觀察·猜想·證明

李應(yīng)志

摘要：隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向?qū)W生自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問題. 從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：實(shí)際問題→分析探索→結(jié)論論證.目前，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上只注重最后一個(gè)環(huán)節(jié)，忽視了探索問題的這一重要環(huán)節(jié)，忽視了發(fā)明創(chuàng)造的過程.本文旨在從數(shù)學(xué)的形成過程（觀察→猜想→證明）來探討數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 觀察 猜想 證明 數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)歸納法

【中圖分類號(hào)】G634.6

在人類社會(huì)發(fā)展的歷程中，科學(xué)技術(shù)始終推動(dòng)著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，而人類的許多發(fā)現(xiàn)與發(fā)明常常經(jīng)歷三個(gè)階段： 觀察→猜想→證明（驗(yàn)證）. 當(dāng)我們探究某個(gè)問題時(shí)，也常常應(yīng)用這種思想方法.數(shù)學(xué)中許多命題的發(fā)現(xiàn)、思路的形成和方法的創(chuàng)造，都可以由學(xué)生通過數(shù)學(xué)猜想而得到，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的意義.數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中，證明與猜想這兩類推理都必須教給學(xué)生，在有些情況下教猜想比教證明更為重要.現(xiàn)代教育思想提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不應(yīng)該只注重結(jié)果，更應(yīng)該注重過程.因此，在教學(xué)中要充分展示知識(shí)的形成過程，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力，這是深化數(shù)學(xué)教育改革、實(shí)施素質(zhì)教育的關(guān)鍵.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力， 使學(xué)生學(xué)會(huì)“觀察→猜想→證明”是一種非常重要的途徑，它能激發(fā)學(xué)生去思考、大膽地提出問題，理性地分析和解決問題.下面通過例子說明這種思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

一. 觀察要有任務(wù)性和目的性

為了達(dá)到一定的教學(xué)目標(biāo)，教師首先要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)情景，給出相關(guān)的背景材料，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行觀察，引導(dǎo)學(xué)生怎樣觀察，觀察什么.例如，在教學(xué)集合的子集個(gè)數(shù)問題時(shí)，先提出問題：如果集合A由n個(gè)元素組成，你能猜測(cè)A的子集共有多少個(gè)？并用列表來觀察，通過觀察，學(xué)生思維很活躍，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性.

學(xué)生通過上面的觀察、分析，容易猜想：子集的個(gè)數(shù)為2n；接著思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？怎樣證明？

二. 鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣

學(xué)生通過仔細(xì)觀察背景材料后，教師要引導(dǎo)開展各種歸納、類比等豐富多彩的探索活動(dòng)，鼓勵(lì)他們提出數(shù)學(xué)猜想和創(chuàng)見，培養(yǎng)他們敢于猜想、善于探索的創(chuàng)新精神.

例如，上面子集的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，教師不能代替，讓學(xué)生有充足的時(shí)間和空間，發(fā)揮他們豐富的想象.

再如，在教學(xué)等差數(shù)列通頂公式時(shí)，學(xué)生首先認(rèn)識(shí)和理解了等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，并通過觀察等差數(shù)列： 的前幾項(xiàng)：

到此，讓學(xué)生說出 已很容易，這時(shí)過渡到 是水到渠成了，學(xué)生成了知識(shí)的探索者和發(fā)現(xiàn)者.

三. 證明要嚴(yán)密，方法要多樣化

學(xué)生通過觀察、猜想得出的結(jié)論，往往是用歸納、類比得出的結(jié)論，往往也是錯(cuò)誤的，因此，必須要通過證明成立，才能體現(xiàn)出真正的價(jià)值.證明的方法很多，常用的有演繹法、完全歸納法、數(shù)學(xué)歸納法等等.例如，在教學(xué)球的體積公式時(shí)，教師可讓學(xué)生觀察等底、等高的圓柱體、半球、圓錐，已知圓柱體體積= ，圓錐的體積= 并從圖形可看出：

.

這個(gè)結(jié)論是否正確呢？學(xué)生很懷疑，只能通過證明來檢驗(yàn)其真實(shí)性，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用祖暅原理來論證了.（略）

再如，在教授數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生先觀察：

不等式

用什么方法證明呢？可讓學(xué)生思考，然后引導(dǎo)學(xué)生用圖象法、數(shù)學(xué)歸納法證明.采用觀察→猜想→證明的思想方法來教學(xué)的內(nèi)容還有很多，如歐拉公式、與自然數(shù)有關(guān)的命題等等.

四、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多內(nèi)容都可采用這種思想方法來教學(xué)

在傳統(tǒng)教學(xué)中， 只要求學(xué)生掌握某某結(jié)論、定理、公式的證明，不要求了解這些結(jié)論、定理、公式是怎樣產(chǎn)生和形成，造成學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，只注重結(jié)果，不重視過程的被動(dòng)局面.根據(jù)素質(zhì)教育的要求，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于探索、學(xué)會(huì)創(chuàng)新的精神. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)， 我認(rèn)為，遵循觀察→猜想→證明的步驟和方法是一種重要的途徑， 而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多內(nèi)容都可引用這種方法來教學(xué)，在這一思想方法中，觀察是基礎(chǔ)，猜想是關(guān)鍵，證明是必要，這種教學(xué)真正體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，使學(xué)生從學(xué)會(huì)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)闀?huì)學(xué)知識(shí)，從被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索發(fā)現(xiàn)精神的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：《中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法》北京師范大學(xué) 錢佩玲著、

《古今數(shù)學(xué)思想》 M·克萊因著.