培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)運算能力需過“四關(guān)”

陳傳東

[摘 要] 數(shù)學(xué)運算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)運算準確率不高是困擾部分學(xué)生和教師的難題. 通過對初中生數(shù)學(xué)作業(yè)、試卷、易錯題展示小報的分析，筆者發(fā)現(xiàn)提高初中生數(shù)學(xué)運算能力必過“四關(guān)”：第一，負號關(guān)；第二，括號關(guān)；第三，公式關(guān)；第四，檢驗關(guān).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；運算能力；運算符號；去（添）括號；數(shù)學(xué)公式

“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的全面發(fā)展”是我國數(shù)學(xué)教育特色的核心，這里的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”主要指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能以及“三大數(shù)學(xué)能力”（數(shù)學(xué)運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力）. 數(shù)學(xué)運算能力的重要性可見一斑. 初中階段的數(shù)學(xué)運算包括對數(shù)值的計算、求近似值；數(shù)學(xué)式子的恒等變形（如代數(shù)式化簡）與同解變形（如解方程、方程組或不等式）；初等函數(shù)運算和求值；各種幾何量的測量與計算；概率、統(tǒng)計的初步計算等. 恰逢筆者所在年級備課組在做“初中數(shù)學(xué)易錯題歸因分析與矯正策略研究”小課題，教師訪談和學(xué)生的易錯題展示小報表明，運算準確率不高是困擾教師和學(xué)生的共同難題.

現(xiàn)摘錄幾個易錯題展示小報上涉及數(shù)學(xué)運算的典型例題（本文展示的是正確解題過程）：

第2題易出錯的地方有四個：第一，打開完全平方公式時，憑直覺認為（x-1）2=x2-1；第二，認為（x-2）（2-x）可以用平方差公式進行計算；第三，式中的減法運算是減去（x-2）（2-x）的乘積，應(yīng)把乘積當作一個整體加上括號，再去括號并變號，很多學(xué)生算成了2（x-1）2-（x-2）（2-x）=2（x2-2x+1）-2x-x2-4+2x；第四，有同學(xué)在給2（x2-2x+1）去括號時只把2與括號中的某一項或某兩項相乘.

經(jīng)過分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生計算時出錯的原因主要有四大類：一是符號問題，其中“負號”是學(xué)生最恐懼的符號，題目中出現(xiàn)的負號（減號）越多，學(xué)生犯錯的頻率越高. 二是括號問題，當括號前有負號時，去括號需變號，不變號或只部分變號是出錯主因. 部分學(xué)生該添括號時不添（如多項式相減時，應(yīng)該給多項式加上括號），不該添括號時亂添，如計算-12時算成（-1）2. 三是公式問題，完全平方公式打開時應(yīng)該有3項，部分學(xué)生在初三復(fù)習(xí)時還把（a-b）2算為a2-b2，把（a+b）2算為a2+b2，對平方差、負指數(shù)冪等公式理解也不徹底. 四是粗心，抄題時，把符號抄錯或者項數(shù)抄漏. 因此，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)運算能力需過四關(guān)，即負號關(guān)、括號關(guān)、公式關(guān)、檢驗關(guān).

負號關(guān)

（一）加號與正號、減號與負號的區(qū)別、統(tǒng)一

在初一（上冊）學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，“負號”就伴隨著學(xué)生初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 加號與正號的符號表示都為“+”，減號與負號的符號表示都為“-”，一線教師常常區(qū)分為運算符號和性質(zhì)符號. 在表示具有相反意義的量時，這種區(qū)分是必要的. 但在運算過程中，加號與正號，減號與負號是可以相互轉(zhuǎn)化、統(tǒng)一的. 以實際情境為例：小明在第一次數(shù)學(xué)小檢測中考了90分，第二次在第一次基礎(chǔ)上提高了5分，第三次在第二次基礎(chǔ)上下降了4分，小明第三次檢測得了多少分？學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，列式有2種：①90+5-4；②90+（+5）+（-4）. 比較這兩個式子，①式中，5前面的加號“+”表示提高，4前面的減號“-”表示下降；②式中，5前面的正號“+”表示提高，4前面的負號“-”表示下降. 此時，加號與正號的意義相同，減號與負號的意義相同. ①②式都表示小明第三次的檢測成績，所以90+5-4=90+（+5）+（-4）. 實際上，在進行有理數(shù)和整式的加減運算時，所有的符號都可看成項或數(shù)的性質(zhì)符號，式子中的加減運算可以統(tǒng)一為只有加法運算的“和式”. ②是“和式”，①是省略加號的和式.

把運算符號看成性質(zhì)符號的一個好處是：在用交換律、結(jié)合律時，需對項的位置進行調(diào)換，性質(zhì)符號作為項的一部分應(yīng)該跟著項走，“符號跟著走”才能保證運算正確. 如式子1-2+3-4含有+1，-2，+3，-4四項，1-2+3-4=1+3-4-2=-2.

整式加減合并同類項時，“符號跟著走”也有利于提高運算準確率. 如4a2-4a+12a-9a2=（4a2-9a2）+（12a-4a）= -5a2+8a.

（二）負號的妙用

學(xué)生對含有負號的運算往往沒有含正號的運算得心應(yīng)手. 但掌握好負號，特別是相反數(shù)（相反項）的概念，會為數(shù)學(xué)運算帶來很多便利. 在教學(xué)中，讓學(xué)生理解：互為相反數(shù)的兩個數(shù)（因式）的偶次冪相等、奇數(shù)冪互為相反數(shù)，相反項可以通過提取負號變成相同項，能為學(xué)生靈活運用負號帶來很大便利.

如：299×（-2）100=299×2100=2199；24×

（-2）5=24×（-25）=-29；（a-b）2·（b-a）3=（b-a）2·（b-a）3=（b-a）5或（a-b）2·（b-a）3=（a-b）2·[-（a-b）3]= -（a-b）5.

以上變形將不同底數(shù)冪的乘法運算轉(zhuǎn)化成了同底數(shù)冪的乘法運算. 在分式化簡中，分式的分子、分母也可通過提負號把相反因式轉(zhuǎn)化為相同因式，從而進行約分.

（一）掌握去括號與添括號的法則

要過括號關(guān)，去括號、添括號的法則是教師必須講透、學(xué)生必須徹底掌握的兩個法則. 在整式與分式的混合運算、解方程與不等式、因式分解、二次函數(shù)解析式變形中都會用到去（添）括號法則. 當括號前面是正號“+”時，不管是添括號還是去括號，括號內(nèi)的各項都不改變符號，學(xué)生遇到這類題出錯的概率也比較小，本文不再贅述. 括號前有負號或有因數(shù)是學(xué)生最容易出錯的兩種情況.

1. 括號前有負號. 去括號：當括號前是負號“-”時，把括號和它前面的負號去掉，括號里各項都要改變符號. 如a-（b-c）=a-b+c，在去括號的過程中，去掉的是括號和前面的負號，括號里的+b變成了-b，-c變成了+c. 添括號：所添括號前面是“-”時，括到括號里的各項都要改變符號. 如a-b-c=a-（b+c），-b變成了括號里的+b，-c變成了括號里的+c. 不管是去括號還是添括號，都應(yīng)該把括號和括號前面的負號當作一個整體.

2. 括號前有因數(shù). 如2（2a2-b2）-3·（a2-2b2）=4a2-b2-3a2-6b2=a2-7b2，只把括號前的系數(shù)與括號內(nèi)的某一項相乘也是學(xué)生容易犯的錯誤.

實際上，學(xué)生要過括號關(guān)就需要教師在教學(xué)中滲透整體思想，一個括號代表一個整體，所以要變號時，括號內(nèi)的每一項都要變；要乘某一因數(shù)時，括號內(nèi)的每一項都應(yīng)該乘該因數(shù). 對待括號內(nèi)的項應(yīng)該“一視同仁”.

（二）妙添括號，巧計算

與添括號相比，去括號具有被動性，只有題目中出現(xiàn)了括號，才需要學(xué)生去括號. 添括號具有很大的主動性，它體現(xiàn)了學(xué)生嫻熟、靈活的運算能力. 一些試題，不添括號同樣可以完成計算，但添括號之后往往運算過程更為簡便.

1. 通過添括號變形，從而運用公式. 如計算（a-b+3c）（a+b-3c），直接利用多項式與多項式相乘法則可以得出結(jié)果，但通過添括號之后可以使用平方差公式，變形為（a-b+3c）（a+b-3c）=[a-（b-3c）][a+（b-3c）]=a2-（b-3c）2，從而快速得到結(jié)果.

公式關(guān)

冪運算、整式的乘法、分式運算、根式運算、解直角三角形、圓等章節(jié)中，包含著初中階段需要掌握的眾多數(shù)學(xué)公式. 數(shù)學(xué)公式理解不透、掌握不牢是導(dǎo)致學(xué)生運算效率低下的重要原因. 因此，學(xué)生對公式的記憶必須從機械記憶走向理性建構(gòu). 教學(xué)公式時，教師既要重視公式推導(dǎo)，也要重視公式運用.

（一）重視公式推導(dǎo)

為了追求教學(xué)進度，“不重視公式推導(dǎo)，只重視公式運用”是常見的教學(xué)現(xiàn)象，這導(dǎo)致很多學(xué)生對公式的理解處于空白或“夾生飯”狀態(tài)，對公式的記憶模糊、混亂. 細致的公式推導(dǎo)過程，可以讓學(xué)生知道公式的來源以及公式的適用范圍. 以平方差公式為例，學(xué)生通過計算，觀察（a+b）（a-b），（x+3）（x-3），（5+a）（-5+a）這三個式子發(fā)現(xiàn)：兩個二項式相乘，當兩個因式中有一項完全相同，另一項只有符號不同時，計算結(jié)果是平方差形式，且是相同項的平方減去相反項的平方. 在計算、觀察的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以歸納出平方差公式的一般形式（a+b）（a-b）=a2-b2. 公式推導(dǎo)的過程讓學(xué)生明白只有形如（a+b）（a-b）的式子才能運用平方差公式，平方差公式的計算結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方，在理解這一本質(zhì)的基礎(chǔ)之上，任意調(diào)換相同項和相反項的位置，學(xué)生都能快速得到正確答案. 如（a+5）（a-5），（5+a）·（-5+a），（a+5）（-5+a）的計算結(jié)果都是a2-25. 在此基礎(chǔ)上，教師根據(jù)班級學(xué)情，還可以適當拓展，把相同項和相反項變?yōu)橄禂?shù)不為1的單項式或多項式，從而在平方差公式教學(xué)中滲透整體思想. 如（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2，[（a+b）+c][（a+b）-c]=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2.

（二）通曉公式運用

任何數(shù)學(xué)公式都有其限定的使用范圍，學(xué)生要學(xué)會根據(jù)題目的特點選擇適用的數(shù)學(xué)公式，千萬不能想當然地套用公式. 通曉公式運用包括正用、逆用、活用3個層次.

1. 正用數(shù)學(xué)公式. 正用數(shù)學(xué)公式即從左往右運用數(shù)學(xué)公式，以平方差公式為例，（a+b）（a-b）=a2-b2，若習(xí)題是形如等號左邊（a+b）（a-b）的形式，則可以從左往右運用此公式，快速得到答案. 這里的a，b可以是單項式也可以是多項式.

2. 逆用數(shù)學(xué)公式. 逆用數(shù)學(xué)公式即從右往左運用數(shù)學(xué)公式，是初中數(shù)學(xué)逆向思維的重要體現(xiàn). 以平方差公式為例，（a+b）（a-b）=a2-b2，若習(xí)題是形如等號右邊a2-b2的形式，則可以從右往左運用此公式，快速得到因式分解的結(jié)果，如4a2-b2=（2a+b）（2a-b）. 這里的a，b可以是單項式也可以是多項式.

3. 活用數(shù)學(xué)公式. 一些習(xí)題考查的不僅僅是正用或逆用數(shù)學(xué)公式，還涉及公式變形. 完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的變形是學(xué)生經(jīng)常會遇見的題型，如已知a+b=3，ab=-8，求a2+b2，（a-b）2，a2-ab+b2的值等. 清楚基本公式的常見變形以及不同公式之間的數(shù)量關(guān)系是活用數(shù)學(xué)公式的前提.

檢驗關(guān)

“沒有檢查答案的習(xí)慣，不知道如何有效檢查”是影響初中生運算能力的重要因素. 為提高運算的準確性，教師應(yīng)該教會學(xué)生從哪些角度去檢查. 筆者認為，易錯點就是檢查點. 因此，檢驗時要查運算符號、查括號、查運算順序、查公式運用、查項數(shù)，以免運算過程中漏項、丟系數(shù). 此外，教師必須交給學(xué)生常用的檢驗方法.

（一）復(fù)算檢驗法

復(fù)算法即把題目從頭到尾再算一遍，檢查運算順序、書寫是否正確，步驟是否完整，這種方法幾乎適用于任何類型的運算題目. 學(xué)生中運用此法的占很大比例，但由于受思維定式和第一遍演算記憶的影響，學(xué)生容易在兩次計算中犯同樣的錯誤，不易找出運算中存在的問題.

（二）逆運算檢驗法

逆運算（互逆變形）是檢查運算結(jié)果的法寶，如用加法運算檢查減法運算是否正確；用乘法運算檢查除法運算是否正確；用去括號檢查添括號是否正確；用整式乘法檢查因式分解是否正確；用乘方運算檢查開方運算是否正確等.

（三）代入檢驗法

代入檢驗法即將運算結(jié)果代入原式進行計算. 如檢查方程或方程組的解是否正確，可把解代入原方程，能否使原方程成立是判斷答案正確與否的標準. 一些選擇題也可以通過代入選項的方法檢驗答案是否正確.

（四）數(shù)形結(jié)合法

在數(shù)軸、不等式（組）的解集、函數(shù)的系數(shù)與圖像等問題中，可以通過數(shù)形結(jié)合的方法判斷答案正誤. 如一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像從左到右呈上升狀態(tài)，但求出的k值小于0，顯然這個答案是錯誤的. 同樣，若二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸在y軸左邊，但求出的a，b異號，說明計算過程一定出現(xiàn)了問題.

檢驗運算結(jié)果的方法有多種，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該有意識地反思、總結(jié)檢驗方法，并能根據(jù)題型選擇最佳的檢驗方法，提高運算的準確率.

若學(xué)生在教師的幫助下能夠順利度過負號關(guān)、括號關(guān)、公式關(guān)、檢驗關(guān)，學(xué)生的運算能力會得到大幅提升，這將為進一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供堅實的運算能力基礎(chǔ).