對高中數學中直線與橢圓的交點分析

張峻源

摘要：在高中數學中，直線和橢圓的關系成為高考一個必考的內容，其涉及的內容可深可淺，運算量可以非常簡單，同時也可能很復雜，可以作為選擇題、填空題或是最后的壓軸大題。關于直線和橢圓交點的分析在高中數學教學中占據主導地位，需要學生花大量的時間進行消化和運用。本文主要對橢圓進行簡單的介紹，重點闡述橢圓和直線兩者之間存在的聯系和所涉及的一些基本運算。

關鍵詞：高中數學；直線與橢圓；交點分析；位置關系

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一、橢圓的基本介紹

1.橢圓的定義

平面內的點與兩個定點距離之和等于常數，該常數大于兩定點之間的距離，這樣的常數形成的點的軌跡叫做橢圓。而這兩個定點叫做橢圓的焦點，其之間的距離叫做橢圓的焦距。

2.橢圓的標準方程式

共分兩種情況：當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）； 當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2-c^2=b^2。

3.橢圓的幾何性質

關于橢圓的一些幾何性質，有幾個方面。當焦點在X軸時 -a≤x≤a，-b≤y≤b，當焦點在Y軸時 -b≤x≤b，-a≤y≤a；橢圓的對稱性，其對稱中心其實就是橢圓的中心；橢圓的頂點，就是橢圓對稱軸的四個交點；長軸與短軸，指的就是對稱軸上兩對頂點之間的線段；橢圓的離心率，指的是焦距與長軸之比，記作e，范圍在0和1之間，e越接近于1，橢圓就越扁，反之越圓。

二、直線和橢圓的交點問題

直線和橢圓可以是沒有交點、一個交點或兩個交點，其分別體現的是直線與橢圓的相離、相切和相交。當直線和橢圓相離時，兩者之間沒有交點；當直線和橢圓相切時，存在一個交點，就是切點；當直線和橢圓相交時，會有兩個交點，那么我們如何才能判定直線和橢圓的位置關系呢。

在探索直線和橢圓的位置問題時，主要是靠研究兩者之間的交點個數進行判斷，因此可以用代數的方法聯立方程組求解，從而進行判定。首先，把直線方程和橢圓方程聯立為方程組。其次，消去y或x得到一元二次方程。最后，計算△=b^2-4ac，當△>0，即表示直線和橢圓相交；當△=0，直線和橢圓相離；當△<0，直線和橢圓相離。當然，假如求得y或x有兩個解時，說明有兩個交點；只有一個解時，說明只有一個交點；無解的話，說明相互之間是沒有交點的。主要通過根和系數的關系和求根公式來解決這個問題，學會使用數形結合的方式可以更直觀、更清晰的表達出內容。

三、直線和橢圓交點問題的基本運算

直線和橢圓之間涉及到很多考點，要解決兩者之間的問題無非是要注意這幾個方面：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在；（2）聯立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程；（4）一元二次方程的判別式；（5）韋達定理，同類坐標變換；（6）同點縱橫坐標變換；（7）x，y，k（斜率）的取值范圍；（8）目標：弦長、中點、垂直、角度、向量、面積及范圍等。接下來列舉幾個常見的題型，進而進行分析和解答。

1.求取值范圍的問題

例如，直線和橢圓始終有交點，求橢圓方程中a或b的取值范圍。

一般遇到這種情況，可以先看直線方程，找出其特點，看該直線是否過定點，同時觀察橢圓的定點，初步確定所求變量的取值范圍。該題的解題關鍵是直線和橢圓恒有公共點，從而確定題目的答案。

2.形成幾何面積問題

例如，橢圓方程已知，求兩焦點與橢圓y軸上的一個頂點所形成的面積。

做這種題目時，首先第一件事就是把圖畫出來，把需要的點都標出來。這個題目其實很簡單，因為橢圓的方程式是已知的，就可以知道兩個焦點的坐標，以及四個頂點的坐標，只需要進行簡單的等腰三角形的求和公式的運算就可以得出答案。

3.求最小距離的問題

例如，橢圓方程已知，直線方程已知，求橢圓上是否存在一點到直線的距離最小以及最小距離為多少。

同樣，第一件事是畫圖，將已知的內容全部畫上去。假設存在一點與直線的距離最小，得出距離d的一個方程，與橢圓的方程進行聯立求解，從而得出答案。從這個題目中，我們也可以得出，假如存在一個這樣的點，距離d等于零的話，說明直線與橢圓相切；距離大于零，則說明直線與橢圓相離。假如存在兩個點，距離d都等于零的話，說明直線與橢圓相交。

除此以外，還有其他很多關于直線和橢圓的題型，如橢圓上一點到兩焦點連線的垂直問題、直線被橢圓所截得的弦長問題、求橢圓方程的問題等。但不管怎樣，只要理清楚橢圓和直線所涉及的各個變量的運算方式和相關公式，要解決整個問題就不難，所謂萬變不離其宗，其道理是一樣的。

四、結語

直線和橢圓之間的相關聯系，一直都是高中數學教學中備受關注的，能夠理清兩者之間的交點問題，還是能夠解決大部分的直線和橢圓之間的問題。不管是于直線和橢圓，直線和拋物線和其他曲線的解答思路都是差不多的，無非都是圍繞相交、相切和相離幾個因素轉。因此，同學們應該重視這一方面的學習，不能在自己解決不了的問題面前止步不前，需要有耐心和堅定的信念一直走下去，那時候就會發現，其實并不是想象中的那么難走。

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