如何在課堂教學中滲透建模思想

劉進

[摘要]數學知識的實際應用一直以來困擾著學生，結合自己的教學經驗，談談如何在課堂教學中滲透數學建模思想，發展學生的數學應用意識。

[關鍵詞]數學建模；應用意識；實際問題；實踐能力

傳統的應用題教學，題目是經過加工提煉出來的，為了計算方便往往將數據加以改編、優化，題目中的條件也是充分的。教師在教學過程中只注重怎樣將應用性問題轉化為數學問題，并不重視模型建立的過程，這樣學生感覺不到應用性問題來源于生活，直到高中畢業，對于應用性問題依然感到陌生和抵觸。基于自己遇到的問題，有以下幾點思考與實踐：

一、創設實際生活中的問題情境，引入新知

從社會意義角度，我們可以把數學認識過程分為數學研究過程和數學學習過程兩類，數學研究過程的一般路線是：發現問題—提出假設—驗證假設—獲得結論，而數學學習的一般過程是：學習基本概念和原理—展開理論體系—接近客觀實際。兩個過程不吻合，所以在教學過程中容易使學生缺乏自主的思維活動，缺乏應用數學知識分析問題解決問題的能力。我們應該使學生的數學學習更加接近數學研究的真實過程。例如，《正弦定理》一節可以這樣引入：

設A，B兩點在河的兩岸，只有測角儀器、米尺和計算器，怎樣測量A，B兩點之間的距離？

學生可能會這樣解決：在A同側選取恰當的一點C，使角C為90°，然后測出AC兩點間的距離和角A的大小，利用直角三角形有關知識可以解出AB。這時再提出問題：如果受地形條件所限，并不能找到這樣的點C，還能測量出AB的距離嗎？也就是已知三角形中三個角的大小和一條邊的長度，求另外的一條邊，解決了這個問題，正弦定理的內容和推導過程也就呈現出來了。學生體會了知識因為需要而產生，并不是憑空出現的。不讓學生“編”應用性的問題，編的多了，自然認為問題都是編的。讓學生去發現，去應用，既能鞏固知識，又能培養應用意識。

二、讓學生自己動手調查實踐，感受數學知識與實際生活的聯系

傳統的應用題中數據都是直接給出的，學生并不考慮數據的來源和合理性，直接應用所給數據解題，對于他們來說，所給的數據只是條件之一，所以和生活中的實際問題聯系不起來。在教學過程中，有機會就讓學生自己動手調查實踐，將所學知識應用于生活，例如：在學習《用樣本的數據特征估計總體的數據特征時》，筆者留了這樣一個作業：2012年7月1日北京市開始實施階梯電價，市電力公司已經及時制定了《北京市居民生活用電試行階梯電價實施細則》，相關負責人指出，此次調整對80%以上的用戶并無影響，請你了解《細則》內容并調查城市居民用電情況及階梯電價對居民用電的影響。學生通過記錄電表得到居民一個月用電量的樣本，在課堂上學習用頻率分布表和頻率分布直方圖處理樣本數據，從而估計總體用電情況。當時學生調查的結果都證實了將240度電作為標準是合理的。數據由學生動手收集得到，再經過整理和分析，學生們也就理解了為什么這樣制定細則，會覺得數學知識離生活很近，既學習了知識，也學會用數學的方法理性分析社會問題。

動手調查和實踐的問題不能過于復雜，信息獲取不宜難度過大，否則會打消學生實踐的積極性。盡量與學生的生活息息相關，這樣學生才能體會到所學知識可以在生活中得到應用，甚至會加深學生對社會現象的理解，幫助他們建立正確的世界觀。

三、應用題教學向數學建模貼近，讓學生體會建立模型的過程

數學建模是根據具體問題，在一定的假設下找出解決這個問題的數學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。

人教版選修系列《生活中的優化問題舉例》例2，飲料瓶的大小對飲料公司利潤的影響，其背景材料中的“球形瓶裝飲料”在實際生活中很少見。不如讓學生根據自己的經驗，假設包裝的形狀，再研究這個問題，其中參數也可以自己設定，例如：

[簡化假設]

1。包裝為圓柱體；

2。大包裝與小包裝形狀完全一樣；

3。每平方厘米包裝的成本為a元；

4。高與底面半徑之比為k；

5。每售出1立方厘米飲料，可獲利為b元。

[模型建立]

利潤y等于出售飲料獲利減去包裝成本，所以

y=πr2·kr·b-2πr·kr·a。

[模型求解]

y′=3kbπr2-4kaπr=kπr（3br-4a），

利用導數知識可知，當r=4a3b時，利潤最小，并且隨著r增大，利潤也在增大。

[模型驗證]

市場上等量小包裝物品比大包裝要貴，說明大包裝利潤高些。

在建模的過程中，教師盡量不給出對模型的假設，由學生來完成，學生還可能將飲料瓶的形狀假定為長方體、正方體，模型求解的過程都差不多。這樣學生可以盡量聯系實際生活，并能透過現象看到問題本質，使所學知識得到應用。教師可以適當引導：是不是半徑越大就越好？利潤還可能和哪些因素有關？這樣可以產生兩個研究性學習課題：體積一定的飲料瓶設計成什么形狀更節省包裝成本？飲料銷售量和飲料瓶的體積有什么關系？經歷了這個過程，學生體會到生活中數學無處不在，而我們所學的數學知識來源于生活并且服務于生活。

建模的過程比傳統應用題的審題要難，但學生是主動去發現的，不是被動接受的，這樣學習的積極性就會提高。將數學理論應用于現實，不但能使理論得到實踐檢驗，而且能增強學生對數學真理性的信念，還能從中獲得數學認識的新源泉，提高了學生的學習興趣和數學素養。

綜上所述，在日常教學中滲透數學建模思想，首先教師就應該關注生活關注社會，有一雙發現數學問題的眼睛，為學生提供基本內容的實際背景和寬松的、富有生命力的課堂環境，培養學生學習的主動性和創造性。