高中數學恒成立問題的解題方法和思路

張雪

摘 要：恒成立問題作為高中數學學習中不可缺少一部分，掌握高中數學恒成立問題的解題方法和思路不僅是高中階段的重要任務，也是為日后學習數學奠定扎實基礎的關鍵。文章主要從掌握高中數學恒成立問題的解題方法與思路的意義出發，對高中數學恒成立問題常見的解題方法和思路進行了分析，以供參考完善。

關鍵詞：高中數學；恒成立問題；解題方法；思路

隨著新課改不斷深入，在高考中高中數學的地位愈發突出，使得高考數學成績成為決定高考成敗的關鍵一步。高中數學涉及內容復雜，其中恒成立問題涉及一次函數、二次函數、三角函數、指對數函數和數列等各種數學知識，雖然恒成立問題具有“變中不變”的特性，但是要想掌握解題技巧，必須提升自身綜合解題能力，重視自身思維的靈活性和創造性，才能達到學習目標。

1 掌握高中數學恒成立問題的解題方法與思路的意義

恒成立問題即是在已知條件下，不論變量發生什么變化，命題都成立。高中數學恒成立問題涉及一次函數、二次函數等數學知識點，是應試教育考試的重點內容。并且高中數學與其他學習科目不同，學習難度系數較大，因此要想提升自已的數學考試成績，必須學會掌握解題方法與思路，靈活運用解題能力來解恒成立問題，才能提升自已的數學學習能力，讓數學不再成為難題。

2 高中數學恒成立問題常見的解題方法和思路

2.1 數形結合法

數形結合方法的應用即是自行設立一個函數，做出滿足題型中已知條件的函數圖形，找出在各個區間上函數和函數圖形的關系，才能得出結論，正確解答出參數范圍。

例如在“設函數f（x）=-a+，g（x）=ax+a，如果恒有f（x）≤g（x）成立，求出實數a的取值范圍。”的恒成立問題解題過程中，由題意解得f（x）≤g（x）?≤ax+2a。

令①y1=；②y2=ax+2a。

由y1=化為（x-2）2+y12=4（0≤x≤4，y1≥0），表示以（2，0）為圓心，2是半徑的上半圓；y2=ax+2a經過定點（-2，0），a是斜率的直線，要想參數恒有f（x）≤g（x）成立，需要y1=表示的半圓在y2=ax+2a表示的直線下方。

當直線和半圓相切時，恒有=2，即是a=±，如果恒有f（x）≤g（x）成立，實數a的取值范圍為a≥。

從題型成立解析來看，構造函數后，通過數形結合法對兩個函數之間關系的進行分析，能夠促使我們了解掌握函數數形的表示含義，掌握題型已知條件，增加熟練程度，日后遇到相似的題型，便會輕松掌握解題方法。

2.2 分離參數法

分離參數法即是在學習高中數學知識的過程中，遇到含有參數的恒成立不等式問題時，將含有參數的不等式問題進行變形，分離題型中的參數，將復雜的恒成立問題簡單化，使不等式變形的解析式只有一端含有參數的一種解題方法。

例如在“x∈R時，不等式4a+sinx+a2≥0恒成立，求出實數a的取值范圍。”的恒成立問題解題過程中，解析式中有兩個變量a和x，其中x∈R，另一變量a范圍是求值數，故對a和x進行分離，解出解析式的變形后為sin2x+4sinx5，解得實數a取值范圍為：小于-1或者是大于5。通過這樣的方式，處理解析式中的含參數不等式轉化成函數最值問題，然后將復雜恒成立問題簡易化，即可輕松解決恒成立不等式問題。

2.3 函數最值法

函數最值法是數學恒成立問題常用的解題方法，即是結合自身掌握的知識點，按照題型要求，通過函數最值法來解決數學問題。

例如在“設函數f（x）=（x+1）ln（x+1），若x≥0，恒有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍。”的恒成立問題解題過程中，需要對解析式變形處理，將f（x）=（x+1）ln（x+1）化為g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax；g′（x）=ln（x+1）-ax。令g′（x）=0，解出x=ea-1-1，當x> ea-1-1時，g′（x）>0， g（x）在（ea-1-1，+∞）上面是增函數。當x< ea-1-1時，g′（x）<0，g（x）在（-∞，ea-1-1）上就是減函數。要對全部x≥0都有g（x）≥g（0）的充要條件是ea-x-1≤0，a≤1，求出a取值范圍為（-∞，1]。

可見涉及恒成立問題，通過函數最值法進行處理時，不僅節約時間，還可將不等式問題簡易化，從而方便接受記憶。

3 結語

綜上所述，在學習高中數學知識過程中，解出恒成立問題的方法與思路除了常見的分離參數法、函數最值法和數形結合法外，還有很多解題方法。要想選擇合理、解題快速的方法，必須考慮給定函數的性質與特點，對數學恒成立問題進行等價轉化，勤于練習，善于總結，才能提升自身的邏輯思維能力與解決問題的能力，從而提升考試成績。

參考文獻：

[1] 劉旭.高中數學恒成立的解題方法和思路[J].試題與研究：教學論壇，2015（31）：52.

[2] 張坤松.例談高中數學恒成立問題的解題策略[J].中學生數學：高中版，2014（11）：21-22.

[3] 趙佩.高中數學恒成立問題解題思路[J].試題與研究：新課程論壇，2013（6）：61.