淺析數學思維之以粗獷的思想解決精細化問題

劉明月?劉彥明

【摘 要】 文章簡單地闡述了高等數學中一種重要的思維方式——以粗獷的思想解決精細化問題。利用這種思想可以求不規則圖形的面積和不規則物體的體積等，而且這種思維方式可以推廣到自然科學和工程技術等領域，并以在軍事領域的變換應用列舉了實例，以佐證這種思想的神奇效果。

【關鍵詞】 數學思維；粗獷的思想；精細化問題；解決方法

如果我們把高中及以前階段所學的數學（代數運算和平面幾何）稱之為初等數學，而把進入大學及以后階段所學的數學（數學分析、空間解析幾何、線性代數等）稱之為高等數學的話，那么初等數學和高等數學在運算技巧、應用范疇和思維方式等方面都有著本質的差異。初等數學是研究常量的數學，是研究靜態的數學；高等數學是研究變量的數學，是研究運動的數學。而且，初等數學注重的是嚴密的邏輯推導和精確的數據結果，而高等數學更注重的是解決問題的思維方式和數據結果的實際應用性，函數演算的結果首先考慮的是實用范圍，而不是以精確性和唯一性為標準，所以估值定理和高階無窮小舍去的應用很普遍。所以，高等數學更注重的是思維方式的培養和思維模式的突破，本文將介紹一種高等數學中最為重要的思維方式之一：以粗獷的思想解決精細化問題。

在推導一元函數定積分的概念求曲邊梯形的面積和推導二元函數定積分的概念求曲頂柱體的體積的過程中，我們都用到了這種思維方式。即當整個目標實現困難時，便可“化整為零”，將整體目標分割成n個小目標，每個不規則的小目標近似成規則的小目標；然后把近似后的小目標加起來，得到整體目標的一個近似值；最后，無窮細化所分割的小目標，當“細”到一定程度的時候，如所分割的小曲邊梯形細成一條平面線段或所分割的小曲頂柱體細成一根立體線段時，那么，所近似的那部分誤差就可以忽略不計了，從而得到一個和式的極限。這就是高等數學中的定積分概念，三重或三重以上定積分的思維模式亦是如此。[1]這種思維方式可以推廣到自然科學和工程技術等領域，如求變速直線運動的路程，求密度不均勻的平面薄板的質量，求電荷密度不均勻的薄片上的電荷總量等等。[2]這種“化整為零、近似求和、無窮細化取極限”的思維模式就是本文所要闡述的“以粗獷的思想解決精細化問題”的思維模式的一種——整個目標要求是不斷變化、復雜曲折或精細化的，但分割以后的每一小部分卻可以“粗獷”地近似為規則的，只是“無窮細化”的結尾實在是妙啊！

本文所要闡述的思維模式只有以上一種嗎？當然不是。微分運算的實質亦是以粗獷的思想解決精細化的數據，即求解增量主部。在初等數學中求解增量，如求面積的增量 時，是用后來的面積減去原來的面積，這最終的結果可能在小數點后保留著多位于實際應用沒什么關系的位數；而用微分去求解面積增量 時，最終得到的數據是舍掉了高階無窮小部分（或認為是將此部分納入誤差范疇）的，這樣得到的數據更具有實用價值。人們在實地建設一片廣場時，最終的結果比精確圖紙多出了或者少了那么零點零零幾平方米的面積，那又有什么關系呢？誤差總是存在的，所以在最初的數據處理上，粗獷地“留主去次”，也是為后續的應用提供了方便。

此外，在很早以前，當人們去計算不規則形狀物體的表面積時，就有人想到了“打點法”，即把物體表面打滿“點”，若每個“點”的面積已知，只需弄清楚要覆蓋整個表面積到底需要多少個“點”即可。當然這種“粗獷”的思想帶來了大量的程序操作和重復計算。但在別的精準計算方法無法解決的情況下，這也不失為一種可以考慮的方法。而且，隨著計算機技術的發展，人工所要承擔的重復單調的工作可以越來越多地交給計算機，從而使這一類的方法更加可行。

很多學科上的研究突破都是和軍事研究緊密聯系在一起的，科學家和軍人的組合在各個國家的發展史上都屢見不鮮。在軍事戰略上，這種高等數學上的思維方式更是變幻莫測、屢建奇功。在科學技術成為主導軍事力量以后，尤其是出現了核技術以后，大國的優勢已不復存在，國與國之間的競爭首先是科學技術的競爭，而不再取決于人口數量和國土面積。某些國家憑借著自己強大的軍事力量向一些科技落后的國家發動了侵略戰爭，如美國入侵了尹拉克。但當美國入侵委內瑞拉時，卻遭到了“粗獷式”抵抗，結束了西方強國對第三世界小國戰無不勝的勢頭。委內瑞拉的做法是盡量利用廉價的“高科技”武器，比如大面積使用便宜的導彈，這類導彈使用的部件都是市場上便宜的大陸貨，雖五臟俱全，具備測高雷達和全球定位功能，卻也難免命中目標的精準度不高。但美國用于制造一顆高精度現代化導彈的費用可以組裝上千顆這類的廉價導彈，即便在戰場上只有不到十分之一的廉價導彈會命中目標，也會給敵軍造成巨大的殺傷。反倒是擁有造價昂貴的高科技武器的精良部隊，由于武器造價和數量的限制，不能發揮其優勢。還有其他的批量生產的高科技小玩意兒，如裝有近炸引信的狙擊步槍子彈等，也取得了同樣輝煌的戰績。[3]“數量”戰勝“精細化”，這思想是不是夠“粗獷”啊？只是某些被“精細化”思想洗腦了的人們，早已忘記了一些最原始、最有效的方式方法，如某些高精準雷達監測不到的東西是可以用肉眼看到的等，才使得這種粗獷的思想脫穎而出。時至今日，每當我們回想起毛澤東在抗美援朝時期說過的那句話——“你打你的原子彈，我扔我的手榴彈，勝利一定是屬于我們的。”[4]都無比佩服！在越來越精細化的今天，擁有粗獷的思想越是能出奇制勝。

數學來源于生活，而又應用于生活，其自身的魅力終究在于其思維性，一個數學模型往往演繹著一種思維模式，這種模式千變萬化，在不同的領域演繹著不同的故事。但萬變不離其宗，化繁為簡，究其本質，把所有的矛盾集于一點、全力攻破，才是最終的目的。粗獷的思想才是人類智慧最原始的思想，當我們看到歷史博物館里那些造型奇特、質地粗糙的史前猿人所制造的簡易陶罐時，會不會覺得很熟悉、很溫暖呢？似乎那種粗獷的美不能用任何繁復的花紋所代替，那才是生命本真的樣子。

【參考文獻】

[1] 吳贛昌.微積分（上）[M].中國人民大學出版社，2011.1.

[2] 郭運瑞.高等數學[M].西安交通大學出版社，2010.12.

[3] 錢振勤.軍事軟實力向戰斗力生成的內在機理研究——基于學習馬克思主義軍事指導理論最新成果的思考[D].南京師范大學，2012.

[4] 申前進.毛澤東軍事思想對現代戰爭的啟示[D].山東大學，2007.