淺談初中生幾何推理能力的初步培養

夏福秀

摘 要：幾何推理能力是學好初中平面幾何的基礎，是養成學生步步有據思考習慣的關鍵。如何在七年級初始階段就抓好幾何推理能力的培養呢？本文結合自己的數學課堂，從幾何學習的素材、三種語言的互譯談起，進而強調了三種思考方法的推理訓練，知識梳理和規范化的書寫強化，最后還談到今后學習中應該注意的幾個問題。本文對于幾何起始課程的教學有一定的借鑒和啟發作用。

關鍵詞：幾何推理能力、素材、語言、推理訓練、知識梳理、規范書寫

幾何學習對培養學生邏輯思維及推理能力有特殊的作用。幾何教學，一向都是初中數學教學中的重點和難點。對于剛接觸幾何的七年級學生來說，從代數到幾何的認識轉變是一個不易的過程。一是研究對象從數變為形，二是思維方法從以計算為主轉變為以推理論證為主，還要學會用標準的幾何語言進行推理、描述與論證。我們發現，不少學生幾何推理能力差，面對許多不同的證明題束手無策，極大地影響他們的學習數學興趣和效果。因此，采取切實有效的措施，幫助學生尋找證題方法，探求規律，提高學生的幾何推理能力，是初中數學教師教學的一個重要教學任務。通過二十余年的教學實踐和探索，本人認為培養學生初步的幾何推理能力，應從以下幾方面努力：

1 幾何素材，了然于胸

推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據，不能主觀猜想，證明中的每一步推理論證的根據就是命題中給出的題設和已證事項，定義、公理和定理。這就要求學生首先要掌握好最基本的幾何語言材料。掌握好基本的語言材料是“運用”的前提。“最基本的幾何語言材料”包括：各種幾何概念、定理；各種幾何符號；幾何概念、定理的推理格式等。

在教學概念時，要讓學生準確掌握定義。教學定理時要讓學生掌握定理的條件和結論，弄清適用范圍。比如，初一教學“平行線”概念時，要準確呈現定義：“平面內，不相交的兩條直線叫平行線”。要強調兩點：（1）在同一平面內；（2）兩直線永不相交。又如，教學全等三角形的判定公理：“三邊對應相等的兩個三角形全等”，要讓學生弄清：已知是“三邊對應相等”，結論是“兩個三角形全等”。另外，要讓學生掌握好基本幾何符號的使用，諸如垂直符號“⊥”，全等符號“≌”。

讓學生掌握單個幾何知識點的“推理格式”尤為重要。因為它是理解和運用知識點的橋梁。其作用表現在：一是強化單個幾何知識點的理解；二是規范推理格式；三是便于單個知識點間進行“組合”，為進行復雜的邏輯推理打下基礎。因此在教學每個知識點時，有必要及時給學生“推理格式”的指導和學習。

2 夯實基礎，強化互譯

幾何推理包括大前提、小前提和結論。大前提就是已學過的幾何定義、定理、公理等，也就是圖形的定義、性質、判定等。小前提是指一種特殊的情況，結論就是得出的結果。

在幾何教學中，要高度重視基礎知識的掌握度。因為基礎知識的掌握程度，直接關系到學生后續的學習。基礎知識掌握的好，學生在幾何推理中就會得心應手，否則的話，學生將無從入手。

在幾何教學中，要強化文字語言、圖形語言、符號語言的互譯訓練。幾何語言的互譯訓練是提高學生幾何素養的重要途徑。對于剛學幾何的學生，要特別注重加強幾何符號語言的培養與訓練。教學時，不僅要求學生會用文字語言敘述，還要能正確畫出其對應的圖形，且能熟練的用符號語言來描述。

如文字語言：“在△ABC中，線段AD平分∠BAC.”畫出圖形（如圖）；

符號語言表示有：

∠DAB=∠DAC= ∠BAC，

∠BAC=2∠DAB=2∠DAC。

3 常見推理，訓練到位

推理是根據已知判斷得出新判斷的思維過程。幾何中命題復雜，類型繁多，要培養學生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視對問題的分析和推理。幾何推理常見的方法如下：

1、順向推理法：即從已知條件出發，分析在此條件下會得到哪些結論，然后再把這個結論作為條件，經過分析又能得出哪些結論，直到所得結論與要證明的結論相符為止。例1：

如圖：已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠DCB

求證：BE∥CF

分析：由AB∥ CD可以得出：∠ABC=∠DCB，

又由BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，可以得出

∠EBC=（1/2）∠ABC， ∠FCB= （1/2）∠DCB，

即可得出：∠EBC=∠FCB

則BE∥CF

2、逆向推理法：即從要證明的結論出發，分析要得到這個結論需要什么樣的條件，然后再把這個條件作為結論，分析要得到這個結論又需要什么條件，這樣層層推理，直到所需條件與已知條件相吻合。

如圖：已知 平行四邊形 ABCD，對角線AC、BD交于點O，

求證：OA=OC

分析：要證OA=OC，需證△ABO≌△CDO，

而要證△ABO≌△CDO，需要得出∠BAO=∠DCO

或∠ABO=∠CDO及邊AB=CD，這些條件都可以通過平行四邊形的性質得到。當然此題也可通過證明△AOD≌△COB，道理同上。

3、分析——綜合法。即先順向推理，再逆向推理，或者是先逆向推理再順向推理直到順推（或逆推）的結論正好是逆推（或順推）的條件時，解題思路也就水到渠成。

如對例1，可分析如下：要證BE∥CF，必須得出∠EBC=∠FCB，而這個條件，又如何得出呢？我們可以回過頭來，再從已知條件出發，由AB∥ CD可以得出：∠ABC=∠DCB，

又由BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，可以得出

∠EBC=（1/2）∠ABC， ∠FCB= （1/2）∠DCB，

即可得出：∠EBC=∠FCB

4 知識梳理，精準及時

無論是順推還是逆推還是分析——綜合法，對于學生基礎知識的鏈接能力，都提出了更高的要求。這就要求我們教師在平時的教學中，對于有關的知識要做好系統梳理，給學生一個清晰的認識。例如，常見的證明兩個角相等的方法有：

（1）對頂角相等；

（2）垂直定義（只針對于兩個角都是直角）；

（3）角平分線的定義；

（4）兩直線平行，同位角相等、內錯角相等；

（5）同角或等角的余角或補角相等；

（6）全等三角形的對應角相等

（7）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角或圓周角相等；……

又如，輔助線的作法應用問題。如果有直徑出現，往往構造直徑所對的圓周角是直角。過圓心作弦的垂線從而運用垂徑定理，有中點出現常構造出三角形或梯形的中位線等等。

5 過程清晰，書寫規范

幾何推理證明的分析和書寫是一個重要而學生又難以掌握的過程，它需要教師較長時間的引導和幫助，才能逐步形成學生自己的技能和技巧。對于初學幾何的學生，可用填充形式來訓練學生證題的書寫格式和邏輯推理過程，使書寫規范，推理有理有據，訓練的時間久了，學生也就在潛移默化中轉入了獨立書寫這樣一個規范的過程當中。例如：

請在下面題目的證明中的括號內，填入適當的理由。

已知，如圖EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。

解：∵EF∥AD，（ ）

∴∠2= （ ）

又∵∠1=∠2，（ ）

∴∠1=∠3，（ ）

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC+ =180 o（ ）

∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= 。

教師在教學中要反復強調這樣一個模式：要證什么→需要什么→題目有了什么→還缺什么→需補什么，按照這種模式反復訓練，學生是能夠學好幾何推理證明的。

6 其他注意事項

1.教學時要讓學生經歷觀察、猜想、實驗、討論、探究、證明幾個環節，因為這是一個完整的推理逐步發展的過程。

2.要提高對已知條件的分析能力。在實際教學中我們經常發現學生解題時往往漏掉題中個別已知條件或不能將已知條件與所學定理、性質相聯系致使尋找不到解題思路。

3.要注重培養學生的識圖能力，使學生善于觀察，探索幾何圖形的各種共性與個性，分析圖中動態因素，并由這些特性與因素作出推斷，然后進一步找出已知與未知之間的聯系。

4.加強對幾何題證明的一題多解。培養學生能從多角度、全方位進行思考的意識與習慣，開拓幾何證明思路。另外解完題后注意進行反思和點評，是解題思路達到最優化，培養學生思維的簡潔性的有效方法。

總之，培養學生的幾何推理能力并非一日之功。初中數學教師只有不斷總結、完善幾何知識的教學方法，善于總結經驗、探索規律，才能不斷提高學生學習幾何的興趣，發展他們的思維能力、推理能力和創造能力；才能全面提高學生的數學素養，為今后學習打下堅實的基礎。

參考文獻

[1]朱月祥、周偉偉.淺談在幾何入門階段培養初中生的推理能力[J].中學數學教學參考.2015（1-2下旬）：65；

[2]李紅婷.初中生幾何推理能力發展研究[J].教育研究與實驗.2009（6）：81-85；

[3]孫婷.義務教育階段學生數學推理論證能力測評[D].華東師范大學.2014、05、01；

[4]王惠文.初中生合情推理能力的調查研究[D].南京師范大學.2013、03、20.