高中數學思維，從理論到實踐

王志維

[摘 要] 高中數學教學中，數學思維歷來受到一線教師的高度重視. 這種重視常常有兩個層面：一是理論層面；二是實踐層面. 理論層面的重視常常體現在數學思維是教研成果與教學研究的熱詞；實踐層面的體現其實并不充分，因為應試形態下的高中數學課堂，學生少有主動思維的機會. 基于學生的認知需要，從提高學生核心素養的角度出發，將數學思維蘊含于數學知識的構建、數學探究及學習反思的過程中，是數學教師的價值選擇.

[關鍵詞] 高中數學；數學思維；理論；實踐

數學思維是歷來高中數學教學最為強調的話題之一，數學思維也是日常教學研究中最常提及的概念之一. 理想情況下，數學思維作為一個概念，其存在于數學教師的言語與研究成果當中，而數學思維作為課堂上的具體體現，則體現在學生構建數學知識的過程中，以及體現在學生利用數學知識解決數學問題或者是生活問題的過程中. 這是一個理論與實踐相結合的過程，但在教學實踐當中，關于數學思維的理論與實踐的銜接并不十分理想，尤其一個明顯的現象是，在各類研究成果中數學思維出現的頻率極高，在教學研討的交流中數學思維出現的頻率很高，在教學設計的時候提及數學思維的頻率也很高，但對于最為關鍵的場合即在教學實踐中則相對少有數學思維的教學. 顯然，這是一個理論與實踐的脫節問題. 指出這一問題，并不是說要否定當前的數學教學，而是希望關于數學思維的理論與實踐能夠有一個很好的結合，以讓學生在數學學習的實踐中，能夠在數學思維的理論滋養下獲得更好的發展，進而提升學生的數學核心素養.

筆者在教學實踐當中進行著這樣的努力，結果發現理論與實踐的結合并不完全是關于數學思維的教學理論與課堂教學的結合，更多的時候，數學思維實際上是隱藏在知識構建、數學探究與問題解決等過程中的，因此，數學更類似于默會知識. 具體闡述如下：

■數學思維在知識構建中體現

數學學習的基本任務就是數學知識的構建，應試環境之下，數學知識的學習常常是講授式的，學生基本上處于被動接受的狀態，即使在課程改革走過了十數年之后，高中數學課堂其實更多的還是這種常態. 這樣的教學方式基本上對學生的數學思維的培養沒有太大的作用，因為被動狀態下的知識學習基本上沒有主動建構的可能，因此數學思維也就沒有了生長的土壤. 反之，如果給了學生以主動建構知識的空間，那學生的數學思維就有可能高效形成.

如在“點到直線的距離”這一知識的教學中，具體的可以讓學生經歷這樣的一些知識構建過程：第一步，引導學生認識何為點到直線的距離. 這一設計與學生原有的距離知識相關，同時又是在點與線這一新的情境中提出的問題，因此可以促成學生新舊知識發生相互作用，從而建立起點與直線距離的準確理解. 第二步，尋找求點到直線距離的方法. 通常情況下，學生的思路都是先作出過該點并垂直于直線的垂線，然后兩直線方程相交求出交點坐標，最后通過兩點的坐標求出點到直線的距離. 應當說在這個過程中，如果將問題解決的過程交由學生，那么學生的思維過程是很豐富的，因為從建立點到直線距離的認識，到尋找到求點到直線距離的方法，都需要學生在大腦中構建點到直線距離的表象，然后有效地調用已有的知識，將求點到直線的距離轉換為利用兩點坐標來求兩點間的距離. 這種思維轉換，是典型的數學思維的組成部分.

然后實際教學過程到此時并沒有結束，因為在剛才所用的方法的反思中，學生會發現這一方法計算的繁雜性，從而猜想（必要的時候教師可以給予一點點撥）有沒有一種更好的方法的存在，而這種思維本身就是數學思維的一種體現——尋找新的解決問題的策略. 于是進一步的，教師可以引導學生從更高的角度審視點與直線距離的關系，結果發現其實質在于確定點與垂足對應的橫、縱坐標的差. 而認識到這一點之后，又會發現點到直線的距離可以有新的表達方式. 在這個過程中，思維轉換與新的思路的出現，就是數學思維的充分體現.

■數學思維在數學探究中體現

數學探究是當前重點強調的一種教學方式，數學探究的過程如果在課堂上真實地發生了，那上一點所強調的學生的自主性就可以得到保證. 同時其還可以繼續前進一步，讓數學探究更好地為培養學生的數學思維做出貢獻——應當說這一過程其實是自然而然的，因為只要有真正的數學探究發生了，那學生就必然處于數學思維的過程中，這正如一個在數學思維大海里撲騰的孩子，自然也就更容易學會游泳.

如在“三角誘導公式”的教學中，就可以給學生創造一個數學探究的機會. 筆者的設計是這樣的：第一步，明確提出三角誘導公式的探究問題. 第二步，選擇最簡單的突破口——從銳角的三角函數開始，思考如何求其三角函數值. 學生的反應自然是如果是特殊角，那么直接可以回憶出結果；如果是一般角，那么可以通過查詢三角函數表來獲得其值. 于是提出新的問題：如何從銳角三角函數的求法出發，去求任意角的三角函數呢？第三步，開展數學探究. 在探究之初，學生會意識到角的周期性對求三角函數值帶來的影響，于是就可以將對問題的探究縮小到0～2π的范圍之內，同時可以將所有角的始邊確定在坐標橫軸的正半軸上，于是問題的解決實際上就已經建立了一個數學模型（這是典型的數學思維的產物）. 其后，如果一個角的終邊存在于非第一象限之內，那是不是可以想方設法地將其轉換為第一象限的角呢？這個問題實際上是本探究過程中的關鍵，而解決這個問題的關鍵是什么？是數學思維方法的使用. 是什么數學思維方法的使用？是數形結合的使用. 例如，在設定了第一象限的角為α之后，第二、三、四象限的角就可以分別用α與180°，360°來輔助表示了. 這種方法在此時一旦得到成功的運用，那本探究就解決了一大半問題（當然是指思維角度的問題，并不是指具體的數學結論的得出，這只是一個過程與結果的關系，且過程的有效性決定了結果的有效性）.

在這樣的探究過程中，學生的數學思維可以說是體現得無處不在，只要稍有經驗的數學教師都可以看出其中的數學思維的存在. 更重要的是，這一過程其實并沒有跟學生強調太多的數學思維，但數學思維已經得到了學生的充分運用. 因此，可以說數學探究是培養學生數學思維的最佳途徑之一.

■數學思維在學習反思中體現

數學思維的教學常常被認為是隱性的，這符合數學思維支撐數學知識與數學問題解決的規律. 但需要注意的是，當面對的教學對象是高中學生的時候，有時候數學思維也可以相對變得顯性一些，也就是說，讓學生明確從數學思維的角度去感知數學的魅力. 這對于高中學生來說其實也是很有價值的，因為高中階段的學生所需要的其實并不完全是知識性的東西，筆者常常與學生進行數學學科特質方面的聊天，很多學生都表現出一種思想，那就是希望在數學課堂上不僅能夠學到知識，還希望能夠理解數學為什么能成為最有魅力的學科. 這其實就是對包括數學思維在內的一種教學意味的期待. 既然如此，數學教師就要在滿足學生應試需要的同時，找機會更好地給學生以數學思維的啟迪.

這看起來是一個矛盾的問題，但實際上在實踐中可以很好地協調起來，一個重要的方式就是在數學知識學習之后，在數學探究之后，在數學問題解決之后，引導學生進行一些學習角度的反思，讓學生思考自己在學習的過程中一開始是怎樣想的，后來又是怎樣想的，尤其是原來的思路發生錯誤之后，要通過對比發現原來的思路錯在哪里，正確的思路又是從哪里得來的.

這其實是一個很好的數學思維培養的過程，即使筆者不舉出具體的例子，相信絕大多數同行也能夠知道描述的是怎么回事. 但在實際中為什么其就很難在課堂上出現呢？根據筆者的實踐來判斷，恐怕絕大多數同行所擔心的是這個環節的效率問題，畢竟學習反思是需要花時間的，而在這個時間內往往又是可以做其他更多有意義的事情. 因此基于應試的需要，教師往往是“兩害相權取其輕”. 其實，這個過程對于學生的數學學習來說，是“磨刀不誤砍柴工”的，因為這個過程其實可以讓學生對一個數學知識點或者一道數學題產生極為深刻的印象，因而可以起到事半功倍的效果. 另一方面其還可以滿足學生對數學學習的深層次的心理需要，可以讓學生產生對數學學習的親近感，而這恰恰是題海戰術所無法達到的效果（其實還有相反的效果）. 數學中常有對比的方法，數學教學中也應當用這種對比的方法，判斷一下教學的效益.

總之，數學思維應當成為高中數學教學的重點，對其重視不能只是停留在理論的層面，不能只出現在教案或論文當中，要成為課堂上的真實體現. 只有從理論到實踐中都存在著強烈的數學思維的思路，那高中數學教學才能真正滿足學生的認知需要，才能提升學生的數學核心素養.