運用動態規律 提升想象能力

朱燕鋒

[摘 要]數學知識來源于生活，尤其是圖形類知識，在現實生活中都能找到原型，在多姿多彩的世界里，只要用心觀察，處處是圖形，處處是數學。教師要充分利用學生現有的基本生活經驗，正確引導學生用數學的眼光去關注、去體會美麗多彩的世界，從而把課堂教學中學到的數學知識與實際生活聯系起來。借助幾何直觀，發展學生的空間想象能力，開展綜合實踐活動。

[關鍵詞]數學原型 圖形運動 模型思想 幾何直觀

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）08-011

2011版數學課程標準提出：在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。滲透模型思想和借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

學生其實很早就在實際生活中接觸過平移和旋轉的知識，例如一個人在行走的過程中就是人的平移或位移，體育課中的四面轉法就是旋轉……學生對于圖形的運動方式理解起來應該不難。因此，在剛接觸規則柱體時，教師就應該滲透規則柱體可以看成是由基礎圖形運動形成的模型思想，聯系生活實際，發展學生的空間想象能力，為后續的深入教學進行鋪墊。

以人教版數學六年級下冊關于圓柱的體積計算公式的推導為例，圓柱的體積計算是在六年級上冊學習了圓的知識的基礎上才研究的課題，課本介紹了圓柱可以看成是由長方形繞其中一邊旋轉而成，但沒有深入介紹其中的知識點，沒有介紹和提及“圓柱可以看成是由圓平移一定距離形成的”。因此，關于此類知識點的習題，學生錯誤率比較高，造成這種現象的其中一個重要原因是學生的空間想象能力欠缺，沒有得到最大限度的開發和利用。事實上，教師可先讓學生自學課本上介紹的方法，課堂上著重介紹圓柱的形成過程，讓多種思維方式發生碰撞，碰撞出智慧的火花。

【思維方式一】圓柱可以看成是由圓平移一定的距離形成的運動軌跡。

教師課前準備了大量的圓形墊片，在學生進行擺拼和拆分的實踐操作后提問：“在擺拼的過程中，形成的圖形是什么圖形？（圓柱）擺拼的長度或高度是圓柱的什么？（高）圓形墊片是圓柱的什么？（底面）擺拼出來的圓柱占了一定的空間，這在數學中是什么？（圓柱的體積）現在你能說出圓柱的體積是怎么計算的嗎？（圓柱的體積=底面積（圓的面積）×高（擺拼的長度或高度））”在一步一步推導出“圓柱的體積=圓周率×半徑的平方×高”后利用多媒體設備將圓柱的形成過程進行演示，加深學生的理解，發展學生的空間想象能力，最后引導學生尋找生活中的實例，如筒狀月餅、圓形餅干的包裝等。通過上述的教學，學生一定牢牢記住了圓柱體積的計算公式。

在拆分（一分為二）的過程中，引導學生觀察并提問：“圓柱的什么發生了變化，什么沒有發生變化？（表面積發生了變化，體積不變）表面積是增加還是減少？（增加）增加了多少？（兩個底面積即兩個圓的面積）在合并（二合為一）的過程中，表面積是增加還是減少？（減少）減少了多少？（兩個底面積即兩個圓的面積）這個過程其實在我們的生活中也是經常出現的，即物體的橫切，表面積增加（減少）的是2個橫切面——底面。如切黃瓜、鋸木頭等。”

經過對一系列問題的探究，在解決圓柱體橫切表面積增加（減少）的問題時，學生自然就沒有困難了。

最后教師進行歸納提升：“圓柱體有這樣的規律，其他的規則柱體，如長方體、正方體等是不是也可以這樣來理解？”舉例：書本、方形餅干等。

通過多媒體演示建立模型，給學生滲透模型思想。

例1 （小學數學六年級下冊導學新作業（B）第10頁第3題）如圖3所示是一個柱體，高為15厘米，底面是一個半徑為4厘米、圓心角為270度的扇形，求這個柱體的體積。

解析：由題已知該柱體的底面是一個半徑為4厘米、圓心角270度的扇形，高為15厘米，要求這個柱體的體積，即可以把這個柱體看成是一個由四分之三圓向上或向下平移15厘米形成的。列式為“3/4π×4×4×15=180π（立方厘米）”。

例2 （小學數學六年級下冊導學新作業（B）第11頁第2題）一根2米長的圓柱形木材，橫截成3段后，表面積增加了80平方厘米。這根木材的體積是多少？

解析：本題要考慮兩個問題。（1）單位不統一，首先要換算單位，2米=200厘米；（2）求體積，沒有圖，比較直觀的方法是畫出圖形，借助圖形解決問題。

圓柱體橫截成3段后，表面積增加了80平方厘米，即圓柱橫切增加4個相等的底面，4個相等的底面等于80平方厘米。故列式為“80÷4×200=4000（立方厘米）”。

例3 有3個底面相等、長是5分米的圓柱體，將它們拼成一個圓柱體，表面積減少了120平方分米，拼成后的長方體體積是多少平方分米？

解析：首先要畫出圖形，借助圖形解決問題。3個相等的圓柱體拼成一個圓柱體，表面積減少120平方分米，即減少了4個底面，4個底面的面積等于120平方分米，高變成了“5+5+5=15（分米）”，故列式為“120÷4×15=450（立方分米）”。

【思維方式二】圓柱可以看成是由長方形或正方形繞其一邊旋轉而成的運動軌跡。

讓學生嘗試轉動課前準備的一面帶柄的長方形小旗（硬質）后思考：“在小旗轉動的過程中，形成了一個什么圖形？（圓柱）小旗的寬度是什么？（圓柱的高）小旗的長度是什么？（圓柱的底面半徑）在轉動的過程中小旗占有了一定的空間，是什么？（圓柱的體積）圓柱的體積可以怎么計算？（圓柱的體積=圓周率×半徑的平方×高，即圓柱的體積=底面積×高）”教師利用多媒體演示轉動的過程，引導學生在生活中找到對應的數學模型，如酒店的旋轉門等。

學生探究后發現：在轉動的過程中，當長方形或正方形繞長或寬旋轉到180度時，相當于把圓柱縱切成相等的兩份，表面積增加了4個長方形或正方形的面積，即增加的表面積=半徑×高×4或直徑×高×2。

教師通過引導學生想象“一個半圓形繞直徑旋轉一周形成（球體），一個直角梯形繞高旋轉一周形成（水桶體），一個直角三角形繞直角邊旋轉一周形成（圓錐）……”發展學生的空間想象能力，讓學生在頭腦中建立數學模型。

例4 （小學數學六年級下冊導學新作業（B）第13頁第3題）把一根圓柱形木料沿底面直徑和高切成大小相等的4份，如圖5，表面積增加了800平方厘米，已知圓柱的底面半徑是5厘米，這根木料的體積是多少？

解析：沿底面和高切成大小相等的4份，即縱切，增加8個以底面半徑為寬的長方形，8個以底面半徑為寬的長方形的面積等于800平方厘米，可以求出1個長方形的面積“800÷8=100（平方厘米）”，然后求出長方形的長，即圓柱體的高“100÷5=20（厘米）”，最后利用圓柱的體積公式求圓柱的體積，列式為“5×5×π×20=500π（立方厘米）”。

例5 （小學數學六年級下冊導學新作業（B）第66頁填空題第10題）如圖6所示，把底面直徑為8厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體。這個長方體的表面積和原來比增加了80平方厘米，那么圓柱的高是（ ）厘米，長方體的體積是（ ）立方厘米。

解析：如圖6所示，圓柱縱切后拼成近似的長方體，表面積增加了1個以底面直徑8厘米為寬的長方形，即增加了80平方厘米，這時可以求出長方形的長，即圓柱的高“80÷8=10（厘米）”。利用轉化的思想得到圓柱體體積即長方體體積，體積不變，圓柱體積（長方體體積）為“π×4×4×10=160π（立方厘米）”。

在課堂教學時，教師要引導學生從多種思維角度去分析問題、思考問題，讓學生形成靈活運用知識解決實際問題的能力。總之，數學來源于生活，但又高于生活，是從生活中抽象出來的，數學教學只有聯系學生已有的生活經驗，引發學生的思考與想象，才能真正提高學生的數學能力。

（責編 童 夏）