淺談高中數(shù)學教學中數(shù)形結合的應用

展江平

摘 要：數(shù)形結合法作為高中數(shù)學教學過程中經(jīng)常應用的一種方法與思想，可以幫助學生理解抽象概念，把握問題本質(zhì)，讓抽象的數(shù)學知識變得直觀、明了。在高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結合法，不但是學生學習的需求，也是教師教學的需求。

關鍵詞：高中數(shù)學 數(shù)形結合 應用

數(shù)形結合法在高中數(shù)學教學中起著十分重要的作用，以數(shù)學問題所具備的的條件與結論的內(nèi)在關系為依據(jù)，分析代數(shù)意義，揭示幾何意義，其實質(zhì)是通過直觀的圖形來展示晦澀難懂的數(shù)學語言，將抽象思維、形象思維結合起來，培養(yǎng)學生思維的形象性，將問題化繁為簡，更加易于學習。這種數(shù)學方法是經(jīng)過長期實踐而總結出來的，在數(shù)學教學中的應用也十分廣泛。

一、數(shù)形結合在教學應用中存在的問題

1.數(shù)形結合思想觀念不強

教師具備較強的數(shù)形結合觀念可以在很大程度上提升教學效果。但在現(xiàn)實教學中，很多數(shù)學教師仍關注教材知識的講解，更注重解題過程的邏輯推導，而對于數(shù)形結合這種技巧和方法則不夠重視。其原因是由于教師的疏忽，學生對數(shù)形結合法的運用較少，掌握得不夠熟練，影響了學生掌握知識、解答題目的效率和質(zhì)量。

2.與數(shù)學理論知識脫離

數(shù)學是一門抽象學科，學生要借助各種方法和手段來充分理解數(shù)學知識。數(shù)形結合法就是其中的一種，但很多學生在運用數(shù)形結合法時往往用不好，得不到想要的結果，這是因對數(shù)學理論知識掌握得不夠扎實而造成的。雖然學生具備了一定的邏輯思維能力，但對教材知識仍不熟悉，不能做到理論與實踐的有效結合，必然對數(shù)形結合法的運用帶來阻礙。

3.對輔助教學手段不夠重視

很多數(shù)學教師在教學過程中不夠重視對信息教學手段的運用，面對復雜難解的數(shù)學問題，還只局限于傳統(tǒng)的“粉筆式”教學。目前，多媒體技術已引入課堂，作為數(shù)學教師也要與時俱進，充分利用現(xiàn)代教學手段，如使用多媒體演示圖形及作圖過程，等等，讓學生對數(shù)形結合法更感興趣，理解得更深刻。

二、教學中數(shù)形結合問題的解決對策

（一）增強數(shù)形結合的思想觀念

對于人教版高中教材“集合的運算”一節(jié)，學生在剛剛接觸這節(jié)內(nèi)容時，必然會對集合與集合之間存在的關系理解困難。教師可運用數(shù)形結合法，讓學生通過字面去理解“交、并、補”的概念，之后再給出“維恩圖”，讓學生更直觀地感受，最后由教師用集合的語言加以闡述，將數(shù)形結合思想充分運用起來。

比如，“假設有兩個集合，它們是M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}與N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，那么集合M∩N里面有幾個元素？”答案是2個。在分析這道題時，如果僅僅依靠數(shù)量關系進行解題，無論是在思路上還是在步驟上都會比較煩瑣，如果運用數(shù)形結合思想，經(jīng)過認真審題后就會發(fā)現(xiàn)x2+y2=1代表的是圓，x2-y=0則是拋物線，這個問題就可轉化為“第一個方程式所表示的圓和第二個方程式所表示的拋物線，兩者之間有幾個交點？”的問題，這樣一來，答案就可以通過畫圖而得出。

此外，教師還應該充分認識到數(shù)形結合的優(yōu)勢，重點關注數(shù)形結合這種教學方式，勤于探索和思考，在教學中要有意識地運用這種方法，并積極引導學生運用該方法來解決問題。同時，教師要辨識哪些問題運用數(shù)形結合法解決會更便于學生理解，將數(shù)形結合思想落到實處，加強對教材內(nèi)容的探究，將數(shù)形結合法滲透到知識中去。

（二）幫助學生銜接數(shù)學理論知識

高中數(shù)學對于一部分學生而言是比較難的，想要學好則需具備較強的邏輯思維能力，要將數(shù)學原理與實際應用有效結合。在現(xiàn)實教學中，很多學生都是“死學習”，如教材中關于“三角函數(shù)”的知識，教學目標要求學生熟練掌握正弦、余弦定理，并能夠舉一反三。學生往往死記硬背，解題時又不知從何入手。但利用數(shù)形結合法，可先將題目中的三角形畫出來，再思考相關公式，就會找到解決問題的辦法了。

1.數(shù)形結合與函數(shù)解析式的銜接

函數(shù)知識是高中數(shù)學的重點和難點，幫助學生學好函數(shù)至關重要。在函數(shù)中，圖像具備幾何特征，將其與函數(shù)性質(zhì)相結合，解釋函數(shù)的各種基本屬性，如定義域、單調(diào)性、周期性等，體現(xiàn)了數(shù)形結合。對于函數(shù)圖像，需要學生定形定性地全方位觀察和繪制，熟練掌握函數(shù)圖像的對稱變換和平移變換。解題過程中，要以數(shù)的特征為依據(jù)，構建相匹配的幾何圖形，利用規(guī)律和特征來解決問題。也可以把圖形信息轉化為代數(shù)信息，將圖形的推理部分弱化。于是，要解決圖形相關的問題，就變成了解決數(shù)量關系的問題。

比如，“已知雙曲線x2-4y2=4與直線y=k（x+）有且只有一個公共點，k的不同取值有幾個？”這道題根據(jù)數(shù)形結合法，第一步要畫出雙曲線的圖形，并畫出漸近線，根據(jù)圖形和題意得出直線過定點（- ，0），得出雙曲線漸近線方程，根據(jù)這個方程分析得出過這個定點且與漸近線平行直線和雙曲線有一個公共點，這時k就有兩個不同的值，再進一步分析過該點與雙曲線相切的直線也只有一個公共點，k又有兩個不同取值，所以k有四個不同取值。

再比如，“方程sin2x=sinx，在區(qū)間x∈（0，2π）之間有多少個解？”答案是3個解。在分析的過程中，若單純利用數(shù)學解題方法也可以得出答案，但需要進行一次計算，在計算的過程中可能會因為馬虎而遺漏結果。如果利用數(shù)形結合法，首先就要在同一個坐標系里畫出這兩個三角函數(shù)圖像，之后通過觀察就能得出正確答案，相比較起來，后者更簡便、準確。

2.數(shù)形結合與數(shù)學基本概念的銜接

高中數(shù)學新課標要求：數(shù)學課程要讓學生獲取數(shù)學知識與技能，理解數(shù)學的概念及其結論的本質(zhì)。隨著我國教育改革的不斷深入，高中數(shù)學也在與時俱進，其中“雙基”的變化較為明顯。

比如，概率與倒數(shù)、算法等成為高中數(shù)學教學中的基礎知識；立體幾何中，教師可以從不同角度來展開教學；對于不等式知識的教學，則更加注重其幾何背景及應用，等等，這都說明數(shù)形結合思想與方法在我國高中數(shù)學教學中的突出地位，應用廣泛。高中數(shù)學知識較為抽象，在概念教學方面，教師要重視其來源與走向，引導學生通過實例來理解抽象概念。

3.數(shù)形結合與解析幾何的銜接

解析幾何知識是常考內(nèi)容，因為這部分知識可以充分考查學生的能力。學生在求解的過程中應運用數(shù)形結合思想來解題。學生要扎實地掌握數(shù)形結合法，具有一定的基礎知識與基本技巧。作為高中數(shù)學教師，要充分運用數(shù)形結合法，加強對學生的引導，使學生對教材知識理解得更深入。

在解析幾何中遇到軌跡方程問題時，運用數(shù)形結合法來解題是非常適合的。比如，“拋物線y2=4x上有兩個動點a和b，這兩個點都不是原點，已知ao垂直于ob，om垂直于ab，求m的軌跡方程，并說明這是什么曲線？”這道題目要從ab直線方程入手，首先要設其直線方程為x=ay+b（a≠0），將其代入曲線方程y2=4x中，得出y2-4ay-4b=0，設a（x1，y1），b（x2，y2），列出方程組y1+y2=4a，y1y2=-4b，根據(jù)題目已知條件得出x1x2+y1y2=0，最終推斷出ab恒過定點p（4，0），設點m（x，y），根據(jù)題目條件推斷出其軌跡是圓。教師可利用多媒體為學生展示出相應圖例，以便于學生理解。

（三）運用多媒體展現(xiàn)數(shù)形結合的方法

多媒體在我國高中課堂上已被廣泛引進，作為教師應了解多媒體的優(yōu)勢，并熟練掌握運用多媒體的方法，在運用數(shù)形結合法解題時，可以通過多媒體將正確圖形、作圖步驟、分析過程展現(xiàn)出來，對于學生有困惑、不理解的地方，教師要及時講解，借助多媒體與數(shù)形結合法，幫助學生直觀地理解和分析問題，更深入地掌握知識，激發(fā)學生的學習興趣。

在講解解析幾何中的不等式問題時，教師也可以利用多媒體將不等式化解出來的曲線方程呈現(xiàn)給學生。比如，不等式y(tǒng)= -x2+ x+x2>4，求解。

（1）不等式變形得出y= -x2>4- x-x2，另得出y1= -x2，y2=4- x-x2。

（2）將這兩個式子再次變形得出x2+y12=16（y1≥0），（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）。

（3）通過觀察得知這兩個式子表示的都是半圓，于是通過多媒體為學生展示出坐標系中的這兩個半圓，答案就非常明了了。

三、結語

在高中數(shù)學教學中有效運用數(shù)形結合法，能將復雜的問題簡單化，將抽象的問題直觀化，這就是數(shù)形結合法的優(yōu)勢所在，也是優(yōu)化解題途徑的重要方法。數(shù)形結合這種思想其本質(zhì)就是數(shù)和形的轉換，將直觀的形象與復雜的數(shù)據(jù)巧妙地結合在一起，讓學生更加容易解題。教師應努力鉆研教材，教學中應注意滲透數(shù)形結合思想，幫助學生培養(yǎng)良好的學習和思考習慣，讓數(shù)形結合思想成為學生分析與解決問題的必備工具。

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