巧用圓錐曲線定義解題

劉書林

【摘要】在職業(yè)高中的學(xué)習(xí)中，圓錐曲線屬于選修部分，但圓錐曲線和現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，且在高考中，圓錐曲線是重要考察內(nèi)容之一，所以掌握好相關(guān)知識是很必要的。然而在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生卻經(jīng)常出現(xiàn)掌握情況不太好，考試得分率不高的情況，這需要老師認(rèn)真分析，查找原因，找到對策，扭轉(zhuǎn)這樣的局面。

【關(guān)鍵詞】聯(lián)系生活 數(shù)形結(jié)合 理解記憶 循序漸進(jìn)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）07-0220-01

近年來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐曲線成了多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中難以攻下的山頭。雖然在上課的過程中，學(xué)生能夠聽懂老師講解的內(nèi)容，但是在實際做題時卻總是遇到問題，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，造成了畏難情緒。本文就針對運用圓錐曲線定義解題的一類題型進(jìn)行分析，為職業(yè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一定的參考。

一、數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生了解圓錐曲線，熟悉圓錐曲線的定義

雖然圓錐曲線和現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，但學(xué)生可能對它們了解并不多，甚至都不知道它們是怎么樣畫出來的。針對這一現(xiàn)狀，首先，可以通過圖片向?qū)W生展示生活中的圓錐曲線，如人造衛(wèi)星的運行軌道和油罐車的橫截面是橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的軸截面是雙曲線，探照燈發(fā)光面的軸截面曲線是拋物線等，讓學(xué)生真切體會到圓錐曲線和現(xiàn)實生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其次，可以借助幾何畫板向?qū)W生展示如何用軌跡法構(gòu)造圓錐曲。課堂上橢圓可以通過手工繪圖給學(xué)生看，但雙曲線和拋物線如果想用手工在黑板上繪制還是有一定難度的，傳統(tǒng)的課堂是通過讓學(xué)生想象或者先給了圖像再驗證一下定義，學(xué)生接受起來比較被動。這就可以借用現(xiàn)代化的教學(xué)設(shè)備實現(xiàn)。《幾何畫板》中的軌跡作圖，可以完美的展示出運用定義構(gòu)造橢圓、雙曲線和拋物線的過程，使得學(xué)生更加直接的理解圓錐曲線的定義，且印象深刻。再有，圓錐曲線的學(xué)習(xí)在曲線方程之后，通過軌跡方程的推導(dǎo)可以展示圓錐曲線方程的來源，達(dá)到數(shù)形結(jié)合的效果，幫助學(xué)生建立更加完整的知識體系。

二、在理解定義的基礎(chǔ)上，講解相關(guān)例題，做到循序漸進(jìn)，由易到難

定義再現(xiàn)：

橢圓（第一）定義：平面內(nèi)，與兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1 F2|）的點的軌跡叫做橢圓。雙曲線（第一）定義：平面內(nèi)，與定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且小于|F1 F2|）的點的軌跡叫做雙曲線。拋物線（第一）定義：平面內(nèi)與一個定點F的距離和到一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線。

通過幾何畫板的展示，學(xué)生對圓錐曲線的定義有了很直觀的理解，影響深刻。在這個基礎(chǔ)上，再來解決相關(guān)的題目就輕松多了。

題型一再現(xiàn)：1、一動點到兩定點A（0，）、B（0，-）的距離之和為，則它的軌跡方程為________.

2、已知點F1（-4，0）、F2（4，0），曲線上的動點P到F1、F2的距離之差為6，則曲線的方程為_______.

3、動點P到直線x+4=0的距離與它到點M（2，0）的距離之差等于2，則點P的軌跡方程是__________.

分析：以上題目是對圓錐曲線定義的直接考察。題目1中聯(lián)系橢圓的定義可知該動點的軌跡即為橢圓，且焦點在y軸上，c=，2a=，利用a、b、c三個參數(shù)之間的關(guān)系求出b就可以寫出方程了。題目2中動點P滿足到兩定點的距離之差為6，可知曲線即為雙曲線，且焦點在x軸上，又因為點P到F1的距離較遠(yuǎn)，所以該曲線只是雙曲線的右支。題目3中，點P到定直線x+4=0，即x=-4的距離與到定點M（2，0）的距離不是相等，而是相差2，那說明點P到定直線x=-2的距離與到定點M（2，0）的距離相等，所以點P的軌跡是拋物線，且點M就是它的焦點，從而求出拋物線的方程。

在介紹了各個圓錐曲線的定義后，先講這種類型的題目，加深了學(xué)生對圓錐曲線定義的理解，并且將數(shù)和形結(jié)合了起來。

題型二再現(xiàn)：1、橢圓上一點P到一個焦點的距離為11，則P到另一個焦點的距離為（ ）。

2、雙曲線上任一點P到此雙曲線距離較近的一個焦點的距離是12，則點P到另一個焦點的距離是（ ）。

3、若拋物線上一點P到焦點的距離為9，則點P到準(zhǔn)線的距離是_______，點P的坐標(biāo)是_______.

分析：以上三種題型是對定義的一個簡單運用。如在第1題中，點P到一個焦點的距離為11，根據(jù)橢圓的定義，點P到兩個焦點的距離之和為2a，運用減法便可以計算出點P到另一個焦點的距離。在第2題中，點P到較近的焦點距離為12，假設(shè)點P為雙曲線左支上一點，則點P到左焦點F1的距離|PF1|為12，那么點P到右焦點F2的距離|PF2|較遠(yuǎn)，而根據(jù)雙曲線的定義，點P到兩焦點距離的差的絕對值為2a，又|PF2|>|PF1|，所以|PF2|-|PF1|=2a，從而求出|PF2|。第3題可以借助圖像分析。如右圖（圖一），過點P作準(zhǔn)線的垂線，交y軸于M點，垂足為N。由拋物線的定義可知，當(dāng)點P到焦點的距離為9時，點P到準(zhǔn)線的距離也是9，又 |MN|=3，所以|PM|=6，所以點P的橫坐標(biāo)為6，將x=6帶入拋物線方程，即可求出點P的坐標(biāo)。

以上類型的題目學(xué)生在初次見到時會感覺到有點難度，但運用所學(xué)的定義解決后會發(fā)現(xiàn)并沒有想象中那么難。這讓他們進(jìn)一步體驗到了知識的力量，增加了學(xué)習(xí)的信心。

題型三再現(xiàn)：1、已知，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，過F2的直線與橢圓交于M、N兩點，求的周長。

2、設(shè)雙曲線的焦點分別為F1、F2 ，過F1的直線與雙曲線左支交于A，B兩點，且|AB|=12，求的周長。

分析：這兩個題目間接地運用了橢圓和雙曲線的定義。題目1中要求計算三角形的周長，但直線的方程未知，當(dāng)然無法分別求出各邊的長度，所以需要換一個角度思考問題，如右圖（圖二）。將三角形的三邊分成兩部分，每部分恰好是橢圓上一點到兩焦點的距離之和，即2a。所以該三角形的周長就是4a。類似的方法可以求出題目2。

計算三角形周長這樣的題目是這幾年高職高考中出現(xiàn)過的題型，可以稱得上是重點了。學(xué)生初次接觸這種題型感到無從下手，甚至主觀認(rèn)為計算量和計算難度應(yīng)該都很大。但是在運用圓錐曲線的定義解決之后，好多學(xué)生驚呼太神奇了。沒有太多的計算，只需要理解了定義就可以迎刃而解，他們再次體驗和收獲了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

職業(yè)中學(xué)的數(shù)學(xué)更加注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，所以不需要講的太深。但作為任課老師在備課和上課的過程中卻絲毫不容馬虎。因為我們需要認(rèn)真思考如何在學(xué)生原本薄弱的基礎(chǔ)上繼續(xù)建設(shè)數(shù)學(xué)這座大廈，這也就在教學(xué)方法上對我們提出了更高的要求——盡量做到深入淺出，直觀形象，讓學(xué)生接受起來更加容易。以上的方法就是從如何讓學(xué)生接受起來更容易為出發(fā)點，爭取讓更多的學(xué)生更好地掌握有關(guān)圓錐曲線的知識。endprint