淺談開放性數學問題及其設計

歐憲勝

【摘要】開放性數學問題能調動學生學習的積極性，激發學生的學習興趣，拓寬學生的數學思維空間，有利于學生創新精神和創造能力以及解決實際問題能力的培養。本文討論數學課堂教學中開放性數學問題的設計，從生活實際中取材、教材習題中改編以及讓學生主動參與設計三方面進行論述。

【關鍵詞】數學問題 開放性數學問題 問題設計 數學教學

中圖分類號：G633.6

開放性數學問題是相對于傳統的“條件完備、結論確定”的封閉性練習題而言的。它只是“問題”，而不是有現成的解決模式可套的“習題”。開放性數學問題中，可能所提供的條件不完備，需要在求解過程中不斷充實和增添假設；也可能是答案不唯一確定，結論或結果一般是豐富多彩的；解決問題的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣；開放性問題可以是純數學的，也可以是從實際生活中提出來的。正因為這樣，開放性數學問題給學生留下的探索空間很大，有助于開發學生的發散性數學思維。

一、關于開放性數學問題的重要性

開放性問題由于其自身的開放特征，一改封閉性問題的條件、答案唯一的特點，吸引學生不依賴于教師、不依賴于書本，獨立地去探索和發現問題的各種各樣的答案，使學生能在不同水平的答案交流中共同的討論，互相學習，不斷進步。

隨著新課程改革的落實，各種新題型紛紛出現，特別隨著近年來中考和高考開放題的相繼出現，開放性數學問題在中國已受到了廣大數學教師的普遍關注，學生對開放型問題非常歡迎。開放題有利于培養學生運用數學的意識和探索的精神，開放題有利于培養學生良好的思維品質，能保障學生的主體地位，有助于學生主體意識的形成，有利于全體學生的主動參與，有利于實現教學的民主性和合作性，有利于學生樹立信心、產生學習數學的興趣以及提高學生解決實際問題的能力等，因此在中學數學課堂教學中應該適當地引進開放性數學問題。

二、開放性數學問題的設計原則

開放性數學問題可以培養學生在解題過程中的創新思維，可以使學生在解題中形成積極探索和創造的心理態勢，從而使他們對數學的本質產生一種新的領悟，進而主動地參與到“做數學”的過程中來。

設計開放性數學問題應遵循以下原則：

（1）參與對象的層次性原則

開放性數學問題的設計應考慮到學生的知識水平，讓不同層次的學生能多層次、多角度地進行探索分析，從而作出不同層次的解答。

例如：學生學完公倍數以后，教師可以出這樣一道開放題：小紅有一堆積木，若2塊分一組，剩下1塊，3塊分一組，也剩下1塊，4塊分一組，還是剩下1塊。問小紅一共有多少塊積木？

這道題最一般的解法是試誤法，這是最低層次；學生能運用2、3、4的公倍數進行解答，這一方法是第二層次；最高層次的解法是學生能運用3、4的公倍數，這是因為他能看出2、3、4的公倍數其實就是3、4的公倍數，所以這是最高層次。一個好的開放題要能分出這樣的層次，讓不同程度的學生都可以進行探索和嘗試，從而使所有的學生都能參與到教學中來。

（2）問題內容的寬廣性原則

問題內容的寬廣性是指問題涉及的事件不僅為學生所熟悉，而且知識面也應當寬廣。它不僅僅涉及數學內容，還要涉及日常生活與其他學科內容，將學生在日常生活與社會活動中接觸過的與數學知識有關的內容加以提煉，設計成開放性問題。

例如：小明要給自己的房間的地板安上瓷磚，已知房間長6米，寬3.5米，又知道邊長為50厘米的瓷磚3.8元/塊，邊長為10厘米的瓷磚0.8元/塊，請問選擇哪種瓷磚可以使小明花錢更少？

（3）設計角度的動態性原則

設計角度的動態性原則是指同一知識點，采用不同的角度、不同的方式設計成不同的問題。

例如：學校的教學樓、圖書館、學生公寓樓在同一條校道上，教學樓與圖書館相距200米，圖書館與學生公寓樓相距1000米：①若教學樓和學生公寓樓分別在圖書館的兩側，請問教學樓與學生公寓樓相距多少米？②教學樓與學生公寓樓相距多少米？

問題①是封閉性數學問題，而問題②由于沒有規定教學樓與學生公寓樓的位置的限定就變為開放性問題了。

由于問題設計的角度新穎，方式豐富多彩，使學生對問題感興趣，產生好奇心，從而激發學生創造力。

（4）解答途徑的探索性原則

目前的數學練習中程式化、技能化的問題較多，學生只要記憶加苦練再加細心就能解決問題，數學開放題的解答途徑卻是開放的，具有探索性，它能調動學生追求成功的潛在動機，培養學生勇于探索的精神。

例如：如果將一塊形狀為三角形的木板切去一個角，那么剩下的木板還有幾個角？如果這塊木板不是三角形而是四邊形或五邊形，那么結果又如何呢？

對這樣的問題，學生不能只是根據所學知識或模仿教師傳授的某種現成方法就能馬上作出解答，而只有通過他們自己親身實踐、親自探索才能解決問題。

（5）解答方法的多樣性原則

它要求學生將所學知識融會貫通，善于通過多渠道來解決問題，發表自己的獨特的見解。

例如：請在8、2、5、4、9這幾個數字中間添上+、-、×、÷，使其能得到不同的結果。

這個題目并沒有規定+、-、×、÷四個符號的順序，因此學生可以根據添加的四個符號的不同的順序，從而得出不一樣的解答方法和結果。

由于開放題解題方法和結果的多樣性，不同的學生常常有不同的解題策略，這為“數學交流”提供了很大的“參與空間”。

（6）開放性與封閉性相結合的原則

開放性問題是相對于封閉性問題而言的，因此開放性數學問題與封閉性數學問題應該并存而不是相互排斥。在數學教學中應以一般練習題為基礎，在以一般習題為主體的訓練下引進開放性數學問題，以彌補封閉性練習題的不足之處。

三、課堂教學中數學開放題的設計

開放性數學問題能調動學生學習的積極性，激發學生的學習興趣，拓寬學生數學思維空間，有利于學生創新精神和創造能力以及解決實際問題能力的培養，因此，我們應該改變當前的數學教育強調封閉型題的教學，加強開放型問題的研究，在數學教學中重視開放題的設計，以培養學生的發散性思維和創新思維，激勵學生主動參與到問題解決活動中去，從而提高學生解決問題的能力。

設計數學開放題時，應注意以下幾個問題。

1. 從實際生活中取材

現實生活是數學問題永不枯竭的源泉，特別是學生身邊的實際生活中提出數學問題，可以使學生有一種親切感和解題的欲望。

例如，一位工人師傅在加工時，需要找出一個圓形木板的圓心，請你幫他想出一個能找出圓心位置的方法。

再如，如圖，用兩根鋼索加固直立的電線桿，若要使鋼索AB與AC的長度相等，需添加什么條件？理由是什么？

通過在現實生活中提出問題，可以把數學問題形象化，讓學生了解數學與現實生活的關系是密不可分的，從而激發學生學習數學的興趣，并能使學生在實際生活中注意發現問題，把從課本上學到的知識很好地運用到實際中來。

2. 從教材的例題和習題中改編

在數學課堂教學中，教師可以根據教學的內容，在進行某一知識點的教學后，根據知識點的特征，結合學生的實際情況，有意識、有目的地改造封閉型練習題，設計開放性數學問題。

（1）改變原命題的條件，要求從中探索新的結論

例如：已知正方形 的邊長為1米，將其分為 個相同的三角形，求出每個三角形的面積。

可以將命題設計為：已知有一塊正方形的空地，現要將其分為面積相等、形狀相同的八塊，以便種上八種不同的花草，請問該如何設計？你能設計出幾種不同的方案？

例如：學習了兩個三角形全等的條件后，把書本的練習改為：如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加什么條件可使△ADF≌△CBE

這樣在原命題的已有條件的基礎上，再增減條件，使解題者要選擇部分條件或運用全部條件才能得出結果，使得題目成為開放性問題。

（2）保留原命題的結論，要求尋找得到結論的新條件

對一個封閉性問題，保留其原來的結論，要求學生尋找使其結論成立的各種可能條件，從而得到開放性問題。

例如： 已知一個二次函數的圖象經過 、 、 三點，求這個二次函數的解析式。

將二次函數的圖象經過“點 ”變為“對稱軸為 軸”，問題就變為開放性問題了。

根據教材的封閉型例題、習題改編的開放性問題與原題之間有一定的聯系，又由于改編后的題目解答途徑和結果的多樣性，相比之下，學生對開放性問題更有興趣，而從解決這些開放性問題的過程中，學生也能獲得更多的樂趣，這樣就大大地提高了學生學習的主動性，從而也提高了教學的質量。

3.讓學生主動參與設計

在數學課堂教學中，給出一個問題，讓學生在課堂內或在課后自己動手，設計新的問題，再由學生自己解決問題，或者讓學生相互交換問題進行解決。

例如：要求學生對問題“用一個平面去截正方體，可得到截面的情況如何？”進行思考，再根據自己思考得到的答案設計新的問題，再對問題進行解答或學生之間交換問題進行解答。

這樣，學生就可以根據可得到的截面為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等情況進行設計新的問題，例如：能否截出正三角形、怎么截、可以截出多少個、能否截出菱形、能否截出六邊形、截出的六邊形會有什么樣的特性等各式各樣的問題。此外，學生還可以對截面的面積等問題進行探討。

通過這一有趣的練習，不但可以提高學生學習數學的主動性，培養學生的創造、創新能力，還能激起學生學習數學的積極性，從而大大地提高了教學的質量。

隨著時代的發展，社會的需求，培養創新人才在現代教育中越來越重要。數學開放題的設計在數學課堂教學工作中是一項創造性的工作，它要求我們廣大教師不斷充實和提升自己，并結合學生的實際情況，設計可以真正開發學生創造性思維而又提高學生學習數學的積極性的數學開放性問題。

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