jié)，一樣能夠推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)。

同樣，在“空間與圖形”這一領(lǐng)域教學(xué)中，教師常用到轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)方法，但在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生尋找“變與不變”的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例如，教學(xué)“平行四邊形的面積計(jì)算”一課時(shí)，教師先讓學(xué)生通過(guò)割補(bǔ)、剪拼等方法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，再引導(dǎo)學(xué)生抓住“什么變了”和“什么不變”來(lái)探究。學(xué)生通過(guò)認(rèn)真觀察、仔細(xì)對(duì)比后發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的底與轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等，平行四邊形的高與轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形的寬相等，平行四邊形的面積與轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形的面積相等。而長(zhǎng)方形的面積公式是學(xué)生已經(jīng)掌握的，即長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，因此學(xué)生通過(guò)遷移發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的面積=底×高。就這樣，在“變與不變”思想方法的指導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)操作就能獨(dú)立地推導(dǎo)出平行四邊形的計(jì)算公式。同樣，在推導(dǎo)三角形、梯形、圓的面積計(jì)算公式以及圓柱體積計(jì)算方法時(shí)，學(xué)生會(huì)自覺地運(yùn)用“變與不變”的思想方法去發(fā)現(xiàn)、去探究。

三、在“變與不變”中解決問(wèn)題

世界上的事物總是在不斷變化、發(fā)展著的，而變化中又蘊(yùn)含著聯(lián)系和不變的因素，從錯(cuò)綜復(fù)雜的變化中發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系和不變，往往是解決問(wèn)題的突破口。如“盈虧問(wèn)題”“年齡問(wèn)題”“立體圖形中等積變化問(wèn)題”“牛吃草問(wèn)題”以及其他較復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題等，都是學(xué)生感覺比較困難的問(wèn)題，但如果學(xué)生學(xué)會(huì)了在變化中尋找不變的規(guī)律，問(wèn)題就變得相對(duì)簡(jiǎn)單了。

例如：“科技書和文藝書共有630本，其中科技書占20%，后來(lái)又買來(lái)一些科技書，這時(shí)科技書占30%，又買來(lái)科技書多少本？”這里，變化的是科技書的本數(shù)與總本數(shù)，不變的是文藝書的本數(shù)。解決問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生緊扣住不變的量——文藝書的本數(shù)，最后得出：文藝書的本數(shù)為630×（1-20%）=504（本），變化后的總本數(shù)為504÷（1-30%）=720（本），增加的科技書為720-630=90（本）。這樣，在紛繁復(fù)雜的變化中，以不變的量為突破口，使問(wèn)題迎刃而解。

總之，“變與不變”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與日常生活中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種常用的思想方法。教師要以學(xué)生為本，根據(jù)學(xué)生的發(fā)展需要，從整體、本質(zhì)上理解教材，注重挖掘教材中蘊(yùn)含的這一教學(xué)資源，科學(xué)、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 藍(lán) 天）