HPM視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計

徐長俊

摘 要：高中學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程是存在歷史相似性的，這就要求教師在實際教學(xué)中更多地了解數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的歷史過程，并按照歷史發(fā)生教學(xué)法的原則和步驟設(shè)計開展自己的課堂教學(xué)。本文試圖通過在HPM視角下設(shè)計實施的導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用教學(xué)，重構(gòu)微積分發(fā)展的歷史過程[1]，通過一個個實際問題情境的設(shè)置，讓學(xué)生在解決問題的過程中體驗導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，從而加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解。

關(guān)鍵詞：HPM；高中數(shù)學(xué)；發(fā)生教學(xué)；導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)概念中，導(dǎo)數(shù)概念是一個非常重要的概念，它為函數(shù)性質(zhì)的研究提供了一個比較普遍的方法，從而減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)中復(fù)雜的函數(shù)技巧的壓力，使得函數(shù)的研究輕松許多。但當前的高中數(shù)學(xué)課堂中更著重導(dǎo)數(shù)實際應(yīng)用的教學(xué)，忽視了導(dǎo)數(shù)概念本身的分析，從而導(dǎo)致學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)缺乏理解，妨礙了學(xué)生在解題中靈活和準確運用導(dǎo)數(shù)概念。

1 HPM教學(xué)法的意義

在當下的數(shù)學(xué)運算中經(jīng)常會用到HPM的解題方法。比較成熟的算法是對于非線性方程組的解法同時這種解法也是一種新的思考方式。這種方法最早是由傳統(tǒng)的攝動法和拓撲中的相互耦合得到的。對于比較難解決的問題利用HPM可以得到很好的數(shù)值結(jié)果。所以對于HPM的應(yīng)用受到了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，在這個過程中還在不斷地推廣和修正，并且也在各個領(lǐng)域有了更好的應(yīng)用。HPM算法還可以用在不連續(xù)的非線性震蕩當中，可以解決邊值問題。對于微積分的應(yīng)用和可以進行耦合反應(yīng)和進行擴散方程的運算。對于非線性的方程采用HPM實現(xiàn)了方程的迭代計算方法，進而改寫一個耦合的非線性方程。

2 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計與反饋

2.1 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用中的“易拉罐最佳比例問題” 首先需要創(chuàng)設(shè)情景：在我們的現(xiàn)實生活中易拉罐可以說是經(jīng)常遇見，而這些易拉罐在對可樂或者是啤酒的實際容量是相同的，這樣的設(shè)計尺寸基本上是一樣的，這樣的設(shè)計是巧合嗎？

探究原因：對于易拉罐的設(shè)計在最初一定要考慮的問題就是，怎樣做才能保證材料做到最省，而在做易拉罐是材料又和易拉罐的表面積有很大的關(guān)系，因此可以提煉出一個問題：體積相同的圓柱體，它的高和半徑取怎樣的值時，才能使得其面積最小？很明顯在用一般的書算法是很難算出的，所以要借助于導(dǎo)數(shù)的概念來解決問題。

經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)：高度約為實際半徑的4倍，實際上和計算出來的結(jié)果不相同，可是問題到底出現(xiàn)在哪里呢？易拉罐的厚度和它的側(cè)面與底面厚度是完全不同的：經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)易拉罐側(cè)面的厚度是0.011cm，其中頂部的厚度是0.028cm，而底面的實際厚度是0.021cm，為了計算的方便可以將側(cè)面的厚度近似的計算為0.01cm，其中底面的厚度計算為0.02cm，再次讓學(xué)生計算出易拉罐的高和半徑的實際比值。經(jīng)過再次計算發(fā)現(xiàn)和測量的實際值幾乎一致。

結(jié)果分析：利用HPM的方法可以很好地將問題變得簡單化，使得學(xué)生在初次接觸導(dǎo)數(shù)的概念以后，覺得這個概念并不是很難，而且非常重要的一點是可以利用HPM的方法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念使得生活中常見的問題，利用一般正常的數(shù)學(xué)思想很難解決可以通過利用HPM的方法很容易地解開，這樣在很大程度上吸引了學(xué)生，引起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為以后對導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。在設(shè)計導(dǎo)數(shù)概念課程時，教師還考慮到了創(chuàng)設(shè)情景，然后提出問題，解決問題。而在解決問題中又出現(xiàn)了問題，引導(dǎo)學(xué)生再次深入地探討關(guān)于易拉罐半徑和高度的最佳比例問題。這樣一個教學(xué)過程易于引發(fā)學(xué)生的思考，易于帶動他們自己動手來探討問題，最終找到正確的答案，這樣就可以很大程度地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率及課堂的教學(xué)質(zhì)量。當然以上的問題還是比較簡單的，要想引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)概念理解得更加透徹和深入就需要結(jié)合實際問題再次提出更深入的問題，當然在這個過程中依然要借助于HPM的方法進行實際的探究過程，這里主要是借助于HPM的解題思想。

2.2 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用中的“球體最佳比例問題”

情境引入。模擬現(xiàn)代交通網(wǎng)設(shè)計如下例題：在圖中A點和C點分別位于寬度為40m的河岸上，其中B點和C點分別位于河兩邊的正對岸，其中A、B兩點之間的距離達到了100m，在陸地上的運輸速度是在水上運輸速度的兩倍，為了使得從A點到C點的實際運輸時間最短，需要在D點上設(shè)立水陸轉(zhuǎn)換碼頭，求角BDC和AD之間的距離？很顯然要想解決以上問題只能借助于導(dǎo)數(shù)的概念。

解：首先要設(shè)定水流的速度是1，那么在陸地上的實際運輸速度就是2，這里面社設(shè)定BDC的角度是θ，那么就可以得到導(dǎo)數(shù)函數(shù)：

3 結(jié)語

HPM 不能作為一種形式，它是為滿足提高教學(xué)效率而運用數(shù)學(xué)史知識的一種教學(xué)理念，因此不能在教學(xué)中簡單的對數(shù)學(xué)史進行復(fù)制，這樣難以讓學(xué)生在復(fù)制的歷史中學(xué)習(xí)概念。可以針對導(dǎo)數(shù)概念在產(chǎn)生過程中遇到的幾個問題構(gòu)造相類似的簡單問題，讓學(xué)生重新體驗導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的過程，更好地理解和掌握導(dǎo)數(shù)的概念。數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能只是數(shù)學(xué)史的教學(xué)，而是教師對數(shù)學(xué)史知識的再創(chuàng)造，是學(xué)生對歷史的傳承與創(chuàng)新。

參考文獻：

[1]王芳.數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)教學(xué)的行動研究[D].華東師范大學(xué)，2012.

[2]王芳，汪曉勤.HPM視角下的“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2014.

[3]王芳，汪曉勤.HPM視角下“導(dǎo)數(shù)幾何意義”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012.