角三等分器的巧作

黃駒

摘 要 介紹角三等分器的結構、使用方法及制作原理。

關鍵詞 初中數學；角三等分器；尺規

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2015）21-0024-03

1 前言

初中數學人教版八年級上冊“角平分線的性質”一節介紹了尺規二等分已知角的方法，學生學習以后往往提出如何三等分已知角？教材沒有也不可能有尺規三等分已知角，用度量的方法三等分，學生雖然易學，但太乏味。為了迎合學生的求知欲，筆者制作了“角三等分器”，既能復習“等腰三角形的性質”，滲透“切線長定理”，又能激發學生的學習積極性。

2 簡圖結構及使用方法

角三等分器的簡圖結構 如圖1所示，線段A1M1垂直平分AO于點A1，A1A2是半圓O的直徑，其中A1M1=30，AO=12。

簡圖結構的使用方法 如圖2所示，調節角三等分器與被三等分角之間同時滿足“一切二過”，便能作出已知角的二條三等分線（以三等分已知∠GHN為例），步驟如下。

1）調節角三等分器的半圓與∠GHN的一邊相切。（一切）

2）調節角三等分器，使線段A1M1經過角的頂點H（若角的邊較長，可調節點M1與角的頂點H重合）。（一過）

3）調節角三等分器，使∠GHN的另一邊HG經過點A。（二過）

4）分別記下點A與點O的位置。

5）分別作射線HA1和HO，則射線HA1和HO就是∠GHN的二條三等分線。

【注】此時利用了角三等分器的點A2（即利用過點A2的半圓）、O、A1（利用過點A1的垂線）和點A。為了便于利用圖4三等分已知角，在此把A2、O、A1、A稱為“第一組有效點”。

3 制作原理

已知：如圖3所示，△HAO中，HA=HO，HA1⊥AO于A1，半圓O分別切HA1和HN于A1、P。

求證：HA1、HO是∠GHN的二條三等分線。

證明：∵HA=HO，HA1⊥AO于A1

∴∠α=∠β（等腰三角形底邊上的高平分頂角）

∵半圓O分別切HA1和HN于點A1、P

∴∠β=∠γ（切線長定理）

∴∠α=∠β=∠γ

即HA1、HO是∠GHN的二條三等分線。

4 簡圖結構的局限性

如圖3所示，∵線段A1M1=30，而AA1=1/2·AO=1/2×12=6

∴在Rt△M1AA1中，ctgα=A1M1 /AA1=30/6=5

∴∠α=11°19′

∴3∠α=11°19′×3=33°57′

即簡圖結構存在只能三等分大于或等于33°57′的角的局限。

5 簡圖結構的完善制作及使用方法

簡圖結構的完善制作 如圖4所示，為了能夠三等分小于33°57′的角（且不用延長角的兩邊），必須對簡圖結構加以完善，完善制作過程如下。

1）作出半圓O的半徑OA1的六等分點B1、C1、D1、E1、F1。

2）分別過點B1、C1、D1、E1和F1作OA1的垂線B1M2、C1M3、D1M4、E1M5和F1M6。

3）作半圓O的半徑OA2的六等分點B2、C2、D2、E2和F2。

4）以O為圓心，分別以OB2、OC2、OD2、OE2和OF2為半徑作出五個圓心角為直角的同心扇形，至此初步完善了角三等分器的結構，則：點B2、O、B1和B為第二組有效點；點C2、O、C1和C為第三組有效點；點D2、O、D1和D為第四組有效點；點E2、O、E1和E為第五組有效點；點F2、O、F1和F為第六組有效點。

不延長角的兩邊，利用三等分器三等分小于33°57′的角的方法 如圖5所示，不延長角的兩邊，利用角三等分器三等分等于27°的∠RIQ。因為不延長角的兩邊，若利用簡圖結構（即利用第一組有效點A2、O、A1、A）三等分此角，顯然無法同時滿足“一切二過”，所以必須考慮利用第二組有效點（B2、O、B1、B）來三等分。容易發現利用第二組有效點仍無法同時滿足“一切二過”，故改用第三組有效點（C2、O、C1、C）來三等分此角。步驟如下。

調節角三等分器，使過點C2的弧與角的一邊IQ相切；使過點C1的垂線C1M3經過角的頂點I；使角的一邊IR經過點C；記下點C1和O的位置；分別作射線IC1和IO，則IC1和IO就是∠RIQ的二條三等分線。

【注】∵線段DD2、EE2、FF2都小于CC2

∴利用第四組、第五組和第六組有效點均能三等分∠RIQ

增設第七組有效點能夠三等分最小的角的度數為2°51′ 如圖6所示，以O為圓心，以F1O為半徑作小半圓O交F1F2于點F1和F2′，過點F1′作M7F1′⊥F1F2，則F2′、O、F1′、F1為第七組有效點。

過點M7作小半圓O的切線M7N，切點為N，連結M7F1得∠F1M7N，為被三等分的最小的角（射線M7F1′和M7O為二條角的三等分線）。

在Rt△F1F1′M7中，F1F1′=0.5，M7F1′=30

∴tg∠F1M7F1′=F1F1′/M7F1=0.5/30≈0.0167

∴∠F1M7F1′=57′

∴∠F1M7N=3∠F1M7F1′=3×57′=2°51′

被三等分角（θ）的取值范圍 2°51′≤θ≤270°。endprint