工程數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想相融合的實(shí)例探索

劉君

【摘 要】大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革是現(xiàn)代信息發(fā)展的形勢所趨，培養(yǎng)應(yīng)用型人才需從教學(xué)內(nèi)容與方法著手。將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入到工程數(shù)學(xué)的教學(xué)中，可有效提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

【關(guān)鍵詞】工程數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；創(chuàng)新教學(xué)

0 引言

工程數(shù)學(xué)是大學(xué)工科類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，這門課程不僅為學(xué)生解決實(shí)際問題提供了方法，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課程必不可少的基礎(chǔ)課程。廣州城建職業(yè)學(xué)院一直本著為城市建設(shè)培養(yǎng)高素質(zhì)技術(shù)技能人才的辦學(xué)定位，堅(jiān)持應(yīng)用型人才的培養(yǎng)模式。近年以來各大高校都在開展高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模相融合的教學(xué)模式，這已成為應(yīng)用型人才培養(yǎng)下，數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一種有效途徑。

1 學(xué)生數(shù)學(xué)知識能力的初步調(diào)查

為更清楚地了解學(xué)生的應(yīng)用能力，筆者以數(shù)學(xué)應(yīng)用能力測試的方式，對廣州城建職業(yè)學(xué)院建工造價、會計(jì)經(jīng)管等專業(yè)部分學(xué)生進(jìn)行了測試，結(jié)果顯示學(xué)生的數(shù)學(xué)建模正確率在55%～66%之間，平均得分58.98。

從測試結(jié)果來看，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力還有待提高，因各專業(yè)對數(shù)學(xué)要求不同，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度不同。這充分說明高職的數(shù)學(xué)教學(xué)需根據(jù)不同專業(yè)、不同基礎(chǔ)制定相應(yīng)的教學(xué)方式。而通過在《工程數(shù)學(xué)》課程中融入數(shù)學(xué)建模思想，可有效提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2 將數(shù)學(xué)建模思想融入工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本思路

2.1 在工程數(shù)學(xué)的基本概念、定義的教學(xué)時融入建模思想

數(shù)學(xué)來源于生活，因此在教學(xué)中應(yīng)重視從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)概念的抽象過程，引導(dǎo)學(xué)生建立書本知識與實(shí)際問題的聯(lián)系。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，涉及到的模型主要有初等函數(shù)模型、微分方程模型等.微分方程模型是一種比較常見的數(shù)學(xué)模型，涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義，弄清它的意義，對學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決諸如邊際收入、邊際成本、人口增長率、交變電路的電流強(qiáng)度等問題奠定基礎(chǔ)。

案例1導(dǎo)數(shù)的概念引入。

導(dǎo)數(shù)對大部分學(xué)生來說并不陌生，但也只是僅限于中學(xué)時代的淺顯認(rèn)識，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生并不能夠了解到導(dǎo)數(shù)的“變化率”這個物理意義，個人認(rèn)為教師在教學(xué)過程中可采用“系統(tǒng)講授”與“數(shù)學(xué)建模思想”相結(jié)合的方式來進(jìn)行，使學(xué)生更為直觀地認(rèn)識到“變化率”。

1）問題引入

切線的研究是一個經(jīng)典問題，它是導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的問題之一。古希臘人通過對圓的切線的認(rèn)識，將曲線的切線定義為“和曲線只有一個交點(diǎn)的直線”。而近代通過對函數(shù)曲線的研究又進(jìn)一步認(rèn)識到，曲線切線的確定是一個動態(tài)的過程，它是常量數(shù)學(xué)所不能表述和解決的。只有通過變量數(shù)學(xué)研究，才能最終解決曲線的切線問題。

2）導(dǎo)數(shù)的基本概念—變化率

從運(yùn)動和極限的觀點(diǎn)來看，曲線的切線與其相應(yīng)的割線之間有著密切的聯(lián)系，曲線的切線可定義為割線運(yùn)動的極限，即k切=lim（Δy/Δx）=y′。

由上式可知，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作是函數(shù)值隨自變量發(fā)生變化的“速度”，即函數(shù)相對于自變量的變化率.因此在解決有關(guān)“變化率”的實(shí)際問題時，可以利用一階導(dǎo)數(shù)建立微分方程數(shù)學(xué)模型，比如人口增長模型，傳染病的傳播模型、邊際成本、邊際收益等。

2.2 教學(xué)案例既要貼近生活，又需緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容

結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在學(xué)生對導(dǎo)數(shù)有基本認(rèn)識之后，可針對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，設(shè)計(jì)某些實(shí)際應(yīng)用案例，達(dá)到融入數(shù)學(xué)建模思想和方法的目的。

案例2某基地種植青椒，如何合理安排最佳出售時機(jī)，才能使收益最佳？請你由往年市場行情數(shù)據(jù)，試解決如下問題：1）構(gòu)建市場價格與時間的數(shù)學(xué)模型；2）構(gòu)建青椒種植成本與時間的數(shù)學(xué)模型；3）何時出售純收益最佳？

學(xué)生通過進(jìn)行市場調(diào)查、網(wǎng)絡(luò)搜索等方法搜集相關(guān)數(shù)據(jù)（略），并通過數(shù)據(jù)對應(yīng)的離散圖可以看出，種植成本先降后升，符合二次函數(shù)模型；而價格與時間關(guān)系符合分段函數(shù)模型。

教師協(xié)助學(xué)生通過SPSS軟件進(jìn)行回歸擬合，得到成本、售價與時間t的數(shù)學(xué)模型：

種植成本C與時間t的函數(shù)關(guān)系為：Q=（1/200）（t-150）2+100，（0

售價P與時間t的函數(shù)關(guān)系為：P=360-t（0

由上述模型可以看出，種植成本在150天時達(dá)到最小，而售價在200天達(dá)到最低，這是因?yàn)榍?0天種植成本低，使得市場的青椒供過于求而降價。

純收益=收益-成本，故收上述模型，可建立關(guān)于純收益的數(shù)學(xué)模型：

L=P-（1/200）（210-P）2-100（0

L=P-（1/200）（30+P/2）2-100（200

本案例從實(shí)際生活出發(fā)，數(shù)據(jù)由學(xué)生分組調(diào)查收集，使得問題變得更為靈活，學(xué)生查到的數(shù)據(jù)不同，所建立的模型也會有所不同，這無形之中增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，讓學(xué)生真實(shí)體會到數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

2.3 深層探討相關(guān)專題模型

在學(xué)生對導(dǎo)數(shù)基本概念有一定了解的基礎(chǔ)之上，可對相關(guān)“變化率”的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步深入推廣，如成本函數(shù)、收益函數(shù)等系列變化率模型，使學(xué)生能夠更深層次地了解到邊際成本、邊際收益即為自變量增加一個單位時，相應(yīng)的函數(shù)值增加量，亦即函數(shù)隨自變量發(fā)生變化的速度。而針對建工專業(yè)可介紹并深入探討有關(guān)人口增長率的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生能夠更深層次地認(rèn)識到函數(shù)變化率的用途。

案例3 關(guān)于人口增長的數(shù)學(xué)模型。

馬氏模型的特點(diǎn)是設(shè)定人口的年增長率為常數(shù)r。若人口總數(shù)為時間t的函數(shù)x（t），則由函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，人口數(shù)量函數(shù)x（t）的一階導(dǎo)數(shù)，就是人口數(shù)量一年的增長量rx（t），即x′（t）=rx（t），解得x（t）=x0er（t-t0）。

從該模型可以看出，在年增長率為常數(shù)不變的情況下，人口數(shù)量確實(shí)是以指數(shù)增長的。

1961年世界人口總數(shù)約為3.06*109，而在此之前10年的人口增長率大約為2%，如果用1961年的人口數(shù)據(jù)，通過上述表達(dá)式，計(jì)算可得x（t）=3.06*109e0.02（t-1961）。

上述模型能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測和反映1700-1961年間的世界人口數(shù)量。但當(dāng)時間跨度較大時，誤差就會比較大，如t=2510時，x=2*1014（2萬億），說明該模型對長期人口預(yù)測是不準(zhǔn)確的，應(yīng)當(dāng)給予修正。馬氏模型之所以在預(yù)測長期人口總數(shù)時出現(xiàn)錯誤，其原因主要還是實(shí)際人口增長率并不是常數(shù)，它會隨著人口的增加而逐漸減少，那么應(yīng)該如何進(jìn)一步改進(jìn)呢？

若環(huán)境人口的最大容量為xm，而人口增長率改為r=r*（1-x（t）/xm），即可得到經(jīng)典的阻滯型人口增長數(shù)學(xué)模型x′（t）=r（1-x（t）/xm）x（t），x（t0）=x0，解得：x（t）=xm/[1+（xm/x0-1）e-r（t-t0）]。

20世紀(jì)初專家們曾用該模型預(yù)測了美國的人口總數(shù)量，而計(jì)算結(jié)果與1930年之前的美國人口數(shù)據(jù)基本相吻合，但后來的誤差越來越大，那么該模型該如何改進(jìn)？留給學(xué)生課后思考。

3 結(jié)束語

廣州城建職業(yè)學(xué)院在數(shù)學(xué)建模競賽的推動下，工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革也有了較大的進(jìn)展，而把數(shù)學(xué)建模思想融入到工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)之中，也是一種推動數(shù)學(xué)教學(xué)改革的有效途徑，達(dá)到以賽促教，競賽與教學(xué)相輔相成，從而能夠使教學(xué)改革取得較好的成效。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊啟帆，邊馥萍.數(shù)學(xué)建模[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，1990.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[責(zé)任編輯：田吉捷]