高中數學教學中創造性思維的培養

郭小東

摘 要： 創造性思維是中學數學教學中的重要內容，本文總結了前人的經驗，從思維的獨創性、變通性、發散性、跨越性四個方面論述了對學生創造性思維的培養。

關鍵詞： 高中數學 創造性思維 培養途徑

一、思維獨創性的培養

思維獨創性表現為有新穎獨特的見解和與眾不同的方法，勇于標新立異、別開生面。這是創造性思維的核心。數學教學中對思維獨創性的培養，一方面要引導學生自主學習，獨立思考，不依賴和盲從他人。另一方面要注重開發學生的創新意識，給學生發揮創造力的機會，鼓勵學生的求異思維，敢于發表別出心裁的見解。

例如，立體幾何課上，教師提問一位平時成績一般的學生，怎樣推導圓錐的側面積公式。教師的本意是希望他說出課本上的展開法，不料該生的回答是：把圓錐化為正棱錐考慮，教師稍加思考后平靜地說：“請你講講思路，好嗎？”原來該生聯想過去曾學過由正多邊形的邊數無限增加而趨近圓的思想求圓的面積，提出現在可類似讓正棱錐的底面邊數無限增加推導圓錐的側面積，于是，剛才的嘲笑頓時換來一片驚呼，教師熱情地稱贊他：“已步入高等數學宮殿的門檻。”這種評價自然使學生倍受鼓舞。又如一堂代數課上，教師出示了一道解分式方程=的題，叫一名學生板演，學生一上去便變分子相等，這時，教師馬上“提醒”他“解分式方程首先是去分母。”學生只好改變自己的想法，按教師的指導去做；本題如果讓學生變分子相等去解，則過程要簡捷得多。

教學中，不要扼殺學生的不同想法，正確評價其求異思維的價值。即使求異思維中提出一些不正確的想法，也要盡可能肯定其合理的成分，這樣才有利于培養思維獨創性。

二、 思維變通性的培養

思維變通性表現為思維敏捷，隨機應變，善于靈活地轉換觀察分析問題的角度，使問題出奇制勝地獲解。這是創造性思維的靈魂。“曹沖稱象”、“司馬光砸缸”故事中的妙法就相當于數學中的等價轉換，教學中要加強對學生運用各種數學思維策略進行變換問題訓練，使學生在分析解決問題的過程中提高思維變通能力。

例如：要證明1000>1999！，此式兩邊都是天文數字，直接比較很難著手。為此，可引導學生觀察1000和1999這兩個數，不難想到其有關系：（1999+1）÷2=1000。進一步點撥，讓學生變換本題的表達形式，使其更明確地顯露問題的實質，這樣原題就轉換為一個帶有一般性的問題：求證：[]>n！（n為奇數）。由于新的“一般化”問題摒棄了非本質的枝節，因此，反而比原問題容易解決，只需應用基本不等式：>，即>，就可證得（）>n！取n=1999原問題即告解決。

又如要回答“某次乒乓球賽，采用抽簽淘汰制進行，從100個選手中決出冠軍，共要進行多少場比賽？”的問題，如按正向思維從勝利者角度出發，考慮出場和輪空的情況，則不勝其煩，若引導學生采用逆向思維，即從失敗者角度考慮就十分簡便。因為每一場比賽對應一個失敗者。全部比賽有99個失敗者（包括亞軍），故總共進行99場比賽。

三、 思維發散性的培養

思維發散性表現為善于從各種不同方向角度和層次考慮問題，或在同一條件下得出多種不同結論。這是創造性思維的主導，數學教學中的一題多解、一題多變、一法多用等，可作為培養發散性思維的重要途徑；例如“求sin10°+cos40°+sin10°cos40°的值”，課本上是通過降次與積化和差，再和差化積求得。掌握課本解法后，應引導學生根據式子的結構特征探討一題多解。經啟發，學生可逐步探索出四種新的方案：一是配方后和差化積；二是提出sin10后再和差化積；三是構造對偶式：cos10°+sin40°+sin40°cos10°聯立組成方程組；四是構造內角為10°，50°，120°的三角形，再用正弦定理和余弦定理。在此基礎上，引導學生進行一題多變，通過分析式中角度之間的特定關系，嘗試把原題變為求：sin20°+cos50°+sin20°cos50°；sinα+cos（α+30°）+sinαcos（α+30°）；sinα+cos（α+60°）+sinαcos（α+60°）等式子的值，都可應用同樣的方法。進一步探究又可得出一般規律：當sin（β-α）=或sin（α+β）=-時，有sinα+cosβ+sinαcosβ=1-a。

四、思維跨越性的培養

思維跨越性表現為思維不固守一般邏輯順序，能省略某些步驟縮短過程，或跨越思維對象的相關度的差距，以類比聯想接通媒介；這是創造性思維中最有活力的成分。數學教學中，要精心設計問題情境，提供恰當材料啟迪學生進行大跨度類比，靈活運用形象思維和直覺思維，培養學生思維的跨越性。

例如，解析幾何中有定比分點公式：x=，y=。公式的圖形背景是一個直角梯形PPMM，其中過PP分點P的線段PM平行于梯形的底M，M，M分別為P，P在X軸上的射影。由此可引發學生聯想：若將該直角梯形繞X軸旋轉一周，得到的幾何體是什么？再讓學生回答問題：“設圓臺的兩底面半徑為x，x，一平行于底面的截面分其高所得兩段的比為m∶n，求截面半徑r”。那么由立體幾何與解析幾何的“嫁接”就可得到簡潔明快的解答：r==。又例如：“已知數列{a}中a=4，a=（n∈N）.求該數列的通項公式”。本題的一般解法過程較長，如果啟示學生將遞推公式①a=與物理中的并聯電阻公式②R=S作一類比，那么學生立即會悟出一條簡潔思路：由“②”的“前身”是=+，可對①式作逆向變形，得=+。于是發現{}是等差數列，就有 =+（n-1），故a=。顯然這一新穎解法來自“遙距聯想”和直覺頓悟。

創造性思維是由多種思維組合而成的一種復雜的思維活動，是各種思維相輔相成、有機結合、辯證統一的結果。著名科學家錢學森曾說：“實際上人的每一個思維活動過程都不會是單純的一種思維過程，也絕不是單純的抽象思維，總要有點形象思維，甚至要有靈感思維。所以，三種思維的劃分是為了研究的需要，不是講人的具體思維過程。”本文只從四方面簡要論述了對學生創造性思維能力的培養，在其他思維品質的培養中如何發展創造性思維能力還有待進一步探索研究。