小學數學概率統計的教育價值與教學例析

丁海峰

[摘 要]概率統計在小學數學教學中有其不可或缺的教育地位和獨有的教育價值。在教學實踐中，教師可通過典型的教學案例和有針對性的教學設計，通過學生的自主學習和綜合實踐，幫助學生掌握概率統計這一認識世界的工具，提高處理信息的能力；加深學生對數學思想方法的理解和掌握；提高學生的思維品質和思維水平，幫助學生建立良好的科學品質和辯證唯物主義觀念。

[關鍵詞]概率統計 教育價值 教學案例

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）35-050

《義務教育數學課程標準（實驗稿）》首次將“統計觀念”作為義務教育階段數學課程的重要目標之一，并將統計與概率作為數學教學的四個領域之一。《義務教育數學課程標準（2011版）》還將原來的“統計觀念”提高為“數據分析觀念”，在過程性和應用性等方面對小學數學概率統計的教學提出了更高的要求。雖然小學數學中概率統計的內容相對偏少，難度相對較低，但作為小學數學教學的四個領域之一，概率統計有其不可忽視的教育價值和教育地位。

一、掌握認識世界的工具，提高處理信息的能力

在報紙、電視等媒體中，經常會出現“某臺風使沿海地區受災面積達60%”，“本月房產價格環比上漲4%”，“這場足球賽，巴西隊贏的可能性比較大”，“到這家商場買家電更劃算”等語言，這些都運用了大量的統計數據和概率統計術語。生活已經先于數學課程將概率統計知識推到了學生面前，學生也了解基本的、簡單的概率統計知識，但學生真正理解了這些數學知識嗎？比如例子中的三個百分數60%、4%、80%，它們各自有什么意義，有區別和聯系嗎？解答這些問題就需要進行系統的學習，這也是概率統計的教育價值和目的所在。

現實生活中還存在大量的數據或者需要通過數據處理才能解決的問題。面對這些數據，為了更好地認識世界，人們就要學會處理各種信息并分析和判斷。《義務教育數學課程標準（2011版）》提出了“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵的信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。”

【例1】 學校要發校服，那我們班需要大號、中號、小號的校服各多少套？

首先引導學生經歷這樣一個思維過程：

（1）大號、中號、小號的校服各自對應的身高是多少？

（2）我們班每個同學的身高是多少？

（3）身高在各對應范圍內的同學人數是多少？

（4）如何統計全班同學的身高？

（5）如何又快又準地處理統計結果？

（1）（2）（3）是讓學生意識到需要進行調查統計，（4）（5）則是需要學生收集、分析和處理數據，讓學生在討論過程中選擇合適的方法，如統計表、條形圖或餅圖等。

概率統計是認識和理解隨機現象的鑰匙，掌握概率統計方法，通過數據的收集、整理和分析，可以使我們對事物的判斷與選擇盡可能正確，可以使我們在生活和工作中少犯錯誤，贏得主動。因此， “概率統計是一門可以使人變聰明的技術”，是使人能夠更好地了解和把握社會現象的一門學科。

二、體會概率思想方法，加深對數學的整體理解

數學是研究空間形式和數量關系的學科。除概率論與數理統計外，數學的其余分支研究的都是確定性現象。正因為概率統計不同于研究必然現象的其他數學分支，并且在理論和思想方法上具有獨特性，它的教育價值也越來越被人們認可。

【例2】 一個布袋里有3個紅球和1個黃球。我們一共摸20次球，每次摸后都放回，游戲規則：如果摸到紅球的次數多，就算女生贏，如果摸到黃球的次數多，就算男生贏。

（1）這個游戲公平嗎？為什么？

（2）女生一定會贏嗎？

（3）怎樣才能讓男生贏的可能性相對更大？又怎樣才能讓女生贏的可能性相對更大？

問題（1）基于生活常識，學生基本都認為游戲不公平，因為紅球個數較多，所以女生贏的可能性更大，這也正是概率思想的核心，即單一試驗的偶然性與大量重復試驗所體現的必然性。問題（2）的提出能促使一部分學生思考：女生一定會贏嗎？事實上，在不少課堂試驗中均出現這種“意外”情況：男生贏了。這是因為某一事件發生的可能性雖然大，但并不能遮蓋或替代另一小概率事件發生的可能性。問題（3）需要更深層次的知識，可以讓學生課后進行多次試驗，摸球次數分別為1、10、20、50、100……可以發現，摸球次數越少，男生贏的可能性相對更大，反之女生贏的可能性相對更大。

三、拓展思維方式、提升思維水平

概率統計的思維方式能夠拓展學生的思維廣度，打破原有思維方式對學生的束縛，進而全面提升學生的思維水平，因此它是人們不可缺少的思維模式。

統計方法是一種實證主義方法，是歸納與演繹的有機結合，它通過大量的隨機試驗從偶然性中發現規律性、必然性。探究過程中采用的統計歸納、邏輯演繹等具有或然性特征，但這種或然性又具有一定的概率保證，也就是在一定概率程度上對命題進行“證明”。

例如概率統計中著名的“蒲豐投針問題”，即通過對隨機試驗及其數據的觀察、分析、處理，求出圓周率π的近似值。這一實驗法開創了用偶然性方法去攻克確定性問題的先河，將必然數學與或然數學聯系在了一起。

雖然在小學階段無法學習復雜的“蒲豐投針問題”，但依然可以運用這種思想方法設計一些概率統計問題，從而達到提升學生思維水平的目的。

【例3】 一個不透明的袋中裝有4個紅球和1個白球共5個球（事先不告訴學生具體的白球與紅球數目，只告訴他們袋中球的顏色為白色和紅色），讓學生通過足夠多次有放回的摸球，統計摸出白球與紅球的數量及各自所占比例，由此估計袋中白球與紅球數目的情況。

該問題的解決可以分為以下幾個層次。

（1）學生已有的經驗是“知道袋中球的顏色和數目的情況下，摸到哪種顏色球的概率較大，具體是多少”。本題可由已有的經驗出發，引導學生思考、討論“在不看和不數袋子里球的顏色的前提下，如何估計袋中白球與紅球數量的情況”，啟發學生想到可以通過摸球得到數據，進一步由數據進行估計。

（2）通過大量有放回的摸球試驗，學生發現每次摸出的球的顏色不確定，初步感受數據的隨機性。如果進行足夠多的試驗，進一步統計摸出的白球與紅球的數量，就可以估計袋中是白球多還是紅球多，在隨機性的基礎上體會規律性。

（3）在（2）的基礎上，隨著試驗次數的增加，發現摸出白球的次數與摸出紅球的次數的比趨于穩定，學生可以估計出袋中白球數量和紅球數量的比，進一步體會規律性。估計出了袋中白球數量和紅球數量的比，并知道了袋中兩種顏色球的總數，就可以估計白球和紅球各自的數量。

當然，小學生無法用概率的方法進行準確、科學的推斷和預測，只能是一些猜想，屬于沒有證明的合情推理。概率推理作為一種合情推理，是與代數推理、幾何推理同樣重要的一種推理形式。波利亞說過，合情推理是與邏輯推理一樣重要的推理，是更具創造性的推理。因此，經過長期的概率統計學習，學生的合情推理能力自然可以得到相應的提高。

四、培養良好的科學品質和辯證唯物主義觀念

概率統計是在解決各種實際問題中發展起來的，其解決問題的方法和結果的呈現方式也較為特別，對于學生科學品質的培養和辯證唯物主義思想的形成有巨大的幫助。

從概率統計的角度去觀察、探索和解釋現實生活或科學領域中的隨機事件，能夠對現實世界中的很多事情形成自己的看法，有助于培養學生的探索精神。因此概率統計的學習不能沿用傳統的記憶和機械的解題訓練方法，同時，概率統計的隨機性使得解決問題的模式具有多樣性和不重復性，需要不斷創建新模式來解決新問題，有益于學生創新精神的培養和創造能力的提高。科學應用信息作出正確決策是概率統計的主要任務，概率統計能教會學生合理運用規律作出正確的決策，培養自身的決策能力和決策意識。解決概率統計問題時，常常需要多人共同參與，解決問題的過程就是分工協作、相互配合的過程，這也有利于培養學生的合作精神。概率統計告訴我們，事物的偶然中蘊含必然，必然中又帶有偶然，這一辯證關系是事物的固有屬性，也是我們思考和研究問題所必須持有的思想觀念。

【例4】 在可能性的教學中，可以設計如下問題：

（1）在一個布袋中有1個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，摸到紅球與白球的可能性相等嗎？

（2）如果袋中有2個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，摸到紅球與白球的可能性相等嗎？

（3）如果袋中有9個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

（4）如果袋中有99個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

（5）如果袋中有999個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

（6）如果袋中有無數個紅球和1個白球（假設袋子無限大），從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

從簡單的問題出發，通過數據的變化，不斷激發學生的思維。學生在思考、討論甚至激烈的辯論中得出正確答案。當袋中有99個紅球和1個白球時，學生還能肯定地說“能摸到白球”，當袋中有999個紅球和1個白球時，學生已經對自己的答案（能摸到白球）產生懷疑，這時教師的引導和對概念的辨析就能加深學生對可能性這一概念的理解。

對于小學生來說，統計與概率這一領域的內容是充滿趣味和吸引力的。概率實驗的過程就是對思維挑戰的過程，也是一個非常有趣的過程：親自動手收集、處理及呈現數據是一個活動性很強并且充滿挑戰和樂趣的過程。統計與概率涉及整數、分數、比值等基礎知識，需要運用計算、推理等基本能力，蘊含了分類、歸納、數形結合等數學思想方法，學習新知的同時還要能運用舊知，自然就能提高學生發現問題、解決問題的能力。學好概率統計，還有助于培養學生以隨機觀念來認識和理解世界，形成正確的世界觀和方法論。概率統計在生活和數學中扮演著重要的角色，充分認識概率統計課程的教育價值，發揮它的育人功能，必能促進學生綜合素質的提高。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 孫國春.小學數學理論透視[M].蘇州：蘇州大學出版社，2012，12.

[2] 王勝青.概率統計在信息社會中的教育價值[J].甘肅高師學報，2008（2）.

（責編 童 夏）