高中數學教學視野中問題與思維的關系探究

侯軍

[摘 要] 高中數學教學中關注問題，要從其促進學生思維發展的角度進行. 問題與思維的關系，需要在這種研究的過程中才能凸顯出來，從而為教師實現更好的教學服務. 有效地切入研究，可以從教師在教學設計中預設的問題以及學生提出的問題兩個角度來進行.

[關鍵詞] 高中數學；問題；思維

問題，歷來是數學教學研究中的一個熱點話題，因為有效的問題能夠打開學生的思維，可以讓學生迅速地進入高效學習的狀態. 相信這樣的判斷每一個數學教師都能夠接受.但可以肯定的是，只建立這樣的認識，并不能讓我們的課堂變得高效，因為這樣的因果關系界定，還只是一種基于表面的描述，也就是說盡管我們知道有效的問題可以實現高效的教學，但并不知道問題是如何撬動學生的思維的，因而這也就是一個知其然不知其所以然的關系. 這樣的認知顯然對于教學來說，只具有經驗的積累作用，不具有用理論推進實踐的作用. 反之，如果能夠理清問題與思維之間的關系，那就可以讓教師在設計問題、提出問題的時候多一些智慧的成分，從而讓師生之間能夠基于問題進行更好的對話. 由于有了這樣的認識，筆者對高中數學教學中問題與思維的關系進行了探究，也取得了一些新的認識. 在此借助本文，與同行們分享，并請同行專家們提出寶貴的批評意見.

[?] 教師的問題設計，要考慮思維因素

實際的數學課堂上，問題可以說是頻頻出現的. 這其中既有教師預設的問題，也有課堂上臨時產生的問題，通常情況下，預設的問題往往都是關系到課堂結構或者是知識結構的問題，對于課堂來說具有提綱挈領的作用.而對于一些相對較小的問題，往往都是為了讓課堂的過渡更為順利而提出的. 這些問題中，真正從思維角度去研究的，其實并不多見（當然，客觀上對學生的思維也會有促進作用）. 筆者的觀點是，問題的提出，還是要考慮其中的思維因素的.

我們可以來看一個教學案例：在“對數函數及其性質”的教學中，有教師為了吸引學生的注意力，借助于馬王堆千年女尸不腐之謎，創設了一個二百多字的圖文并茂的情境（用幻燈片向學生呈現），并就其中的辛追為什么保存了兩千多年這個細節而提出問題：科學家是怎么知道辛追已經距今兩千多年的？在教師明確了這個問題與數學有關之后，該教師又引導學生從碳14的殘留量與時間之間存在的對數關系，讓學生認識本課要學習的主題. 這樣的案例當中，教師所創設的情境可謂是新穎的，而對數函數的關系也是明確的，但效果如何呢？相信有一定教學經驗的教師一定可以意識到這個情境以及所提出的問題，其實對于學生的思維來說并不具有明顯的促進作用，甚至于對于不少學生而言，這個作用可能還是負面的. 具體分析如下：

其一，情境所用的素材，不利于學生將注意力集中到問題本身. 縱觀這一教學環節，可以發現教師在題材的選擇上是花了時間的，問題在于這個題材本身對于學生來說就是極為新奇的. 而這又意味著什么呢？意味著學生在接觸到這個題材的時候，學生的注意力會集中在素材本身上，反而忽視了其中的那個“與數學有關的問題”，因此激發學生思維的前提本身就是不成立的. 事實上，利用碳14的殘留量來給出對數函數的關系，其實也是有問題的，因為對于高中的學生而言，他們在數學學習中的邏輯思維是很重要的，而很多學生恰恰是因為在對碳14衰變規律不理解的情況下，對教師所提出的問題給予了有意無意的忽視，因為學生的注意力還集中到素材本身呢.

其二，問題本身亦不具有促進思維的作用. 再分析教師提出的問題本身：科學家是怎么知道辛追已經距今兩千多年的？（包括教師所提醒的“這個問題與數學有關”）問題是否與數學有關，應當讓學生自己去體驗，而這本身就是開發學生思維的有效途徑. 但這個問題并不具有這樣的功效，因為對于年代的判斷途徑是多樣的，學生不可能想到其與對數函數有關. 而這原本應當是問題設計時最應當考慮的問題，即情境呈現之后提出的問題如何更好地與研究的問題相關.

基于以上的分析，筆者在教學中沒有過于重視素材本身的選擇，而只是讓學生做了一個簡單的體驗活動，就是將一張練習本上的紙進行數次對半撕. 學生很顯然可以體會其中由1變成2，由2變成4，由4變成8等這樣的過程，對于這個過程，提出的問題也很簡單：如果給你一個對半撕的數值，你能否求出撕了多少次？

這個問題與學生體驗的過程密切相關，即使是體驗，學生的注意力也不會過多地集中在體驗本身，因為撕紙畢竟是日常生活中的常見行為. 也因為滿足了這一條件，學生的注意力可以更好地集中在問題本身. 而提出的問題中，對于已知與未知的關系并未給出，但數學要素即變量與函數卻是齊全的，因而學生的思維可以迅速集中到其中的對應關系上，而這不正是對數函數教學所追求的嗎？因此，筆者以為這樣的問題設計是基于學生思維同時又是能夠開發學生思維的，是真正的以問題策動學生思維的過程.

[?] 學生提出的問題，要研究思維脈絡

在數學教學中，還常常會面臨著學生所提出的問題. 通常情況下，教師對于學生提出的問題往往是直接予以回答，對于其中的一些簡單的問題，教師的態度則常常是一種批判的態度：怎么還會問出這樣簡單的問題？即使在課程改革強調了尊重學生之后，教師所表現出來的“理性態度”，實際上也不能掩蓋對學生問題的一種失望或者是批評. 筆者以為，這種基于直覺而對學生的問題所作出的判斷，往往是經驗性的，且不是從學生思維角度出發的. 要知道，在高中數學課堂上，學生所提出的問題其實都是很寶貴的，都是有研究價值的. 而研究的角度，自然就是學生思維的邏輯規律，說得通俗一點，就是學生為什么會問出這樣的問題.

在“橢圓”這一知識的教學中，筆者曾經遇到了學生提出這樣的問題：橢圓的定義是從“兩個固定點”與“距離”兩個角度進行的，為什么它要這么定義呢？這確實是一個約定俗成的問題，筆者第一反應是告訴學生：這是數學發展過程中優化選擇的結果，其很簡單且又能體現橢圓的特征，因此特別適合作為高中階段學習橢圓的定義. 但事后感覺這樣的解釋實際上過于蒼白，然后筆者就思考學生怎么會如此提問. 在與學生進行了交流之后，筆者才知道了學生的所思所想，也才發現其中竟然包含著一個寶貴的教學契機.

原來，學生在學習橢圓的過程中帶著一點突發奇想的意思：橢圓定義是以“兩固定點”為參照的，如果把這個條件改一下，會不會得到其他曲線呢？當時學生想到的變化有將兩固定點改為“一個固定點與一條直線”以及“兩條直線”. 但是他們怕這樣直接問出問題，會引發教師的批評，因此才以上一個問題作為鋪墊. 但筆者當時并不知道學生的這一思考過程，因而給予的回答根本就解決不了學生的疑問. 在了解了學生的這一思路之后，筆者立即意識到這一問題具有很大的價值：第一，學生將對橢圓的定義的理解進行拓展；第二，這樣的拓展意味著學生認識到了對于不同的曲線的定義，是可以從點、線、面的角度來考慮的；第三，基于學生的問題，可以引導全班學生參與討論，以發現其對所學過的數學知識的包容作用，與對后面需要新學的知識的啟發作用.

果然，當筆者將這一問題呈現給全班學生時，學生非常感興趣. 其實，學生產生興趣幾乎是必然的，因為從學習心理的角度來看，這兩個學生提出的問題實際上是一種變式思想的體現，其最容易打破學生的認知平衡，因而自然就會激發學生的興趣. 而在回答這一問題的過程中，學生的思維受開放性問題的刺激，顯得十分活躍，這客觀上證明了學生的思維也得到了培養. 而反觀這一段過程，其實就是因為筆者注意到了學生的思維脈絡且及時地把握住了.

[?] 有效的問題互動，促進思維的碰撞

從提出問題者的角度來看，有學生、教師之分，而從問題的回答來看，其實并沒有截然的師生差距. 尤其是在高中數學課堂上，問題可以讓師生、生生之間有效地互動，從而實現思維的碰撞.

仔細地分析數學課堂上的每一個問題，尤其是能夠讓學生更好地構建數學知識的問題，可以發現其中的思維含量是十分充足的. 這種思維含量主要體現在學生構建知識的過程中，不需要教師太多的講解，甚至還有學生自覺拒絕教師的灌輸，因為他們大腦中構建出來的數學概念，已經能夠很好地概括數學本質. 而教師的作用，往往更多地體現在學生最迫切需要的地方，如難點的突破，數學語言的最終組織等. 像這樣的教學過程，應當說就是有效教學的充分體現.

總之，高中數學教學從問題開始，研究其與思維的關系以及如何以問題促進學生的思維，是促進學生數學智慧發展，生成有效課堂的關鍵，需要數學同行們在實踐過程中不斷地嘗試、創新.