數學教學：站在思維的制高點上

【摘 要】數學教學應注重對知識背后的“知識”的構建和重新“組織”，即注重在思維體系的構建上做文章。數學教學必須注重數學的思想和觀念，突出數學的思維和本質，這樣學生的學習才是觸及事物本質的學習，才是完整的、準確的、豐富的、深刻的學習。學生也只有建立起了自己的思維體系，才能更好地駕馭知識的學習。

【關鍵詞】數學教學；數學思維；教學案例

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）46-0024-03

【作者簡介】陳柏良，浙江師范大學特級教師工作流動站（浙江金華，321004）教師，浙江省紹興市高級中學（浙江紹興，312000）教師，浙江省特級教師。

一直以來，在數學課堂上，很多教師總是習慣于在知識體系的構建上做文章，教學常常在一個知識平面上延展，追求寬泛的“知識面”，而不注重對知識背后的“知識”的構建和重新“組織”。而眾所周知，每個學生都有自己的認知結構，學到的知識都會儲存于自己的頭腦中，并按一定的方式排列。如果教師平時的教學習慣于做知識“堆砌”的文章，那么，學生儲存于頭腦中的知識，大多是按水平的方式進行排列，表現為儲存的知識顯得比較零散和孤立。

如果教師的教學注重對知識背后的“知識”的構建和重新“組織”，即注重在思維體系的構建上做文章，那么學生儲存于頭腦中的知識，大多是按層次的方式進行排列，儲存的知識有很清楚的條理性和邏輯性，既有原理、方法這種思維層面上的上層知識，又有具體例證的下層知識。顯然，數學教學，需要教師注重在思維體系上做文章。

一、對數學學科教學的認識

數學教學是數學思維活動的教學，數學教學必須注重數學的思想和觀念，突出數學的思維和本質。這里所說“數學的思想”，不同于我們一般在講的四種主要的數學思想方法（即函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想），而是指數學的基本思想，是數學的產生與發展必須依賴的思想。

東北師范大學史寧中教授研究認為，數學的基本思想主要是抽象、推理和模型，這也是學過數學與沒有學過數學的思維差異。所謂“抽象”，即從現實到數學，包括研究數量與數量關系和圖形與圖形關系。通過抽象得到研究對象的概念，研究對象的關系，運算方法和運算法則、度量方法。抽象體現數學具有一般性。學過數學的人抽象能力強。所謂“推理”，即從數學到數學，得到并且驗證數學的結果：命題。推理體現數學具有嚴謹性。學過數學的人推理能力強。所謂“模型”，即從數學到現實，用數學的語言講述現實世界的故事。模型體現數學具有應用的廣泛性。學過數學的人會理性思考。

這里提的數學的觀念，指數學的課程觀念。“觀”即“看法”，“念”即“想法”，即對數學的“課程性質：我教的是一門怎樣的課？課程目標：它能發揮怎樣的育人功能，在學生發展中所起的不可替代的作用是什么？課程實施：如何教這門課？應采取怎樣的教學策略？課程評價：這樣教在多大程度上實現了它的育人功能？”的看法和想法。

數學教學注重數學的思想，就是要求教師在課堂教學中主要完成三件事：抽象、推理和模型。對于推理，著名數學家波利亞強調既要教正規的演繹推理，也要教非正規的、似真的合情推理。他指出，數學思維不是完全“正規的”，它不僅涉及公理、定義和嚴格證明，而且還包含許多別的方面：從觀察到的情況得出結論、歸納推理、類比推理；在具體情況里辨認數學概念或從具體情況進行數學抽象。數學教師應不失時機地使他的學生熟知這些相當重要的“非正規的”思想方法。數學教學注重數學的觀念，就是要求學生除了獲得必要的數學知識，掌握必要的數學技能、原理和方法，體驗和發展必要的情感、態度、價值觀之外，還要獲得基本的數學素養，會看問題、會想問題、會做事情。

數學教學突出數學的思維和本質，就是要求教師在課堂教學中要重視教思維，包括思維的嚴謹性、靈活性、深刻性和創造性。要強調數學的本質，課堂教學要體現“數學味”，就要充分關注數學知識的內在聯系，數學規律的形成過程，數學思想方法的提煉，數學理性精神（依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識稱為理性認識。重視理性認識活動，以尋找事物的本質、規律及內部聯系，這種精神稱為理性精神）的體驗等方面。這樣的數學課堂，學生的學習才是觸及事物本質的學習，才是完整的、準確的、豐富的、深刻的學習，即深度學習。

二、我們需要怎樣的數學課堂

有這樣一個游戲：桌上放置三列牌，每列張數分別為3，5，7。甲乙兩人輪流在任一列中取任意張牌（每次只能在某一列中取），只剩1張牌留給對方取時為勝。

我曾組織甲乙兩名學生玩這個游戲，任憑他們按規則隨機取牌，在取牌的過程中，雙方開始琢磨怎樣才能取勝，每悟出一點，我就及時鼓勵，讓他們繼續游戲，他們不斷地相互總結怎樣才能取勝，我不斷地肯定和鼓勵，他們不斷地表述各自的心得，列舉出了許多取勝的“殘局”。隨著參悟的增多，概括出了取勝的取牌方法和原理。

我突然想，我們的數學課堂不也應該如此嗎？課堂上，教師將教學內容作為一個活動過程來加以分析和設計，在這個活動過程中，學生始終處于一種積極的參與狀態，用內心的體驗與創造來學習數學，通過自己的思考建立起數學理解力，教師的任務就是為學生提供自由廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發展。在此過程中，教師以“明白了什么”“還有沒有其他發現”等來鼓舞學生不斷地“再創造”，讓學生把各種創造“成果”（哪怕只是一點點）都呈現出來，再與學生一一“分享”和“甄別”，豈不妙哉！即使未能完成既定的教學任務，在我看來，學生的思維得到了很好的“鍛煉”，也就不失為一堂好課。

一般來說，數學課堂教學設計要考慮三條線索：其一，數學知識線索，即數學知識發生和發展的“演繹過程”，也即知識的“邏輯鏈”；其二，學生的認知線索，即學生對新知的“建構過程”，也即學生的“思維鏈”；其三，教師的教學組織線索，即教師為實現教學目標所采用的課堂教學“組織形式”。這三條線索或明或暗，交融在一起，其中教學組織線索應成為一條主線索。教學的主體是學習的學生，而非教學的教師，教師要強化“幕后”意識，真正讓自主、探究、合作成為學生主要的學習方式。

三、數學課堂重思維構建的案例

基于對數學學科教學和課堂教學的認識，教師在教學中要注重在思維體系的構建上做文章。如蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修5中關于“數列”的教學，教師可突出函數思想和類比方法，引導學生構建豐富的思維體系。

在對等差、等比數列的前n項求和公式的推導教學中，就應抓住“如何實現運算方式的轉化”這一思維關鍵設計教學活動。在推導等差數列求和公式的過程中，有兩種極其重要的數學思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想，另一種是從一般到特殊的化歸思想。教學從特殊到一般的探究思想，可基于教材，設計如下三個問題。

問題1：某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有1根鋼管，下面的每一層都比上一層多1根，最下面的一層有100根，怎樣計算這堆鋼管的總數呢？

問題2：如果某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有1根鋼管，下面的每一層都比上一層多2根，最下面的一層有2n-1根（n∈N*），怎樣計算這堆鋼管的總數呢？

問題3：求等差數列{an}的前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an的值。

揭示從一般到特殊的化歸思想是本節課思維體系構建的關鍵之處。不少教師常常只注意到“倒序相加”是推導等差數列求和公式的關鍵，而忽視了對“為何要這樣做”的思考。同樣是求和，求1+2+3+…+100的值與“假設在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管”來求和的本質區別是什么？事實上，前者是“不相同的數”求和，后者是“相同的數”求和。“相同的數求和”是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題，將“不相同的數求和”（一般）化歸為“相同的數求和”（特殊），這就是推導等差數列求和公式的精髓。不僅如此，將一般的求和問題化歸為我們會求（特殊）的求和問題，這種思維方法還將在以后的求和問題中反復出現，這是一種具有普遍意義可遷移的思想。在等差數列求和公式的推導過程中，其實有這樣一個問題鏈：

為什么要在這堆鋼管旁邊倒放同樣一堆鋼管？（因為想轉化為相同數求和）

為什么“倒序相加”能轉化為相同數求和？（因為等差數列性質）

由此可見，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉化為相同數求和才是解決問題的關鍵，等差數列自身的性質是所采取的手段能達到目的的根本原因。

當然，如果學生在解決問題1：求S100=1+2+3+…+100的值時，提出可采用“分組配對”的方法來求和，即1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）。那么，教師在肯定這一思維方法后，可不失時機地提出問題2：求Sn=1+2+3+…+n（n∈N*）的值，讓學生感覺到，此時的分組配對要分“項數是奇數還是偶數”來討論，求解后，追問：怎樣才能避免對項數的討論，自然引出倒放鋼管的思維方法。

類比等差數列前n項和公式的推導，等比數列前n項和公式的推導也要抓住“如何實現運算方式的轉化”這一思維關鍵來設計教學。

教學中，可引導學生回顧思考“等差數列是如何求和的”？它是將“不相同的數求和”，通過“倒序”化歸為“相同的數求和”，實現運算方式的轉化，其中等差數列的性質起了關鍵作用。類比等差數列求和的思維策略，求等比數列前n項和該如何實現運算方式的轉化，以達到化簡求和的目的呢？顯然，我們要將目光聚焦到等比數列的結構特征、項與項的關系上來。在這一教學活動的設計中，要給學生創設自主探究的空間。如求S64=1+2+22+…+263的值，引導學生觀察等比數列中相鄰兩項存在的關系ak+1=akq，啟發學生如何消項求和：仿照等差數列倒序相加簡化運算的做法，等比數列求和該怎樣簡化運算呢？給學生思考時間，會有學生在上式兩邊同乘以公比2，得到新式子2S64=2+22+…+263+264，然后與原式作差，消去相同的項，達到化簡求和的目的；在教師的啟發下，也會有學生在原式兩邊同乘以，或乘以22等，來實現作差相消求和的目的；甚至會有學生采用兩邊同加上1，即1+S64=1+1+2+22+…+263=2+2+22+…+263，不斷從左往右加，得到1+S64=264；及S64=1+2（1+2+22+…+262）=1+2（S64-263）等處理方法，有效地實現運算方式的轉化，求出S64=264-1；等等。接著，從特殊到一般，提出問題：求等比數列{an}的前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an的值，進一步領悟“錯位相減”這種“消項求和”的數學本質，認識它的普遍意義和遷移價值，發展學生的思維能力。

像“數列”這樣蘊含著豐富數學思維的教學內容，在數學教材中俯拾皆是。教師要站在思維的制高點上進行課堂教學設計，幫助學生構建完整、豐富的思維體系。如上述對“等差數列前n項求和公式”的推導中，從“特殊到一般”探究數學問題的思想方法和從“一般到特殊”解決數學問題的化歸思想方法就是兩種極其重要的思維策略。從等差數列前n項求和公式的推導思維歷程中“收獲”等比數列前n項求和公式，是研究數學問題的又一思維策略。

簡言之，教師要注重研究數學思維，數學思維反映的是數學知識的本質及其規律性聯系，課堂教學要從重知識體系的構建轉向重思維體系的構建。思維一旦形成體系，即抓住了存在的知識本質和規律性聯系，就沒有必要耗費過多的時間和精力去做知識堆砌上的文章；學生也只有建立起了自己的思維體系，才能更好地駕馭知識的學習。

【參考文獻】

[1]陳柏良.透析課堂“美麗的錯誤”[J].中學數學教學參考，2004（09）.

[2]林衛民.重建“深度學習”的課堂教學[J].人民教育，2014（22）.