高中平面向量的特點(diǎn)及解決平面向量的綜合問題分析

程德明

【摘要】長時(shí)間以來國內(nèi)外對數(shù)學(xué)教學(xué)的研究從未間斷，將向量引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)非常重要的體現(xiàn)。向量及向量的算法在以前的高中數(shù)學(xué)課本中主要是在復(fù)數(shù)中教授，正余弦定律則是通過平面三角幾何教授，平面兩點(diǎn)之間的距離、平移等則是在綜合幾何中教授，而新教材則是將這些內(nèi)容全部都融合在一起，使用向量的觀點(diǎn)來解決問題，這樣一來完全改變了以前教材的編制體系?；诖?，本文主要對高中平面向量的特點(diǎn)及解決平面向量的綜合問題進(jìn)行了分析。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 平面向量 問題分析

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）29-0177-01

使用向量的定義來處理數(shù)學(xué)問題，因?yàn)橄蛄烤哂写鷶?shù)形式和幾何形式的兩種身份，這便是使得它成為了多項(xiàng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的連接中心。所有在高中數(shù)學(xué)教材中引進(jìn)向量已經(jīng)勢在必行，而且向量的應(yīng)用在很多方面都引起了數(shù)學(xué)專家的思考。改革后的數(shù)學(xué)課程以簡潔為主，簡化教學(xué)內(nèi)容，提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率，加強(qiáng)數(shù)學(xué)各部分之間的聯(lián)系和知識的綜合應(yīng)用，將幾何、代數(shù)等教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行綜合編制。將向量引入到高中數(shù)學(xué)教材中，增強(qiáng)了各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，使得高中的數(shù)學(xué)知識和大學(xué)的數(shù)學(xué)知識銜接更為緊密了。

1 平面向量的學(xué)習(xí)內(nèi)容和特點(diǎn)

1.1 平面向量的定義

在二維平面內(nèi)能同時(shí)體現(xiàn)方向和大小的量為平面向量，在物理學(xué)科中將這種量稱之為矢量，將只有大小而沒有方面的物理量稱之為標(biāo)量，也就是數(shù)量。平面向量的表示方式一般是在英文字母a，b，c上面添加一個(gè)箭頭，這種表示方式不但可以表示向量有向線段的起點(diǎn)，還能表示有向線段的終點(diǎn)。由此可以引出一些新的概念，例如平行向量、有向線段、單位向量等名詞。對于平面向量的學(xué)習(xí)應(yīng)該從物理學(xué)的立場出發(fā)，通過物理學(xué)中的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來形成一個(gè)物理問題情景。

1.2 平面向量的基本定律

規(guī)定 是同一平面內(nèi)兩條不共線的向量，那么這個(gè)平面內(nèi)任意向量則為 ，而且只有一對有效實(shí)數(shù) ，那么任意向量的計(jì)算公式則為 。我們將 稱之為這個(gè)平面中所有向量的基底。

1.3 平面向量的特點(diǎn)

基礎(chǔ)知識是向量的基本特點(diǎn)，同時(shí)它也是一種方法和工具相結(jié)合的數(shù)學(xué)知識。向量的運(yùn)算體系非常具有優(yōu)勢，它所提供的坐標(biāo)法、向量法等都成為了研究高中數(shù)學(xué)的主要手段。向量的運(yùn)算體系解決了幾何中長度、角度的計(jì)算，線段平行、垂直的證明，正余弦定律的導(dǎo)出。這些例子都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想。

向量中“數(shù)”和“形”同時(shí)都有，是數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的媒介。在介紹向量概念的時(shí)候，教材中使用了幾何圖形，而在解答幾何問題時(shí)，又使用了向量知識，這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的理論思想。

幾何代數(shù)化、形式化除了可以使用函數(shù)，還可以通過向量的方式。向量是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念，同時(shí)它也是聯(lián)系代數(shù)、三角、幾何的工具。新高中數(shù)學(xué)教材引入向量，充分體現(xiàn)了新課程理念。它的引入將幾何與代數(shù)的關(guān)系變得更加緊密了，維度之間的過渡顯得十分順暢。向量是一種數(shù)學(xué)知識，更是一種解決數(shù)學(xué)問題的方法。

向量的概念是從生活實(shí)踐中引出來的，而且它也是解決工程技術(shù)和物理學(xué)等問題的主要工具。教材中十分看中理論與實(shí)際的結(jié)合，尤其是應(yīng)用，比如物理學(xué)中通過位移、加速度、速度等概念引入了向量的概念，又從物體做功引入了向量數(shù)量積的概念。對于向量應(yīng)用的例子生活中隨處可以，例如速度的分解與合成、工程技術(shù)中的曲柄連桿結(jié)構(gòu)問題等。課本每章都安排了實(shí)習(xí)作業(yè)，最引人注意的是，教材在向量這章結(jié)束的時(shí)候還安排了一個(gè)研究性作業(yè)——向量在物理學(xué)中應(yīng)用，然后利用數(shù)學(xué)模型來解釋生活中出現(xiàn)的與向量有關(guān)的物理問題。

2 解答平面向量的綜合問題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，平面向量一般會和其他內(nèi)容聯(lián)系起來，這種問題在考試中經(jīng)常會遇到。若是學(xué)生對平面向量概念的理解不透徹，或是沒有搞明白與其聯(lián)系的內(nèi)容，在做題過程中很容易陷入困境。數(shù)學(xué)中平面向量一般與以下幾個(gè)方面的內(nèi)容綜合使用。

2.1 平面向量與平面解析幾何的綜合

平面向量自身就具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，所以將平面向量和解析幾何聯(lián)系起來也非常常見，學(xué)生也經(jīng)常在考試過程中遇到此類綜合性的題目。學(xué)生在遇到這類問題時(shí)，要使用數(shù)形結(jié)合的思想解題，這樣的話在綜合問題上才不會陷入困境，比如已知在平面直角坐標(biāo)系上有兩個(gè)點(diǎn)，計(jì)算這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。解這個(gè)問題的關(guān)鍵在于求解一個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)對應(yīng)平面向量的長度。又或者對一條線段進(jìn)行分析，求解線段中按照比例分段點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)平面向量的性質(zhì)，求出線段與分段點(diǎn)之間的坐標(biāo)，對這兩個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可。需要注意的是，在計(jì)算平面向量乘積的時(shí)候，必須要考慮到向量之間的夾角。在平面幾何計(jì)算中，一般都是使用這個(gè)方法，解答相對應(yīng)的問題。

2.2 平面向量和三角函數(shù)的綜合

以直角三角形為基礎(chǔ)形成的新函數(shù)是三角函數(shù)，其中主要包含余弦函數(shù)、正切函數(shù)、正弦函數(shù)等，三角函數(shù)一般用來計(jì)算平面向量的數(shù)量積問題。例如兩個(gè)平面向量的乘積，是由兩個(gè)向量的大小和它們之間角度的余弦值相乘而求得。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生總是會遇到這個(gè)利用平面向量解決三角函數(shù)的題目。再例如使用平面向量的運(yùn)算方式將平面向量問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)問題，以此來分析三角函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)。有些數(shù)學(xué)題目，學(xué)校需要使用三角函數(shù)的概念來解決三角形問題，這時(shí)也可以利用平面向量的概念，對正余弦定律巧妙使用，對邊角進(jìn)行互換，解決與三角形面積、角度、長度的問題。解決平面向量和三角函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵是學(xué)生必須明確向量數(shù)量積和三角函數(shù)知識之間的聯(lián)系。

2.3 平面向量和函數(shù)的綜合

在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會遇到函數(shù)圖象平移題目，例如指數(shù)函數(shù)中線段的平移。學(xué)習(xí)平面向量其實(shí)就是在學(xué)習(xí)點(diǎn)平移的向量，所以在遇到這個(gè)函數(shù)圖象平移問題時(shí)，可以將其看作是平面向量中的點(diǎn)進(jìn)行平移。再例如已知X與Y之間的關(guān)系，求出函數(shù)中X或Y的最大值和最小值。解答這類問題可以將Z看作平面向量，然后對其計(jì)算，利用函數(shù)之間的聯(lián)系簡化運(yùn)算式，最后分析題目中X和Y在什么情況下函數(shù)值最小或是最大，進(jìn)而的出計(jì)算結(jié)果。學(xué)生在遇到平面向量和函數(shù)的綜合性題目時(shí)，學(xué)生一定要學(xué)會在平面向量特點(diǎn)的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化成為函數(shù)式。

3 結(jié)束語

總而言之，平面向量知識在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系在一起，這是由于平面向量自身的特點(diǎn)。平面向量具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，可以解決與解析幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)題目。

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