觀察·猜想·證明

李應志

摘要：隨著教育教學改革的不斷深入，數學教學如何改革和發展，如何從“重教輕學”向學生自主學習探索為主的方向發展，是一個值得思考的問題. 從數學的產生和發展歷程來分析，不外乎就是三個環節：實際問題→分析探索→結論論證.目前，數學教學實際上只注重最后一個環節，忽視了探索問題的這一重要環節，忽視了發明創造的過程.本文旨在從數學的形成過程（觀察→猜想→證明）來探討數學教學中如何培養和提高學生的數學思想和方法.

關鍵詞：數學思想方法 觀察 猜想 證明 數學教學 數學歸納法

【中圖分類號】G634.6

在人類社會發展的歷程中，科學技術始終推動著社會的進步和發展，而人類的許多發現與發明常常經歷三個階段： 觀察→猜想→證明（驗證）. 當我們探究某個問題時，也常常應用這種思想方法.數學中許多命題的發現、思路的形成和方法的創造，都可以由學生通過數學猜想而得到，它是一種重要的數學思想方法，在數學教學中有著重要的意義.數學家波利亞認為，在數學教育中，證明與猜想這兩類推理都必須教給學生，在有些情況下教猜想比教證明更為重要.現代教育思想提出：在數學教學中，不應該只注重結果，更應該注重過程.因此，在教學中要充分展示知識的形成過程，使數學學習成為再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識和能力，這是深化數學教育改革、實施素質教育的關鍵.

在數學教學中，如何培養學生的創新意識和能力， 使學生學會“觀察→猜想→證明”是一種非常重要的途徑，它能激發學生去思考、大膽地提出問題，理性地分析和解決問題.下面通過例子說明這種思想方法在數學教學中的應用.

一. 觀察要有任務性和目的性

為了達到一定的教學目標，教師首先要給學生創設良好的學習情景，給出相關的背景材料，激發學生進行觀察，引導學生怎樣觀察，觀察什么.例如，在教學集合的子集個數問題時，先提出問題：如果集合A由n個元素組成，你能猜測A的子集共有多少個？并用列表來觀察，通過觀察，學生思維很活躍，調動了學生的積極性.

學生通過上面的觀察、分析，容易猜想：子集的個數為2n；接著思考：這個結論正確嗎？怎樣證明？

二. 鼓勵學生大膽猜想，養成善于猜想的數學思維習慣

學生通過仔細觀察背景材料后，教師要引導開展各種歸納、類比等豐富多彩的探索活動，鼓勵他們提出數學猜想和創見，培養他們敢于猜想、善于探索的創新精神.

例如，上面子集的個數問題，應該讓學生自己去發現，教師不能代替，讓學生有充足的時間和空間，發揮他們豐富的想象.

再如，在教學等差數列通頂公式時，學生首先認識和理解了等差數列的基礎上，并通過觀察等差數列： 的前幾項：

到此，讓學生說出 已很容易，這時過渡到 是水到渠成了，學生成了知識的探索者和發現者.

三. 證明要嚴密，方法要多樣化

學生通過觀察、猜想得出的結論，往往是用歸納、類比得出的結論，往往也是錯誤的，因此，必須要通過證明成立，才能體現出真正的價值.證明的方法很多，常用的有演繹法、完全歸納法、數學歸納法等等.例如，在教學球的體積公式時，教師可讓學生觀察等底、等高的圓柱體、半球、圓錐，已知圓柱體體積= ，圓錐的體積= 并從圖形可看出：

.

這個結論是否正確呢？學生很懷疑，只能通過證明來檢驗其真實性，教師可引導學生利用祖暅原理來論證了.（略）

再如，在教授數學歸納法的內容時，學生先觀察：

不等式

用什么方法證明呢？可讓學生思考，然后引導學生用圖象法、數學歸納法證明.采用觀察→猜想→證明的思想方法來教學的內容還有很多，如歐拉公式、與自然數有關的命題等等.

四、在中學數學教學中，很多內容都可采用這種思想方法來教學

在傳統教學中， 只要求學生掌握某某結論、定理、公式的證明，不要求了解這些結論、定理、公式是怎樣產生和形成，造成學生學習知識時，只注重結果，不重視過程的被動局面.根據素質教育的要求，應培養學生獨立思考、勇于探索、學會創新的精神. 在數學教學中，如何實現這一目標， 我認為，遵循觀察→猜想→證明的步驟和方法是一種重要的途徑， 而且在中學數學教學中，很多內容都可引用這種方法來教學，在這一思想方法中，觀察是基礎，猜想是關鍵，證明是必要，這種教學真正體現了學生的主體性，使學生從學會知識轉變為會學知識，從被動學習變為主動學習，是培養學生的創新意識和探索發現精神的重要途徑.

參考文獻：《中學數學思想方法》北京師范大學 錢佩玲著、

《古今數學思想》 M·克萊因著.