千里之行始于足下

王志和

【摘要】數學歸納法是高中內容概念課中的重要而又特別的一節.是由有限向無限跨越的重要一環.對學生的認知是一個很難跨越的“坎兒”.對數學歸納法能夠深入淺出的描述具有重要意義.如何使得數學歸納法的教學更加通俗，更加適合學生的認知層次；做到“低起點、小坡度、高品味、重人文”課堂中學生神采奕奕，信心滿滿；即有學科德育滲透，又使課堂輕松愉快，是教師力爭達成的目標.

【關鍵詞】數學歸納法；人文關懷；熱傳導；遞推

1數學歸納法教學實錄

導言常言道：千里之行始于足下.做事情要從眼下開始，一步一個腳印，堅實的前行，百折不回，第一步是第二步的基礎，第二步是第三步的基礎，依次勇敢的走下去，任何艱巨的任務我們也可以完成.

這樣的思想，這樣的豪情壯語，就是今天的數學課的內容——數學歸納法（書寫課題）.

以上語言的中心思想總結成兩點：

（1）要有良好的開端——良好的開端是成功的一半.

（2）承前啟后，持之以恒，步步登高.

有了以上兩個條件，我們就可以蒸蒸日上，永續華章.

下面從數學角度慢慢分析這個原理.

引例1上海地理等級考試傳出捷報，我班的同學中，1號是A+，2號是A+，3號是A+，…，于是，我斷定：我們班的38名同學都A+.

設計意圖采用不完全歸納法，為下面的問題作對比，形成認知期待.

教師：這種推理方法叫做不完全歸納法，這樣猜到的結論不一定正確，那么通過什么樣的方法猜的結論一定是正確的呢，我們看一下引例2.

引例2拿一根短鐵絲，一頭燒得很熱，另一頭慢慢的也熱了，這時能否斷定整個鐵絲都是熱的.

通過物理知識（實際上學生在小學的科學課上就做過這樣的實驗）可知，這是金屬的熱傳導，實際上是分子之間的能量的傳遞，即可以把熱由一處往另一處傳遞.

設計意圖關于用生活的例子解釋數學歸納法，我們經歷了長時間的思考，也有一些例子，比如下面的“星星之火，可以燎原.”“千里之堤，毀于蟻穴.”等等.都是一些很好的例子，也和數學歸納法的思想很相近，但感覺這些例子距學生的生活比較遠，對解釋數學歸納法有些欠妥.偶然聽物理公開課，突然想到在物理學科中有一些這樣的例子.比如波的傳遞，電流的傳遞等，有了這些想法以后，通過和物理老師交流，選定了用熱的傳遞來解釋更貼切.因為鐵絲傳熱是看得見摸得到的，每位同學都有體會，而波的傳遞等都比較抽象.

教師：想想，引例1中有沒有這樣的傳遞現象？

通過分析，引例1中學生的成績不具有傳遞性，即1號同學的成績對2號同學沒有影響，不能把1號同學得A+傳給2號同學使2號同學得A+.但鐵絲中前面分子如果具有很高的能量，就可以把能量傳給后面的分子.這樣可以使短鐵絲整體都熱.

引例3設a1，a2，a3，…，an，…都是實數，且a1=0，an+1=n3·an，求an.

解：有的學生馬上就說，an=0.

教師：為什么？學生回答：a1=0可以推出a2=0，a2=0可以推出a3=0，…，

依次下去，就有an=0.

設計意圖提起數學歸納法，我們都會想到用多米諾骨牌去講授，但多米諾骨牌本身有些同學并不了解.而且需要一些假設才能完成.有人做過調查問卷，要使所有骨牌都倒下，學生想的條件并不是我們所想象的那樣簡單的給出數學歸納法兩個步驟.并且其弱點是有限多個，對于無限多的問題在類比上欠妥當.在這個環節上有研究者撰文用集合元素的任意性以及直線與平面垂直的直線的任意性等來類比，我們感覺這里的圈子繞得有點大.我們這里給出的就是一個無限的問題，學生非常容易的得出an=0.事實上，這種設計就是多米諾骨牌的數學化.

師生共同總結：

這里a1=0傳到a2，得a2=0；由a2=0傳到a3，得a3=0，….可見這個問題具有傳遞性.依次傳下去，就有an=0（n∈N*）.

這里的“依次傳下去”，用數學語言怎樣解釋呢？就是前一個ak=0能推出后一個ak+1=0.也就是如果對某個ak=0，那么一定能推出它的后面的ak+1=0.

詳細一點說，k=1時成立，a1=0，推出k+1=2時成立，即a2=0；接著令k=2，即a2=0，推出k+1=3時成立，即a3=0；再令k=3，即a3=0，推出k+1=4成立，即a4=0，….即所有的an=0（n∈N*）.（這就是數學語言的優勢！）

總結：上面能推出an=0需要什么條件：

（1）a1=0（鐵絲一端被燒熱）；

（2）這種解決問題的方式具有傳遞性（有熱傳導現象發生），即如果ak=0，能推出ak+1=0.

用這種方法證明下面的引例4

引例4數列{an}的遞推公式：a1=2，且an+1=a2n-nan+1（n∈N*），求證：an=n+1.

證明（1）由a1=2=1+1（可知此時要證命題成立）（鐵絲一頭被燒熱）

（2）下面看一看這個問題是否具有傳遞性（是否有導熱現象發生）？

這時實踐表明，學生們大都還是在進行如下操作：由a1=2得a2=3；由a2=3得a3=4，由a3=4得a4=5，….

到這里，有的同學說：an=n+1.

有另外的同學反對：沒有全算出來，不行！

教師：這種算法永無止境，那么回顧一下引例3，如何說明這種算法具有傳遞性.

總結出：如果（即假設）n=k時命題成立，即假設ak=k+1；那么當n=k+1時，

ak+1=a2k-kak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1.

即可以把ak=k+1傳給它后面的ak+1，使得ak+1=（k+1）+1.依次下去，當n∈N*時，都有an=n+1.

設計意圖傳統的引例是用關于正整數n的等式（如下面的例2）等闡述遞推規律，但簡單的等式一般要選擇等差數列和等比數列，這時學生常常感覺用遞推方法解題（數學歸納法）是多此一舉.即選擇用遞推數列時應遵循的原則是這個數列的通項公式很好歸納（如本處的引例4），而且很難轉化為等差數列或等比數列.這樣的例子是很難找的，我們也是經過長時間思考才想到這個引例4的.當學生看到引例4時，因為有上面的引例3做鋪墊，加之遞推數列的結構，很容易做出猜想判斷.

以上求證過程可簡單的梳理成：

第一步是，先證實（驗證）n取第一個正整數（上面的是n=1）時（命題）成立；

第二步是，證明這樣命題的正確性具有傳遞性，即如果（假設）n=k時命題成立，能推出n=k+1時命題成立.

用這樣證明有關正整數n的命題的方法我們稱為數學歸納法.

關于數學歸納法，有詩為證：

開山鼻祖，基業輝煌；

父業子承，永續擔當；

代代相傳，傳統弘揚；

前程似錦，萬世流芳.

設計意圖用言簡意賅的小詩做方法的總結和提煉，學生喜聞樂見，同時也道出了數學歸納法的思想精髓.使得深邃的道理在愉快愜意中得到理解，促使認識的提高和升華.

例1（1）已知數列{an}中，a1=3，an+1=an+3·4n，對任意n∈N*，求證：an是3的倍數.

（2）數列{an}的通項公式是an=4n-1，對任意n∈N*，求證：an是3的倍數.

設計意圖第（1）小題是學生常見的一類數列，實踐表明，一些學生常常是求出通項公式，即第二問的an=4n-1.我們這里給出第（2）小題，有兩個意圖，第一是使有的學生迷途知返，以期用數學歸納法證明第（1）小題，熟悉數學歸納法的兩個步驟；第二是對整除問題的解法先給出一個鋪墊，因為有了第（1）小題，使得第（2）小題可以借用第（1）小題的遞推式去解.實踐證明，學生作第（2）小題時可能出現：

假設當n=k（k∈N*）時命題成立，即ak=4k-1是3的倍數，ak+1=4k+1-1，

兩式相減得：ak+1-ak=3·4k，亦即ak+1=ak+3·4k，于是可知ak+1是3的倍數，

即n=k+1時命題成立.

由第一步和第二步可知對任意n∈N*均有命題成立.

還可能出現把ak+1=4k+1-1寫成ak+1=4（4k-1）+3，即ak+1=4ak+3，一樣可得命題.

例2用數學歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

證明過程略.

設計意圖熟悉方法，簡單應用.

例3（1）已知數列{an}的通項公式是an=（n2-5n+5）2，小欣計算得：a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，于是，小欣斷言，對所有的n∈N*，都有an=1.

小欣的斷言是否正確.

（2）小明想用數學歸納法證明：1+2+3+…+n=n（n+1）2+2016，證明方法如下，請同學們思考一下是否合理，并說明理由.

假設n=k（k∈N*）時，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2+2016成立，

那么，當n=k+1時，

左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）+2016=k（k+1）2+2016+（k+1）=k（k+1）+2（k+1）2+2016=（k+1）（k+2）2+2016.

右邊=（k+1）（k+2）2+2016，

所以當n=k+1時等式也成立

所以等式對一切正整數都成立.

（3）小紅想用數學歸納法證明1+2+3+4+…+n=n（n+1）2，證明方法如下，請同學們思考一下是否合理，并說明理由.

（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立

（2）假設n=k（k∈N*，k≥1）時，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2成立.

當n=k+1時，左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）=（k+1）（1+k+1）2=（k+1）（k+2）2.

右邊=（k+1）（k+2）2.

所以當n=k+1時等式成立.

由（1）（2）知，對n∈N*公式都成立

設計意圖（1）是防止學生由不完全歸納法做出錯誤判斷.（2）和（3）反復緊扣數學歸納法的兩個條件，（2）問缺少了奠基，結果用“數學歸納法”證出了一個假命題，引起學生認識沖突，讓學生深刻理解奠基的作用（否則將以訛傳訛）；（3）問在突出第二個條件：傳遞性，剛開始學生可能認為第二小問的證法是正確的，在教師點撥后學生幡然醒悟，傳遞性也更加深入人心.三個反例對學生正確認識數學歸納法起到警示作用.

2關于數學歸納法引例的若干思考

關于數學歸納法的導引，我們通過了幾年時間的思考，想過了很多例子，在這里舉出若干，以供教學參考.

（1）多米諾骨牌.

（2）萬丈高樓平地起，用建造樓房說明原理.

（3）火車跑得快，全靠車頭拽.用火車頭及其聯接來說明.

（4）星星之火，可以燎原.

原意是：有一點火焰，從里到外，慢慢燃燒，會燃遍所有草原.即：首先有一個火種，其次是前面草燃燒的火焰能將后面的草點燃，這樣會燃遍所有草原.

（5）奧運火炬接力.

（6）美國故事：金盞花的純白色種子的形成過程.

（7）小米1、小米2，……，小米手機系列；或者用微信圈等.

（8）杜牧的詩：過華清宮：

長安回望繡成堆，山頂千門次第開.

一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來.（用古代的驛站去說明.）

（9）佛教的思想：世間有輪回，人能轉世.前生是今生的因，來世是今生的果.前世修來今生受，今生修積后世人.用佛教修煉來生去說明原理.

（10）宋代秦觀（即秦少游）的《客懷》：靜思伊久阻歸期，久阻歸期憶別離.憶別離時聞漏轉，時聞漏轉靜思伊，…….去說明遞推.

（11）老子的：“道生一，一生二，二生三，三生萬物.”

（12）學生在東方綠舟軍訓玩過的“人浪”游戲 .

（13）上課伊始，跟學生玩如下游戲：按班級同學的學號從小到大再接回，我們班級是38人，一號接二號，依次下去，38號結束后一號再接，無限下去…，如一號說：一馬當先，二號接：先人后己，三號接：己所不欲，勿施于人，四號接：人定勝天，五號接：天理不容，六號接：容我好好想想，七號接：鄉間小路（短語、諧音語句都可以）……，問學生，這樣接下去，能接多久，學生答：要永遠接下去….

（14）腳著謝公屐，身登青云梯，半壁見海日，空中聞天雞，…….——李白《夢游天姥吟留別》，用登天梯表示遞推.

（15）欲窮千里目，更上一層樓.

（16）千里之堤，毀于蟻穴.

（17）江山代有人才出，各領風騷數百年.（18）高一軍訓，學生排成一隊，教官命令，報數：學生：1，2，3，4，….

（19）史書《周禮》中有這樣一段記載“在各國從邊疆到腹地的通道上，每隔一段距離，筑起一座烽火臺，接連不斷，臺上有桔槔，桔槔頭上有裝著柴草的籠子，有敵人入侵時，烽火臺就一個接一個地燃放煙火傳遞警報.

有什么條件可使烽火臺依次全部點燃？

①第一個點燃；

②看到第一個烽火臺點燃，第二個烽火臺就要點燃，依次第三個烽火臺，….

即在第k個烽火臺點燃時，能引起第k+1個烽火臺點燃.

（20）我姓王，我為什么姓王，是因為我爹姓王，我爹為什么姓王，是因為我爹的爹姓王，…，一直追溯上去，直到我的祖輩中第一輩被封為王氏，一直傳遞下來.

我們來梳理一下，我們家族都姓王有幾個條件，首先第一輩姓王，其次，姓王的這個姓氏能永遠傳遞下去（假如每代王姓都能傳到下一代），使得我們這個家族祖祖輩輩姓王了.

即“n=1（第一代）時姓王；如果某一代姓王亦即n=k（代）時姓王，推出（下一代）即n=k+1（代）姓王.”于是我就姓王了.

（21）芝麻開花節節高.這實際上是數學歸納法的很好寫照.