初中數學教學中的建模研究

宣其均

摘 要： 中學階段常見的數學模型有方程模型、不等式模型、函數模型或幾何模型、統計模型等，我們把運用數學模型解決現實問題的方法統稱為應用建模。強化數學建模能力，不僅能使學生更好地掌握數學基礎知識，學會數學的基本思想和方法，而且能增強學生應用數學的意識，提高分析問題、解決實際問題的能力。

關鍵詞： 初中數學 數學模型 數學建模 數形結合

數學新課標教學大綱明確提出：“強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”所以說強化數學建模能力，不僅能使學生更好地掌握數學基礎知識，學會數學的基本思想和方法，而且能增強學生應用數學的意識，提高分析問題、解決實際問題的能力。

數學建模的具體步驟：第一，根據實際問題的特點進行數學抽象，構建恰當的數學模型。第二，對所得到的數學模型，進行邏輯推理或數學演算，求出所需的解答。第三，聯系實際問題，對所得到的解答進行深入討論，作出評價和解釋，返回到原來的實際問題中，得出實際問題的答案。

一、方程模型

現實生活中廣泛存在著數量之間的相等關系，“方程（組）”模型則是研究現實世界數量關系最基本的數學模型，它可以幫助人們從數量關系的角度更正確、更清晰地認識、描述和把握現實世界。

案例1：一元二次方程中的“平均變化率”問題。為了美化環境，某市加大了對綠化的投資，2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化投資28.8萬元，求這兩年綠化投資的平均增長率。

1.問題分析：假設這兩年綠化投資的平均增長率為x，那么2008年用于綠化的投資額為多少元？2009年用于綠化的投資額為多少元？

2.模型建立：2008年用于綠化的投資額為：20（1+x）；2009年用于綠化的投資額為：20（1+x）■；根據2009年用于綠化的投資28.8萬元，得到方程20（1+x）■=28.8；如果設起始數據為a，終止數據為b，平均變化率為x，則經過兩次增長或降低后得到方程形式為a（1+x）■=b或者a（1-x）■=b。

3.對數學模型求解并回歸實際問題：

解方程20（1+x）■=28.8得：x■=0.2=20%，x■=-2.2（不合題意，舍去）。

故這兩年綠化投資的平均增長率為20%。

二、建立“幾何”模型

幾何與人類生活和實際密切相關，諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設計等涉及一定圖形的性質時，常需建立“幾何模型”，把實際問題轉化為幾何問題加以解決。

三、數形結合建模

要搞好數學建模教學，需要結合數學建模的過程，對能力培養進行分解落實。

（一）培養閱讀和語言轉化能力，這里包括由普通語言抽象為數學文字語言，再抽象為數學符號語言。因為只有出現了符號語言的形式，才能聯想和應用相應的數學結構；要培養抽象、概括能力，數學建模實質上是一個去粗取精、去偽存真、抽象概括的過程。

（二）培養數學檢索能力，從已有的知識中認定相應的數學模型。這與學生認知結構的好壞有關，不僅需要基本的數學能力，而且帶有更大的綜合性和靈活性。

（三）培養聯系實際、全面考慮問題的能力。教學中，只有對上述能力具體落實，數學建模教學才能取得較好的效果。

數形結合就是根據相應數學問題的已知條件和結論之間所存在的一種內在聯系，不僅要分析數量上的關系，還要揭示相應的幾何意義，從而將數量關系同幾何圖形進行巧妙結合，進而有效利用這種結合，探求解決相應數學問題的思路，找到解決問題的思考方法。

數形結合的思想內容一般表現為以下方面：①建立比較恰當的代數模型（一般為方程、函數和不等式模型）；②建立相應的幾何模型（或者是函數圖像），進而有效解決有關函數和方程的問題；③與函數相關的幾何、代數的綜合性問題；④利用圖像形式呈現相應信息的應用問題。

四、在初中數學教學中數形結合建模的意義

在教學中滲透數形結合思想，有利于學生運用這種思想分析數學問題。學生在平常的生活中或多或少會積累一些圖形方面的知識，例如溫度計和它上面的溫度刻度，刻度尺和它上面相應的刻度，每天走過的上學和放學的路線也可以當做是一條直線，教室中的座位等。積極利用學生的這些認識基礎，將學生生活中的數和形相結合的例子轉移到教學中，從而在課堂上滲透相應的數形結合思想，并充分挖掘教材所提供的一些機會，有效把握滲透數形結合思想的契機。

初中數學教師必須積極將生活中的實際問題和探索規律相結合，對學生進行多次的數形結合思想滲透，不斷強化初中數學中的數形結合思想，進而使學生逐漸形成在學習數學的時候有效運用數形結合的意識。教師教授學生在運用數形結合的時候要特別注意一些原則，例如到底是知形確數還是知數確形，進行規律探索的時候要從特殊到一般，進而歸納并總結出一般性的結論。

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