熟悉的地方一樣有風景

陳昭亮

[摘 要] 有經驗的教師在處理教材時，易陷入輕車熟路，感到熟悉的地方沒有新風景的尷尬. 本文提出了解決此問題的兩條途徑：一是老師“動”起來，能從高等數學的觀點理解知識的來龍去脈，真正讀懂教材；二是學生“動”起來，利用老師搭建的“腳手架”，進行深層次的思維參與，突破“懂而不會”的學習尷尬，實現有效學習.

[關鍵詞] 課本問題；高等數學；合作探究

人們常說熟悉的地方沒有風景，大概是因為熟悉而缺乏新鮮感，因熟悉而疏于發現的緣故吧. 教材中的有些題目或知識點，教師教了一遍又一遍，真正成了教師“熟悉的地方”，面對這些“熟悉的地方”，在備課時容易因為“熟路”而“輕車”，就會出現對知識之間的內在聯系、轉換關系等預設不夠，導致對學生的課堂提問不能及時做出恰當的指導和評價. 下面與同行交流幾個筆者在教學實踐中的案例及思考.

案例1 高中數學必修1（北師大版）第73頁的例14是：設三條直線l1：x+y-1=0，l2：kx-2y+3=0，l3：x-（k+1）y-5=0. 若這三條直線交于一點，求k的值.

解得k=-7或-2（舍去）. 所以 k=-7.

反思：教材中并沒有解析k=-2舍去的理由. 有的老師可能對這一情況也沒有深究，或者沒有探究為什么把l1與l2的交點代入直線l3的方程中后會出現兩個k值，而且還要把其中一個k值舍去.

探究：若我們把k=-2代入直線l2，l3的方程中，得到l2：-2x-2y+3=0，l3：x+y-5=0. 不難判斷出l1∥l2∥l3. 其實，在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”. 就有三個結論：（1）通常的直線再加上一個無窮點就是無窮遠直線，如果一個平面內兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠點；（2）通過同一無窮遠點的所有直線平行；（3）在引入無窮遠點和無窮遠直線后，原來普通點和普通直線的結合關系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了.

這樣在高等解析幾何的觀點下，我們就很容易解釋為什么會出現k=-2和為什么要舍去k=-2這兩點了.

案例2 高中數學必修1（北師大版）第121頁的問題3是：如圖1，在一條彎曲的河道上，設置了6個水文監測站. 現在需要在河邊建一個情報中心，從各監測站河邊分別向情報中心鋪設專用通訊電纜，怎樣刻畫專用通訊電纜的總長度？

解：情報中心在河邊的位置一旦確定，每一個水文監測站到情報中心的通訊光纜長度（曲線段長度）就唯一確定了，因此，表示情報中心的數值與專用通訊電纜的總長度就構成一個函數關系.

現在將彎曲的河道“拉直”，使刻畫曲線段長度的問題變成刻畫線段長度的問題. 將“拉直了”的河道當作一個數值，不妨設A為原點，AB=b，AC=c，AD=d，AE=e，AF=f. 于是，水文監測站A，B，C，D，E和F的坐標就可以用0，b，c，d，e，f表示出來. 表示情報中心位置的數值可以看作一個變量，用x表示，這樣，對于給定的x的值，就能計算出情報中心到每一個水文監測站的長度，從而可以得出所需電纜的總長度

？搖？搖f（x）=x+x-b+x-c+x-d+x-e+x-f.

反思：課本上的敘述到此“戛然而止”，讓人覺得對該問題的解決尚未結束，當然，課本上這樣的處理其目的是讓學生感受實際問題的函數建模，重在感受建模的過程，而不是問題的結果.事實上，筆者在講授這一部分知識時，很多學生也提出了問題“該題目中所需電纜的總長度的最小值是多少？作為數學教師，也應該對這一類絕對值和型函數的最值知其所以然.

我們應用這類問題的一般結論就很容易解決這個課本問題的最值是，當把情報中心修在C和D這兩個水文監測站之間（含C和D這兩個水文監測站）時，鋪設的專用通訊電纜的總長度最少.

案例3 高中數學選修2-2（北師大版）《綜合法與分析法》第12頁習題1-2的第4題是：已知a，b，c，d都是實數，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

《數學（選修2-2）教師教學用書》上給出了本題的一種證明方法，記為思路1：它是利用了已知條件的結構特征進行聯想，由a2+b2=1聯想到三角函數中的cos2α+sin2α=1，故可令a=cosα，b=sinα，對c2+d2=1采用同樣的方法，從而把原問題轉化為三角函數問題.

證法1：令a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，得證.

反思：筆者在備課時，根據本題已知條件的a2，b2，c2，d2及結論中的ac+bd等結構特點，聯想到構造柯西不等式證明. 記為

證法2：由柯西不等式知？搖（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），又因為a2+b2=1，c2+d2=1，從而（ac+bd）2≤1. 所以ac+bd≤1.

進一步，筆者根據a2+b2=1，c2+d2=1的結構特點，把它們看作向量m=（a，b），n=（c，d）模的平方，故可考慮轉化為構造向量證明. 記為

所以m·n=mncos〈m，n〉=cos〈m，n〉，

又m·n=ac+bd，

所以ac+bd=cos〈m，n〉≤1.

筆者在備課時準備了以上三種證法，可以說是信心滿滿，自認為本題的一題三解，既能有益于學生思維的發展，又能展示出自己的“學識淵博”，但是當課堂進入學生交流階段時，學生思維活躍，出現了意外的課堂生成，其解法記為下面的證法4和證法5.

探究 證法4：因為2=a2+b2+c2+d2=（a2+c2）+（b2+d2）≥2ac+2bd=2（ac+bd）≥2ac+bd，所以ac+bd≤1.

證法5：要證明ac+bd≤1，

只需證明（ac+bd）2≤1，

只需證明（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

只需證明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

只需證明2abcd≤a2d2+b2c2，

即0≤（ad-bc）2.

對教學的幾點啟示

1. 熟悉的地方一樣有風景. 葉瀾教授認為“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的過程”. 這就要求我們教師要眼中有人，更要有一雙會發現的眼睛，積極為學生的多元解讀引路搭橋，啟發學生解讀的深度和廣度. 不能因為“就熟”而“駕輕”，從而陷入“熟悉的地方沒有風景”的尷尬境地. 如本文的案例3，對于“1”的不同聯想，尤其是證法5中把1看成是1×1，真是神來之筆，突破了我們老師的思維定式.

2. 教師要真正地讀懂教材. 只有加強對教材上的問題所體現的數學方法和數學思維的研究，才能更好地發揮教材的功能，才能引導學生在平凡的問題中發現更深刻的數學內涵，這其實也是教師課程智慧的一種體現. 華南師范大學劉良華教授認為：一個優秀的“教學工作者”首先是一個出色的“課程工作者”. 也就是說，他不是一個簡單的“教教材”的人，他首先是一個“調整教材”、“補充教材”或“重新開發教材”的人. 如本文的案例1中，從為什么要把k=-2舍去的討論引出射影幾何中對平行的新認識，擴大了學生的知識視野，這種從教材中一道看似平淡無奇的問題入手，卻能引導學生去發現這個小問題背后的大問題，正所謂“問渠哪得清如許，為有活水源頭來”.

3. 教師要給學生搭建腳手架. 在解讀教材時，教師除了要具有教師眼光之外，還要具有學生眼光. 這是指教師要能站在學生角度，從學生成長需要出發的思考，它遵循的不是“教師邏輯”，而是“學生邏輯”. 為此，教師就要考慮教材中的這個問題該從哪些視角、哪些層次進行探究，才能拓展其功能，如本文中的案例2在研究了函數建模之后，對學生提出的問題“該題目中所需電纜的總長度的最小值是多少”決不能不理睬，而應該指導學生尋根，探尋這類絕對值和型函數的最值. 這種在數學解題中，將源于基礎的題目進行提煉與加工而形成結論，然后將其廣泛應用于解題實踐中，實際上就是在尋找題根.