淺談化歸方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

冷文躍

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)之中。本文從化歸思想方法的概念、化歸方法的基本原則、常用的化歸方法、初中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中形成化歸思想方法一般要經(jīng)過(guò)的階段等方面進(jìn)行闡述，表明化歸思想方法在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的深遠(yuǎn)影響。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；思想方法；化歸

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）21-052-2數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)之中。掌握并學(xué)會(huì)用化歸的思想方法分析和解決問(wèn)題，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。化歸思想方法的形成高于知識(shí)的理解和掌握，化歸方法應(yīng)用要與知識(shí)教學(xué)、學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)，應(yīng)螺旋式上升，并遵循階梯式的層次結(jié)構(gòu)。

一、何謂化歸思想方法

所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，即將一個(gè)生疏、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，人們常常將待解決的問(wèn)題甲，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題乙，然后通過(guò)乙問(wèn)題的解答返回去求得原問(wèn)題甲的解答，這就是化歸方法的基本思想。中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸方法的應(yīng)用無(wú)處不在，例如：在方程研究中，將簡(jiǎn)單的高次方程、分式方程、根式方程化為一元二次方程來(lái)求解。所以數(shù)學(xué)中注重化歸思想的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展解題能力都無(wú)疑是至關(guān)重要。化歸方法的要素：1.化歸對(duì)象，即對(duì)什么東西進(jìn)行化歸；2.化歸目標(biāo)，即化歸到何處去；3.化歸途徑，即如何進(jìn)行化歸。

為了更好地理解化歸方法的具體含義，《數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)方法論》一書(shū)第221頁(yè)列舉了兩例加以說(shuō)明，這里不妨再舉一例：圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

分析：考慮到圓周角與圓心角的一般關(guān)系，我們可以分為下列三種情況來(lái)證明。

（1）如圖1圓心在圓周角的一邊上：易證得∠APB=12∠AOB；

（2）如圖2圓心在圓周角的內(nèi)部：可將該問(wèn)題分割成兩個(gè)圖1狀，再用問(wèn)題1的方法，易證∠APB=∠APS+∠BPS=12∠AOS+12∠BOS=12∠AOB；

（3）如圖3圓心在圓周角的外部：（同問(wèn)題2）易得∠APB=∠BPS-∠APS=12∠BOS-12∠AOS=12∠AOB。

二、化歸方法的基本原則

（1）熟悉化原則：如果能將待解決的陌生問(wèn)題化歸為一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題，就可以充分調(diào)動(dòng)已知的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)用于面臨的新問(wèn)題，從而有利于問(wèn)題的解決。例如用熟悉的正方形的面積來(lái)得到并理解勾股定理。

（2）簡(jiǎn)單原則：若能將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題化歸為比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，則問(wèn)題會(huì)更容易得到解決，通過(guò)分類(lèi)、討論、割補(bǔ)、特殊化、換元等具體方法亦可使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單。例如：在方程研究中，將簡(jiǎn)單的高次方程、分式方程、根式方程化為一元二次方程來(lái)求解。

（3）具體化原則：把比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較具體、直觀的問(wèn)題以便形象地把握問(wèn)題所及的各個(gè)之間的關(guān)系，使問(wèn)題易于解決。例如“曹沖稱(chēng)象”的故事已為大家熟知。

（4）極端化原則：數(shù)學(xué)中有許多極端情況，例如，點(diǎn)是圓的半徑為0的極端情況，切線是割線的極端情況等等。

三、常用的化歸方法

1.架設(shè)化歸橋梁

架設(shè)化歸橋梁就是在問(wèn)題的連結(jié)點(diǎn)之間建立通道，創(chuàng)造條件達(dá)到化歸的目的，其形式有：選取過(guò)渡元素，添置輔助線（輔助圖形）建立引理或預(yù)備定理等，橋梁架設(shè)的關(guān)鍵在于合理、恰當(dāng)，能起引渡作用。

例1：在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC=b，AB=AC=AD=a，求BD的長(zhǎng)。

解：以A為圓心，a為半徑畫(huà)圓，由條件知B、C、D三點(diǎn)共⊙A，延長(zhǎng)BA交于⊙A點(diǎn)E

連結(jié)ED，∵DC∥AB，∴DE=BC故DE=BC=b

在△BDEK中，∵BE是⊙A直徑，

∴∠BDE=90°，由購(gòu)股定理得BD=4a2-b2。

若將思路固死在直線形內(nèi)，則問(wèn)題很難解決，此題中添作了輔助圓，從而提供了新條件使問(wèn)題化歸到直角三角形中得到解決。

2.轉(zhuǎn)化思維角度

某些問(wèn)題的解決按常規(guī)思維難以奏效時(shí)，考慮從另一角度來(lái)研究，會(huì)產(chǎn)生“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的效果。思維角度的轉(zhuǎn)化主要包括：代數(shù)→←三角、幾何；數(shù)→←形；正→←反；動(dòng)→←靜；特殊→←一般；抽象→←具體。轉(zhuǎn)化關(guān)鍵是：尋找轉(zhuǎn)化契機(jī)，創(chuàng)造轉(zhuǎn)化條件。“函數(shù)與方程”的轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，用它解題的思路是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。它以其奠基性、工具性、實(shí)用性等特征而成為解決問(wèn)題的兩把“鑰匙”，應(yīng)予重視。

如，在講二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關(guān)系時(shí)，如果要通過(guò)畫(huà)圖來(lái)判斷的話，其一畫(huà)圖要多么的精確，其二要浪費(fèi)多少時(shí)間。但是如果把其轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況就簡(jiǎn)單了，只要運(yùn)算Δ即可。當(dāng)Δ>0時(shí)，則二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化學(xué)生很容易的就能接受。

3.分解與組合

所謂分解就是把一個(gè)“復(fù)雜的大問(wèn)題”分解為一組“簡(jiǎn)單的小問(wèn)題”來(lái)處理的解題策略。

例如：k為何值時(shí)，關(guān)于二次方程2（m+1）x2-4mx+3（m-1）=0至少有一個(gè)正根？

簡(jiǎn)析：至少有一個(gè)正根情況較為復(fù)雜，可以分為三種簡(jiǎn)單情況：（1）有兩個(gè)正根；（2）有一個(gè)正根和一個(gè)零根；（3）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根；這三種情況解決后，綜合它們結(jié)果，即得原問(wèn)題的解。

所謂組合是相對(duì)分解而言，我們?cè)诳紤]問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意整體結(jié)構(gòu)，不獨(dú)立地看問(wèn)題，常常將各個(gè)局部因素合二為一，從而使問(wèn)題順利，簡(jiǎn)單地解決。

4.整體分析化歸

將一個(gè)式子視為一個(gè)整體，從而給問(wèn)題帶來(lái)轉(zhuǎn)機(jī)，可獲得奇妙的整體效應(yīng)，整體分析主要包括：整體代入和整體處理，其關(guān)鍵在于產(chǎn)生或?qū)ふ夷芙o問(wèn)題帶來(lái)轉(zhuǎn)機(jī)的整體，即換元法解決問(wèn)題，顯得簡(jiǎn)潔、明快，這就是整體代入所產(chǎn)生的效應(yīng)。

例：求函數(shù)y=-（x-2）2+3|x-2|+5的最大值。

簡(jiǎn)析：此函數(shù)的形式看上式比較復(fù)雜，若把絕對(duì)值符號(hào)去掉，則必須分類(lèi)討論。但從整體上看與二次函數(shù)很相似，為此把（x-2）2看成|x-2|2，即原式可化為y=-|x-2|2+3|x-2|+5

令t=|x—2|，當(dāng)t=32時(shí)，函數(shù)y有最大值=294，

即x=72或12時(shí)，函數(shù)y取最大值=294。

換元法即整體分析化歸，在初中階段是一種較常的數(shù)學(xué)方法，換元的作用是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生問(wèn)題熟悉化。

5.實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

例如：一水壩橫斷面為等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度為1∶3，破面AB的水平寬度為33，上底寬AD為4米，求坡角B壩高AE和壩底寬BC各是多少米？

分析：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型構(gòu)造直角三角形問(wèn)題。就是解決直角三角形問(wèn)題。

四、初中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中形成化歸思想方法一般經(jīng)過(guò)的四個(gè)階段

1.滲透孕育期。這一階段可以通過(guò)有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的四則運(yùn)算、整式加減、一元一次方程的解法教學(xué)來(lái)反復(fù)孕育化歸思想方法，使學(xué)生初步了解和體會(huì)到化歸思想方法的意義和價(jià)值。

2.領(lǐng)悟形成期。這一階段可以通過(guò)“二元一次方程組”、“一元一次不等式（組）”、“整式乘除”等內(nèi)容的教學(xué)，從正面向?qū)W生介紹化歸目標(biāo)、確定化歸方法，并通過(guò)引典故、舉范例，深化學(xué)生對(duì)化歸思想方法的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用它去探索分析問(wèn)題，使學(xué)生初步形成化歸思想方法的雛形。

3.應(yīng)用發(fā)展期。這一階段可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)發(fā)生過(guò)程，進(jìn)一步揭示、概括、提煉化歸思想方法，更高層次地領(lǐng)悟化歸思想方法的涵義及其價(jià)值。在宏觀上培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用化歸思想方法增強(qiáng)知識(shí)遷移的能力；在微觀上，強(qiáng)化化歸技能技巧的訓(xùn)練，使學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)形態(tài)的化歸思想方法逐漸內(nèi)化為意識(shí)形態(tài)的化歸思想方法。

4.鞏固深化期。這一階段可以通過(guò)“函數(shù)”、“圓”等內(nèi)容的教學(xué)，特別在解幾何問(wèn)題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把解決的幾何問(wèn)題作為化歸對(duì)象，把基本圖形作為化歸目標(biāo)，將復(fù)雜圖形化歸為基本圖形等，通過(guò)不斷地在新情景下應(yīng)用化歸方法，可使學(xué)生進(jìn)一步鞏固、深化對(duì)化歸思想方法的理解，從而有意識(shí)嘗試用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)自己的思維活動(dòng)，形成獨(dú)立探索問(wèn)題的能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸原則來(lái)解題，不僅能起到鞏固舊知識(shí)，促進(jìn)理解掌握新知識(shí)的作用，而且對(duì)提高學(xué)生解決問(wèn)題的策略水平有著深遠(yuǎn)的影響。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最大障礙是自信力的缺乏，而掌握化歸思想又將有助于學(xué)生自信心的形成與鞏固，從而在不斷的成功中追求新的更大的成功。