“抽屜原則” 在初中幾何教學中的應用

徐秀賢

摘 要： 如何提高素質教育、豐富課堂教學、培養學生的創新意識、給學生在課堂上創造動手的機會，本文列舉了在初中幾何教學中遇到的：直線與直線的位置關系，點和直線的位置關系，直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，以及運用反證法證明“如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內接于圓”等內容，利用“抽屜原理”，給學生先下一個斷言，造成一種懸念，激發學生的學習興趣，通過動手作圖，小組討論，最后得出結論，以達到培養學生探究習慣和創新精神的目的。

關鍵詞： 抽屜原理 初中幾何 教學應用

“抽屜原則”也叫“抽屜原理”。其具體意義是：把m+l（或更多）件物體任意放入m個抽屜里，則至少有一個抽屜里放入物體的件數不小于2（m為正整數）。這種具有某種物質的對象的存在性無處不在，已被廣泛應用到現實生活中。打個比方：兩個抽屜里要放三本書，可以斷言：“其中有一個抽屜里至少要放兩本書。”明確了這一原理，不難發現在現實生活中經常有類似的問題。如果三個蘋果要分給兩個小孩，其中有一個至少要得到兩個。又如：一組十三位的同學，他們當中至少有兩位同學是同月出生。若把這個有趣的原理應用到初中幾何教學中，能便抽象的知識更加具體、形象，對激發學生的學習熱情、啟發學生的思維具有獨特的效果。

在學習“在同一個平面內不重合的兩條直線的位置關系有平行和相交”這一內容時，為了使學生加深印象，給學生動手的機會。授課時可讓每位學生先各畫兩條直線，然后三個同學組成一個小組進行觀察總結位置關系的情況，登記兩條直線相交或平行的情況。最后老師可下個斷言：“在你們的每個小組中所畫的直線至少有一種（相交或平行）重復，然后請學生檢驗老師的斷言是否正確。并且請學生總結在三個同學中所畫可能出現的情況：1.三組平行線；2.兩組平行線，一組相交；3.一組平行線，兩組相交；4.三組都相交。在這四種情況中都有重復出現。亦可讓每位學生各畫三組直線：l■與l■，l■與l■，l■與l■，然后請學生觀察所畫的各組直線中是否存在重復的情況。其結果將和上例是相同的。當老師的斷言得到證實之后，可引導學生探索為何會出現重復情況呢？學生就不難發現兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種，因此多出一組就會重復出現。使學生明確這一道理后，就可以得出結論：“在同一個平面內，不重合的兩條直線的位置關系只有相交和平行。”在這里還可以引申不在同一個平面內的兩條直線的位置關系有什么不同？讓學生思考、想象。采用這種教學法，先給學生下個斷言，給學生造成一種懸念，吸引了學生的注意力，引起了學生的學習興趣，同時讓給學生既動腦又動手。從親自作圖中找出答案，使學生易于接受，既理解又牢記。

在點和直線的位置關系的教學中亦可應用“抽屜原理”協助教學。可以先讓學生畫一條直線l，然后再畫出三個點：點A，點B，點C之后，老師可下一個斷言：“你們每位同學所畫的三個點中，在直線上或直線外，至少有兩點的位置是一樣的。這時學生的心理會產生懷疑，會力求找個不同位置使之不重復。此時可引導學生觀察對這一問題存在的幾種可能性。將出現的情況是：三點都在直線l上；兩點在直線l上，一點在直線l外；一點在直線l上，兩點在直線l外；還有三點都在直線l外。同時證實了老師的結論是正確的。使學生觀察到：在同一平面內，點和直線的位置關系只有點在直線上和點在直線外兩種。學生通過自己作圖得出的結論將會留下深刻的印象。雖然這一問題不難理解，若老師僅作講解，沒有讓學生實踐體驗，就不會有這樣的效果。

又如在“直線和圓的位置關系“的教學中，同樣可以采用“抽屜原理”。讓學生畫出一個圓和四條直線之后，請學生觀察直線和圓的交點情況：有兩個交點，一個交點和沒有交點。因此，四條直線和圓的位置關系中至少要有上述情況中的一種情況重復出現。從而得出：在同一平面內直線和圓的位置關系有相交、相切和相離三種情況（它們分別是兩個交點、一個交點和沒有交點）。學生通過自己作圖，有些同學可能會僅僅作出某種情形中的一種：如四條直線都和圓相離。若老師事先給他下個斷言學生就會力求作出不重復的現象。結果還是重復出現了。這時學生就會聯想到若畫三條直線，可以不使某種情況重復出現（即一條相離，一條相切，一條相交）。這時學生就會明白一個道理，圓和直線只有三種位置關系，四條直線自然會有重復出現。從而使學生對圓和直線的位置關系這一抽象的知識了解得更全面、更透徹，并留下深刻的印象。

圓和圓的位置關系較復雜，有外離，外切，相交，內切，內含等五種情況。同樣可以利用抽屜原理協助教學。可以請學生先畫一個大圓，再畫出六個小圓，同樣有類似的重復現象出現。這時可采用抽樣調查的方法，把抽到的同學所出現的位置關系情況進行列表登記，可以發現每個同學中所畫的圓與圓的位置關系中至少有一種是重復的。也從抽樣中發現有五種不同的位置關系。從而總結出圓和圓的位置關系，這樣可以使學生學會作出圓和圓的各種位置關系圖，對于兩圓的各種位置關系的認識更深刻。

用反證法證題時須考慮可能出現的幾種情況，亦可以應用“抽屜原理”。如在證明定理“如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形內接于圓”。因為不在同一條直線上的三點可以確定一個圓，那么第四點能否落在這個圓上？用反證法證明要考慮到點和圓的位置關系。為了培養學生對問題看法的全面性，可以讓學生作一個三角形的外接圓，因為點A、點B、點C都在圓上，所以四邊形的ABCD的第四個頂點D是否在圓上。若要求學生畫出點D的四個位置，使學生力求找出不同位置，當學生找出三種不同位置后再找就出現重復。這樣學生就會明確點和圓的位置關系只有在圓內、圓上和圓外三種情況。因此，證明時應從這三方面入手。這種教學方法會引起學生在用反證法證明的過程中，注意對某種問題進行多方面考慮，培養學生分析問題的全面性，在分析問題的同時，思考還有沒有不同的情況。

素質教育必須發揮學生的主觀能動性，展開積極思維，學會從不同角度、不同方法思考問題，帶著懷疑的態度分析、探索。應用“抽屜原理”協助教學，首先給某個問題下個斷言，給學生創造一種懸念，集中了學生的注意力。讓學生帶著懷疑的態度去思考、去作圖、去驗證，從而得出正確的結論。培養學生從實踐中總結經驗，提高對事物看法的全面性和分析問題、解決問題的能力。