在主動建構中感悟模型思想

胡德運 陳燕

【關鍵詞】模型思想；主動建構；感悟；乘法分配律

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）21-0055-03

【作者簡介】1.胡德運，江蘇省無錫市洛社中心小學（江蘇無錫，214187），一級教師，無錫市數學教學能手；2.陳燕，江蘇省錫山高級中學實驗學校小學部（江蘇無錫，214177），一級教師，無錫市數學教學能手。

“乘法分配律”是乘法中的三大運算律之一，它有效溝通了乘法與加法、減法之間的聯系，思維含量高，是一種非常重要的數學模型。與乘法交換律、結合律只包含單一的運算相比，乘法分配律中含有兩種運算，這種形式上的變化與特殊結構往往會給學生造成一定的認知障礙。那么，乘法分配律的教學如何有效突破教學難點，引導學生走出思維的窠臼呢？筆者擷取蘇教版四下《乘法分配律》一課的幾個教學片段，談談自己的實踐與思考。

一、從“解決問題”到“發現現象”

出示情境圖：四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩。四、五年級一共要領多少根跳繩？學生列綜合算式解答，教師組織全班交流。

生：先算出四、五年級一共有多少個班，再算一共要領多少根跳繩，列式（6+4）×24=240（根）。

生：先算出四、五年級各領多少根跳繩，再算一共要領多少根跳繩，列式6×24+4×24=240（根）。

師：同學們用兩種不同的方法解決了這個實際問題，兩個算式的計算結果都是240，這兩個算式之間可以用哪個符號連接起來？

生：等號。

師：這樣我們就得到一個等式：（6+4）×24=6×24+4×24，比一比，等號兩邊的算式各有什么特點？又有什么聯系？

學生小組討論，之后全班交流。

師：剛才同學們交流了自己的想法，其實我們還可以結合乘法的意義從運算的角度來思考。等號左邊先算什么？表示幾個24？

生：先算6加4等于10，10×24表示10個24。

師：等號右邊呢？

生：6×24表示6個24，4×24表示4個24，加起來一共是10個24。

師：我們發現，等號兩邊的算式雖然各有特點，但都是在求幾個24是多少？

生：都是在求10個24是多少。

從解決實際問題入手，引導學生列綜合算式進行解答，在交流不同算式的實際意義和比較計算結果的基礎上，得到“乘法分配律”研究的第一個實例的等式。然后，教師及時去情境化，引導學生觀察、比較兩個算式的不同特點，并結合乘法的意義從運算的角度來說明等號兩邊算式之間的聯系，使學生了解等式表示的數學內容。學生在分析等式“現實意義”的過程中，初步感受到乘法分配律的合理性；在分析等式“數學意義”的過程中，初步認識了乘法分配律的基本結構和內涵。

二、從“個例分析”到“舉例豐富”

師：剛才我們觀察了一個等式，發現了等式中兩個算式之間的聯系。那么，具有這樣特點的兩個算式是不是一定能組成等式呢？請同學們在心里先想兩個具有這樣特點的算式。

生：我想的兩個算式是（9+3）×5和9×5+3×5。

師：這兩個算式能組成等式嗎？

生：可以組成等式，兩邊的結果都等于60。

生：左邊的算式先算9+3等于12，12×5表示12個5；右邊的算式是算9個5加上3個5，也表示12個5，可以組成等式。

師：看來，無論是從計算結果上來比較，還是從乘法的意義上來思考，都可以確定（9+3）×5和9×5+3×5可以組成等式。

師：你也能像這樣寫出兩個算式，并判斷它們能否組成等式嗎？

學生自主寫算式，教師組織全班交流并相機板書例子。

師：有沒有誰寫的算式不能組成等式的？

生：沒有。

師：像這樣的一組算式還能寫嗎？寫得完嗎？

生：還能寫，寫不完，有無數個。

研究乘法分配律需要豐富的素材，因此，教師有意識地引導學生明確：從第一個實例中看到的數學現象并不能很快上升為一種普遍規律，還需要舉出更多的例子在類似的情況中進行求證。教學中，教師遵循由扶到放的原則，按照“寫出算式→算出得數→比較結果→形成等式”的基本思路引導學生正確地舉例，同時注重引導學生結合乘法的意義，從運算的角度對每組算式能否組成等式進行驗證。在舉例的過程中，教師不僅注重引導學生關注舉例的數量，還注重引導學生從反例的角度進行逆向思考。從單個例子的等式關系，類推到更多例子的若干同類現象的等式關系，教師在不斷豐富學生數學學習感性材料的同時，無形中也傳遞了科學的認知方法和態度。

三、從“概括特征”到“建立模型”

師：仔細觀察黑板上的這些等式，等號兩邊的算式有什么共同特點？

學生小組討論，教師組織全班交流。

生：每組兩個算式中的三個數是相同的，計算結果也相同。

生：等號左邊的算式都是先算加法再算乘法，右邊的算式都是先算兩個乘法再算加法。

師：這兩個乘法都是誰和誰相乘啊？

生：都是括號里的兩個數分別與括號外面的數相乘。

師：如果用字母a、b、c分別表示這三個數，發現的規律可以怎樣表示？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這個字母表達式的左邊和右邊分別表示什么？

師：左邊表示兩個數的和與一個數相乘，也就是（a+b）個c；右邊表示兩個加數分別與這個數相乘再相加，也就是“a個c+b個c”。等式兩邊都是算（a+b）個c是多少，所以結果不變。

師：我們發現的這個規律是乘法中又一條重要的運算律，叫乘法分配律。（板書課題）你覺得“分配”這個詞是什么意思？

生：“分配”就是括號里的數分別與括號外的數相乘。

師：沒錯，“分配”就是“分別配對”的意思。在這里，a和b分別與誰配對？

根據學生的回答，教師完成板書：

（a+b）×c=a×c+b×c

師：從左往右看這個字母式，乘法分配律表示兩個數的和與一個數相乘，可以先把兩個加數分別與這個數相乘，再把積相加，結果不變。那從右往左看呢？

生：兩個加數分別與一個數相乘，再把積相加，就等于兩個加數的和與這個數相乘。

在學生充分感悟等式左右兩邊算式特點的基礎上，教師給予學生充分思考、交流的時空，引導他們用自己的語言描述發現的規律，用含有字母的式子抽象、概括發現的規律，不僅培養了學生的符號意識，還使學生初步感悟到歸納的數學思想方法。然后，教師引導學生根據乘法意義來分析乘法分配律，明晰（a+b）×c與a×c+b×c之間的聯系，使學生從本質上理解乘法分配律。同時，教師緊緊圍繞“分配”一詞，引發學生展開深度思考，形象化地解釋a與c配對得到a×c，b與c配對得到b×c，有助于學生建立乘法分配律的數學模型，使他們初步感悟模型思想。

四、從“反思研究”到“溝通聯系”

師：回顧剛才的學習過程，我們是怎樣研究出乘法分配律的？

生：我們先解決一個實際問題，得到了一個等式，然后舉了更多例子進行觀察比較。

生：在判斷兩個算式能不能組成等式時，我們不僅從計算結果上進行判斷，還根據乘法的意義進行思考。

生：與以前學習運算律一樣，我們用字母式子表示出了乘法分配律。

師：同學們總結得真好！其實，我們對乘法分配律并不陌生，在以前的學習中就曾接觸過。（出示：12×3）這是兩位數乘一位數，我們是怎樣計算的？

生：我們把12分成10和2，先算10×3和2×3，再把兩個積加起來。

師：把這種想法用等式表示出來就可以寫成12×3=10×3+2×3，就運用了乘法分配律。

師（出示“長方形周長的計算”情境圖）：三年級時，我們學習了長方形周長的計算，還記得長方形籃球場的周長是怎樣求的嗎？

生：用兩條長加上兩條寬，列式是28×2+15×2。

生：先算出一條長和一條寬的和，再乘2，列式是（28+15）×2。

師：這兩道算式都是在求籃球場的周長，所以它們的結果是相等的。（板書：28×2+15×2=（28+15）×2）看著這個等式，你想到了什么？

生：我想到了乘法分配律。

數學學習不能僅僅滿足于結論的獲得，更重要的是探索結論的過程。一方面，教師引導學生回顧乘法分配律的研究過程，及時將學生通過探索獲得的經驗與結論進一步抽象、概括、提煉為數學認識與方法，讓學生“知其然”更“知其所以然”。另一方面，教師引導學生回顧“兩位數乘一位數”和“長方形周長的計算”的有關知識，讓學生在“說理”中經歷演繹論證的思維過程，有效溝通了新舊知識間的聯系，進一步提升了他們數學學習的經驗和水平。

在教學中，教師有意識地滲透模型思想，不僅可以促進學生的數學理解，發展其思維能力，提升其思維品質，還可以激發學生的學習興趣，增強其應用意識，培養其積極的情感。“乘法分配律”的教學，需要教師合理利用學生已有的知識和經驗，引導學生經歷從具體到抽象的探索過程、從感性到理性的“數學化”過程，從而使學生在自主活動和積極思辨中完成對乘法分配律的意義建構，初步感悟數學模型思想。