借助直觀模型，理解算理

張敏桃

摘 要 《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出要培養學生的運算能力。借助直觀模型幫助學生理解乘法分配率在乘法豎式中的運用過程，培養學生多向思維、優化和轉化思想、數形結合思想。

關鍵詞 計算方法 直觀模型 數學思想

1背景與問題

運算能力是學生學習數學的一種基本技能，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也明確指出要培養學生的運算能力。“兩位數乘兩位數的筆算乘法（不進位）”屬于“數與代數”這一領域中“數的運算”這個板塊，三年級上學期學生學習了多位數乘一位數的筆算乘法，下學期在此基礎上繼續學習口算乘法及兩位數乘兩位數的筆算乘法，按道理來說，學生隨著年齡的增長，對理解抽象知識和遷移能力應該也越來越強，老師估計學生對于“兩位數乘兩位數的筆算乘法（不進位）”這個知識點的掌握情況應該比較樂觀，但在實際的教學中，學生的知識反饋并非如我們想象那么好，這引發了我對計算教學中建立“直觀模型”必要性的思考。

2事例與點評

前幾天，同年級組的同事和我一起“同課異構”上了三年級下冊“兩位數乘兩位數的筆算乘法（不進位）”，基于她對本教學內容的理解和本班學生的能力考量，她覺得放手讓學生自主學習，學生能通過自學知道“兩位數乘兩位數（不進位）的筆算方法”，并且會計算，這樣新課知識點就解決了。為此，她設計了自學提綱讓班上學生在課前完成（如下圖）。

從學生完成的自學提綱來看，學生基本都完成得比較好，課堂上小組交流后匯報計算方法，感覺學生也已經掌握了“兩位數乘兩位數（不進位）的筆算乘法”的計算法則和方法。但再深入提出問題及在做練習的時候，我發現學生出現了以下的問題：

① “豎式中各數所表示的是什么？”只有一部分同學知道，一部分同學“知其然而不之所以然”。

② 課本練習十中的第一題雖然會算，但不會說發現了什么？（如下圖1）

③ 做練習時計算十位的時候有的學生把乘的順序位置調轉了（如上圖2）。

看似簡單的一節課，學生存在的問題真不少。不難發現，課前，教師過高估計了自己學生的學習能力，輕視了操作探究和用圖示表征解釋算法在計算教學的作用。平常不少教師也覺得計算教學沒有什么可講，學生在課堂上探索計算過程會花較多的時間，于是省去了課本提供的“點子圖”的有效利用，只是試圖通過口算與豎式的溝通，直接讓學生把舊知識轉化為新知來理解算理、掌握算法，這種缺乏以操作輔助形象理解、不使用“直觀模型”的教學是不符合三年級小學生的認知規律的。

3分析與研究

心理學家認為，小學是學生運算能力形成的最重要的階段。運算能力不僅包括會算和算正確，還包括對于運算的本身要有理解，這樣才有助于尋求合理、簡潔的運算途經解決問題。學生只有經歷實踐活動，才能在算法和算理上達到平衡，才有利于學生的思維發展。我們不能只追求計算方法，而忽略學生的真正理解。在新課程標準指導下，我們更有必要為學生提供便于觀察、轉化的直觀模型，引導學生把抽象的算理具體化、形象化，幫助學生在溝通轉化中掌握算法，才能有效提高學生的運算能力。

3.1充分發揮點子圖的作用，“花”時間讓學生開展探究活動

讓學生經歷知識的形成過程，是新課程倡導的重要改革理念之一。教科書是重要的課程資源，是供教學利用和加工的資源，我們要合理配置和有效利用，才能改善數學課堂教學。

全體學生都在探索、交流中體會不同的解題策略，為學習豎式計算做準備。課本提供給我們的思維方法只有兩種（如下圖），但在這樣的實踐交流活動中，學生呈現的計算方法很多，給學生體驗了解決問題算法的多樣化，這樣也為后續四年級學習的知識“簡便運算”提供了學習的基礎。學生通過運用舊知識解決新問題，得到了14€？2=168的正確答案，教學中滲透了“轉化”的數學思想，而學生在點子圖留下的思維痕跡，將更好地理解豎式計算中的各數意義。

3.2溝通“算法”與“算理”

算法是計算的方法，是解決“怎么算？”的問題，算理是計算過程中的道理，是解決“為什么這樣算？”的問題，算法是顯性的，算理是隱性的。學生在交流14€？2的多種算法時，我引導學生對不同計算方法的點子圖進行比較、歸納和分類，得出口算的解決方法是：分-乘、分-乘-合。大部分學生覺得分-乘-合這種方法計算起來比較方便，學生優化的思想得以滲透，而這種計算算理恰恰就是“乘法分配率”，就是兩位數乘兩位數筆算方法的算理。算理的理解輔以了圖形的支撐，點子圖這個直觀模型成為了學生理解算理的橋梁，數形結合的思想也蘊含其中。

對于前面遇到的問題，第①和第③學生很容易就通過探究活動的點子圖找到答案，而第②個問題，繼續可以通過前面圈畫點子圖的方法讓學生探究發現：兩個兩位數相乘，把這兩個兩位數分別拆成幾十和幾，把兩個幾十和幾分別相乘，再交叉相乘，最后把4個積相加，就得到這兩個兩位數相乘的積（如下圖）。通過這樣的對比、探究，學生更加明白兩位數乘兩位數乘法豎式的寫法，第一層的“66”是怎樣來的，第二層“220”又是怎么來的，省略了的“0”跟前面學習除法豎式一樣，可以更加美觀，這節課的重、難點都解決了。

4引申與思考

一節兩位數乘兩位數（不進位）乘法豎式計算的教學，借助直觀模型幫助學生理解乘法分配率在乘法豎式中的運用過程，通過圖形與符號的溝通與轉化，給予學生充足時間的探究、討論、總結，使學生充分理解“兩位數乘兩位數的筆算”算理。在這看似簡單的教學行為上，培養了學生的多向思維、優化和轉化思想、數形結合思想。教師在平常的教學過程中，要“舍”才會有“得”，舍得花時間組織學生多動手操作，讓學生經歷用圖示表征解釋算法的過程，學生的思維空間才會得到拓展，這也將成為學生運算能力發展的重要基石。