一元抽象函數(shù)對(duì)稱問題的思考與實(shí)踐

何建云

【摘要】對(duì)稱問題是研究幾何和代數(shù)問題必不可少的內(nèi)容.建立幾何與代數(shù)間的聯(lián)系能有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和解決問題的時(shí)效性，提升學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的宏觀調(diào)控能力和微觀操作手段，達(dá)到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題之目的.

【關(guān)鍵詞】一元抽象函數(shù)；對(duì)稱；實(shí)踐

一元抽象函數(shù)的對(duì)稱問題是模擬考試和高考命題的熱點(diǎn)之一，常考常新，難度較大，函數(shù)的對(duì)稱問題，從初中到高中，除三角函數(shù)討論總結(jié)出對(duì)稱性外，其它基本初等函數(shù)針對(duì)對(duì)稱性問題泛泛而談，甚至不談.關(guān)于對(duì)稱的問題最早是以幾何概念的“形”的文字語言出現(xiàn)的，而把這種“形”的概念轉(zhuǎn)化為“符號(hào)語言”的“數(shù)”表達(dá)出來，在教材中幾乎是空白，這就需要教師挖掘教材內(nèi)涵，開發(fā)校本教材去彌補(bǔ)和化解對(duì)學(xué)生造成的“硬傷”.

1建立函數(shù)中心對(duì)稱概念

在高中數(shù)學(xué)教材[1]中，中心對(duì)稱問題呈現(xiàn)于教材是在解析幾何知識(shí)中，其基本概念最早見于初中數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí).初中教材中“把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心（簡(jiǎn)稱中心），這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn).”[2]這說明了兩個(gè)圖形是否關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的問題.同時(shí)“把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.”[3]這說明了一個(gè)圖形是否是中心對(duì)稱圖形的依據(jù).在高中階段的函數(shù)性質(zhì)研究中，除了“形”的觀察研究外，更重要的是“數(shù)”的嚴(yán)密推理過程，也就是數(shù)學(xué)建模的深入理解：若一個(gè)函數(shù)的圖象繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖象能夠與原來的圖象重合，那么這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱.換句話說：“對(duì)于函數(shù)f（x），其圖象上的任一點(diǎn)P1（x，f（x）），關(guān)于點(diǎn)P（m，n）的對(duì)稱點(diǎn)P2（2m-x，2n-f（x））也在函數(shù)圖象上，則稱函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱.”根據(jù)這個(gè)定義，如何判斷函數(shù)圖象是否是中心對(duì)稱圖象和如何求函數(shù)的對(duì)稱中心問題就迎刃而解了.

2建立函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的概念

初中階段“把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后的重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).”[4]這說明了兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱的問題.“如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸，也就是說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱”[5].這給出了一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形的依據(jù).由于一元函數(shù)圖象是一個(gè)平面圖形，為此，一元函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱的概念可描述為：若一個(gè)一元函數(shù)的圖象沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)函數(shù)圖象就叫做關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱.由于“軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線”[6]，故對(duì)于函數(shù)關(guān)于某直線對(duì)稱的概念也可表述為：對(duì)于函數(shù)f（x），其圖象上的任一點(diǎn)P1（x，f（x））關(guān)于直線l：y=ax+b，（a≠0）的對(duì)稱點(diǎn)P2（m，n）也在函數(shù)f（x）圖象上，則稱函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線l對(duì)稱.其中m，n由方程組 n-f（x）m-x=-1a，

n+f（x）2=a·m+x2+b求出，然后檢驗(yàn)n=f（m）是否成立？若成立，表明y=f（x）關(guān)于直線l對(duì)稱；若不成立，則表明l不是y=f（x）的對(duì)稱軸；當(dāng)a=0時(shí)，m=x，n=2b-f（x）從而代入y=f（x）檢驗(yàn)判斷即可.

不難知道：若已知一個(gè)函數(shù)y=f（x）關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，要求出其對(duì)稱軸就可以用待定系數(shù)法解決了.

3抽象函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱性結(jié)論及證明

3.1若函數(shù)f（x）滿足f（a-nx）=f（nx+b），則f（x）是對(duì)稱函數(shù)，且函數(shù)關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱.

證明在f（a-nx）=f（nx+b）中，令X=a-nx，得f（X）=f（a+b-X），即f（x）=f（a+b-x）.設(shè)點(diǎn)（x，f（x））在函數(shù)f（x）的圖象上，則點(diǎn)（x，f（x））關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a+b-x，f（x）），由f（x）=f（a+b-x）可證得點(diǎn)（a+b-x，f（x））也在函數(shù)的圖象上.故函數(shù)關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱.

3.2若函數(shù)f（x）滿足f（a-nx）=-f（nx+b）+c，則f（x）是對(duì)稱函數(shù)，且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（a+b2，c2）成中心對(duì)稱.

證明在f（a-nx）=-f（nx+b）+c中，令X=a-nx，得f（X）=-f（a+b-X）+c，即f（x）=-f（a+b-x）+c.設(shè)點(diǎn)（x，f（x））關(guān)于點(diǎn)（a+b2，c2）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a+b-x，c-f（x）），由f（x）=-f（a+b-x）+c得c-f（x）=f（a+b-x），即點(diǎn)（a+b-x，c-f（x））也在函數(shù)的圖象上.故函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a+b2，c2）成中心對(duì)稱.

3.3若給定函數(shù)f（x），則函數(shù)y=f（a-nx）與y=f（nx+b）的圖象關(guān)于直線x=a-b2n對(duì)稱.

證明設(shè)y=f（a-nx）圖象上任一點(diǎn)（x，f（a-nx））關(guān)于直線x=a-b2n對(duì)稱的點(diǎn)為（a-bn-x，f（a-nx）），令X=a-bn-x，則（X，f（nX+b）），即點(diǎn)（x，f（nx+b））在函數(shù)y=f（nx+b）的圖像上，故函數(shù)y=f（a-nx）與y=f（nx+b）的圖象關(guān)于直線x=a-b2n對(duì)稱.

當(dāng)函數(shù)y=f（x）關(guān)于任意直線或點(diǎn)對(duì)稱，證明可仿照上面方法進(jìn)行，只是較復(fù)雜而已.當(dāng)函數(shù)y=f（x）關(guān)于某點(diǎn)或關(guān)于形如x=m的直線對(duì)稱，就可利用其逆命題得結(jié)論.

4抽象函數(shù)y=f（x）雙對(duì)稱與周期的關(guān)系

函數(shù)y=f（x）同時(shí)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)或點(diǎn)線或線線的對(duì)稱叫做雙對(duì)稱.

4.1若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a，x=b，（a≠b）對(duì)稱，則函數(shù)f（x）必為周期函數(shù)，且T=2|b-a|是一個(gè)周期.

證明因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f（x）=f（-x+2a）；同理有f（x）=f（-x+2b），所以f（-x+2a）=f（-x+2b），即f（x）=f（x+2b-2a）.所以f（x）的一個(gè)正周期T=2b-a.

4.2若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）和直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)f（x）必為周期函數(shù)，且T=4a-b是一個(gè)周期.

證明因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，所以f（x）=-f（-x+2a）；又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f（x）=f（-x+2b）；因此-f（-x+2a）=f（-x+2b），化簡(jiǎn)得f（x）=f（x-4a+4b）.故T=4a-b是一個(gè)周期.

4.3若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，則函數(shù)f（x）必為周期函數(shù)，且T=2b-a是一個(gè)周期.

證明因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，所以f（x）=-f（-x+2a）；又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，所以f（x）=-f（-x+2b）；因此有-f（-x+2a）=-f（-x+2b），即f（x）=f（x+2b-2a）.故f（x）的一個(gè)正周期T=2b-a.

5抽象函數(shù)f（x）的構(gòu)造函數(shù)法依據(jù)及應(yīng)用

由以上知識(shí)可知，若一個(gè)抽象函數(shù)的對(duì)稱性按定義法來解決問題則較為繁雜；若應(yīng)用抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論或雙對(duì)稱性與周期的關(guān)系來解決問題，則能縮短解題過程和時(shí)間.要做到這一點(diǎn)，必須熟練掌握這些“用處大”的結(jié)論.由于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容豐富，容量大，對(duì)中、差生來說，有效掌握函數(shù)的對(duì)稱問題就顯得“不可理喻”和力不從心了.如何讓全體學(xué)生找到淺顯易懂的解決函數(shù)對(duì)稱問題的方法呢？采用構(gòu)造函數(shù)法不失為一種較簡(jiǎn)捷的辦法.因?yàn)榇嬖谛园谌我庑灾校灾灰獦?gòu)造出某個(gè)符合抽象函數(shù)所有條件的具體函數(shù)，則這個(gè)具體的函數(shù)就是符合這個(gè)抽象函數(shù)條件的一個(gè)特殊函數(shù).

例1（2007年重慶卷理） 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在（8，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)f（x+8）為偶函數(shù)，則（ ）

A.f（6）>f（7） B.f（6）>f（9）

C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（10）

解析f（x+8）為偶函數(shù)，所以f（x+8）=f（-x+8）.即函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=8對(duì)稱，又f（x）在（8，+∞）為減函數(shù)，故可設(shè)f（x）=-（x-8）2.

由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知：f（7）>f（10）.

故選D.

反思應(yīng)用一元二次函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì).

例2定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）和點(diǎn)（3，2）對(duì)稱，則f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=（）

A.16B.24 C.32 D.48

解析法一性質(zhì)法：因?yàn)樵赗上函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，所以f（x）=-f（-x+2）+2，且f（0）+f（2）=2.同理，在R上函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，2）對(duì)稱，則有f（x）=-f（-x+6）+4.因此-f（-x+2）+2=-f（-x+6）+4，化簡(jiǎn)得f（x）=f（x+4）-2.所以f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=4[f（0）+f（2）]+24=4×2+24=32.

故選擇C.

法二構(gòu)造函數(shù)法： 因?yàn)橐辉淮魏瘮?shù)f（x）=ax+b（a≠0）恒關(guān)于其圖像上任意點(diǎn)對(duì)稱，故點(diǎn)（1，1），（3，2）在其圖像上.由a+b=1，

3a+b=2得a=12，b=12.則f（x）=12x+12.

所以f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=12（0+2+4+…+14）+12×8=32.

故選C.

反思應(yīng)用一元一次函數(shù)關(guān)于其圖象上的任意點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)求解簡(jiǎn)便易懂.

例3定義在R上的函數(shù)f（x）的圖像既關(guān)于點(diǎn)A（m，n）對(duì)稱，又關(guān)于直線l：y=ax+b（a≠0）對(duì)稱，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)滿足條件的函數(shù)f（x）.

解析因?yàn)檫^點(diǎn)A（m，n）且垂直于l的直線關(guān)于l對(duì)稱，所以可構(gòu)造函數(shù)f（x）=px+q，則有p=-1a，

n=pm+q，解之得：q=n+ma.

所以f（x）=-1a（x-m）+n.

故可構(gòu)造一個(gè)滿足條件的函數(shù)f（x）=-1a（x-m）+n.

反思一元一次函數(shù)關(guān)于其圖象上的任意點(diǎn)對(duì)稱；平面上互相垂直的兩條直線互為對(duì)稱直線.

總之，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法解決抽象函數(shù)對(duì)稱問題運(yùn)用于選擇題和填空題時(shí)較方便，但在解決解答題和證明題時(shí)只能作為打開思維的依據(jù)而不能作為完整的解題過程，它畢竟是一種“特殊性”的方法存在于“普遍性”方法之中，是建立在對(duì)基本初等函數(shù)性質(zhì)熟練掌握基礎(chǔ)上的靈活應(yīng)用的方法.

參考文獻(xiàn)

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)選修21A版[M].北京：人民教育出版社：44.

[2][3]林群.義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社：62-67.

[4][5][6]林群，義務(wù)教育教科書，數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)[M].北京：人民教育出版社：58-60.