淺析高考數(shù)學中有關遞推數(shù)列的問題研究

趙玲燕

【摘要】對于任何學科知識的學習來說，除了掌握必要的基礎知識之外，還需要具有一定的學習思維和解題方法。高中數(shù)學相對于其它學科來說，難度系數(shù)較大，學生學起來感覺有些吃力，有的時候感覺基礎知識和教材案例都掌握的非常好了，但是遇到問題之后還是表現(xiàn)的有些恐慌，甚至找不到解題的思路和切入口。在每年的高考中，牽扯的內(nèi)容較多，其中不乏數(shù)列知識，在題型的設計上有選擇題、填空題也有探究性的大題，所占分值也不低。本文中，筆者通過文獻研究，分析了近幾年的高考數(shù)學題，以遞推數(shù)列的考試內(nèi)容為例，分析和探究了有關遞推數(shù)列的解法問題，希望能對高中數(shù)學的教學發(fā)展和學生解題思維的提升起到一定的促進作用。

【關鍵詞】 高考數(shù)學 ?遞推數(shù)列 ?解題思維 ?解題方法 ?學生發(fā)展

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）11-0221-02

高考數(shù)學試題每年都是不一樣的，但是所謂的“換湯不換藥”，在總結歷年的數(shù)學考題中，我們發(fā)現(xiàn)很多的問題解答在方法上和切入點的突破上具有一定的相通性。針對數(shù)列知識牽扯到的對數(shù)列遞推公式的考查內(nèi)容來說，翻閱高考數(shù)學試卷可以看出既是考試的熱點，又是考察的重點和難點，必須讓學生子啊掌握基礎知識的同時，提升自身的解題思維和解題能力，這樣才能以不變應萬變，提升解題效率和正確率。本文中，筆者運用化歸思想，構造新等差、等比數(shù)列，例談幾類遞推數(shù)列通項的具體模型，希望能對數(shù)學問題的解答提供一些建設性的意見和啟迪。

一、 型

形如 ?（為常數(shù)且）的數(shù)列，求解此類線性關系的數(shù)列的通項公式一般可用待定系數(shù)法，通過化歸，轉化為新的等比數(shù)列，最后結合新等比數(shù)列的公式或性質(zhì)來求解與轉化。

經(jīng)典案例：已知，求數(shù)列的通項公式。

解題過程：設，所以，

所以，即，所以數(shù)列是以

為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即所

以 。

【解題思維評析】根據(jù)的線性關系，把所求數(shù)列通項問題轉化為求與其相關的新的等比數(shù)列問題，由于觀察、分析角度不同，因此解答此類問題方法各異。這里采用待定系數(shù)法可收到化難為易之功效。

二、型

形如的數(shù)列，求解此類數(shù)列的通項公式一般先通過變形為，再利用累加法 …，代入相應的關系式，再加以合理分析與求解。

經(jīng)典案例：已知，求數(shù)列的通項公式。

解題過程：由于，

將上面?zhèn)€式子相加，得，

所以 ：

【解題思維評析】在運用累加法時，等式的左邊相加后只剩 ，等式的右邊一般是等差或等比的前n—l項和一般給出或很易求得。所以此法求通項較容易，但要看清項數(shù)，這是累加法易錯的地方，要引起重視。

三、型

形如的數(shù)列，求解此數(shù)列的通項公式一般先把原遞推公式轉化為，利用累乘法

·代入相應的關系式，再加以合理分析與求解。

經(jīng)典案例： 已知數(shù)列滿足求·

解題過程：由條件知，

分別令 ，代人上式得（n一1）個等式累乘之，

即所以，又因為

，所以。

【解題思維評析】 在運用累乘法時，關鍵是正確處理累乘時等式右邊中對應的等式的運算與化簡。同時，和累加法一樣，要看清數(shù)列對應的項數(shù)，計算時數(shù)列的項數(shù)問題最容易出錯，要引起高度重視。

四、型

形如的數(shù)列，求解此數(shù)列的通項公式一般也可采用待定系數(shù)法，通過設定參數(shù)，轉化為新的數(shù)列如的問題，再化歸為相應的等比數(shù)列來求解與處理。

經(jīng)典案例： 已知，求數(shù)列的通項公式。

解題過程：設，所以，所以，

所以數(shù)列是以3為首項3為公比的等比數(shù)列，所以 。

【解題思維評析】認真觀察、分析已知的遞推關系，逐漸將一個生疏問題轉化為熟悉問題，通過待定系數(shù)法，把陌生的數(shù)列問題巧妙化歸為等比數(shù)列，運用等比數(shù)列通項的求法求解，可謂“絲絲入扣”。

五、型

形如的數(shù)列，求解此數(shù)列的通項公式一般也是通過待定系數(shù)法，巧妙找出相應的遞推關系式，轉化為問題，最后再化歸為相應的等比數(shù)列來處理

經(jīng)典案例： 已知數(shù)列中，求。

解題過程：令，易求

，

所以是公比為3的等比數(shù)列，其首項為，所以

，故。

【解題思維評析】根據(jù)題設特征恰當?shù)貥嬙燧o助數(shù)列，通過待定系數(shù)法，利用基本數(shù)列可簡捷地求出通項公式。解答本題的關鍵是如何想到找到正確的的值，合理構造相應的等比數(shù)列，從而解決問題。

小結：本文通過具體事例，構造了五種數(shù)列模型，將原問題轉化為另一個比較熟悉、比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。

數(shù)列知識和問題的考察成為高考數(shù)學考試內(nèi)容經(jīng)常牽扯的知識點，無論是從分值、數(shù)量還是難度上都有所提升。在高考數(shù)學數(shù)列知識的考察中，對數(shù)列遞推公式的考查已成為熱點，考試的頻率較高，但用遞推數(shù)列求數(shù)列通項有著很強的靈活性，導致很多的學生遇到問題之后就無從下手，找不到解答問題的切入點，使得學生在考試中不能穩(wěn)定的發(fā)揮，導致學生情緒緊張慌亂，降低了解題效率和正確率，出現(xiàn)成績不理想的情況。實踐證明，提升學生解決此類問題的能力并不難，當我們接觸的問題難以人手時，思維就不應停留在原問題上，而應將原問題轉化為另一個比較熟悉、比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。一般來說，在牽扯到由遞推數(shù)列求通項公式的問題中，解決的方法一般分為2種：第一種就是采用先歸納猜想，再用數(shù)學歸納法證明的方法來解決問題;第二種就是通過構造等差數(shù)列或等比數(shù)列，運用等差或等比數(shù)列的相關性質(zhì)解答問題。因為等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，學生比較熟悉，也能理解。所以，當學生遇到陌生的遞推關系式時，可以通過等價變形，化為熟悉的遞推關系式，再化為等差或等比數(shù)列，進而通過問題的轉換來解決問題。教學中引領學生在解題中感悟、運用化歸思想構造基本解題模型，對學生學習數(shù)學、發(fā)展能力和促進素質(zhì)教育都是至關重要的，學生的創(chuàng)新精神也會在挖掘隱性關系過程中得到良好的培養(yǎng)。

數(shù)學知識根源于生活，是生活常識的抽象化總結。數(shù)學模型就是實現(xiàn)了抽象的數(shù)學理論和生活數(shù)學的有機結合，架起了一座橋梁，通過知識和問題的轉化，提升了解題的效率，這也是未來數(shù)學教學和考察的趨勢所在。它利用數(shù)學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現(xiàn)實問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導。運用遞推式解決數(shù)學問題，對開發(fā)學生數(shù)學思維、培養(yǎng)其數(shù)學應用能力有積極的作用，利用遞推式建模，將對我們的數(shù)學教學有極大的幫助。

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