高中數學教學“直覺思維”的培養策略分析

周繼宗

[摘 要] “直覺思維”看似是最簡單的思維方式，其實不簡單，看上去取決于智力，其實可以培養. 雖然在進行問題分析和解決過程中僅僅是瞬間的光芒，卻是學生思維長期積累的必然和升華，是學生多元化思維過程高度簡化的產物，在學生數學學習和數學問題的解決過程中往往需要這種靈光一現.

[關鍵詞] 直覺思維；高中數學；知識網絡；思維

什么是直覺思維？對于高中數學學科而言如何培養和發展學生的直覺思維？這是我們每個高中數學教師應該要重點考慮的話題. 研究表明，直覺思維是學生對數學問題、數學現象等思維對象從整體上觀察、思考，在這一過程中學生調動了己有的全部知識和經驗，在大腦中與豐富的表象進行匹配，最后做出的敏銳且迅速的判斷. 說其敏銳且迅速是因為這一過程省去了諸多分析與推理的環節，這是一種“跳躍式”思維形式，雖然判斷的結果可能與正確的結果有一定的出入，但是卻已經觸及到了事物或數學事件的“本質”，由此出發就會有所創新. 理論研究和實驗表明，有效地培養學生的直覺思維有助于提高學生的創新思維能力. 那么，如何培養與提升學生的直覺思維呢？本文就該話題談幾點筆者的思考.

重視雙基教學，促進知識網絡搭建

數學知識是成塊且具有系統性的，要想學生有靈光一現必須要有豐富且完整的知識. 直覺并非依賴于機遇、奇緣，扎實的學科基礎才能產生直覺，即使是具有的偶然性頓悟，也必定不是無緣無故的憑空臆想，依賴于扎實的數學知識作為直覺思維發展的基礎. 我們在教學過程中要善于引導學生從知識網絡結構出發，尤其關注處于網絡結構“結點”位置的重、難點知識，通過知識網絡的構建讓知識在學生的頭腦中形成有序的、不易混亂的結構.

例如，我們在和學生一起學習立體幾何時，對于開篇之作“空間幾何體”的學習就需要引導學生搭建有序的知識網絡，而知識網絡的結點就是柱、錐、臺和球體，這些簡單的幾何體是構成復雜幾何體的本源. 為了引導學生構建清晰的知識網絡，我們可以采用概念圖的方式.

首先將“空間幾何體”的學習分為三個組塊：①結構；②三視圖和直觀圖；③表面積和體積. 每個組塊可視作為一個結點，由此出發在每個組塊上再進行細分，逐步向外發散. 例如，“結構”這個組塊可以構建如圖1所示的概念圖.

？搖要想學生的直覺思維能夠得到有效的培養，我們在雙基教學的過程中一定不能急、快，尤其是數學概念教學. 概念是反映事物本質屬性的思維形式，數學概念具有高度抽象的特點. 每一個數學概念在數學知識體系中都占有一定的地位，與其他概念之間存在著必然的聯系，學生對數學概念的獲得往往是通過自己的觀察、感知、體驗、抽象和概括等過程. 將新的概念與已有的認知結構中的相關概念建立聯系，這一整個過程都離不開學生直覺思維的參與. 我們在教學過程中適當地放緩節奏，讓學生的直覺思維伴隨著其認知的發展而發展.

強化引導與點撥，鼓勵多角度思考與猜測

為什么有些學生思維靈活，遇到問題靈感來得特別快，而有些學生的靈感來得就有些慢呢？其根本原因就在于學生的思維視角的維度和廣度存在著差異，如何培養和克服呢？

學習過程中，尤其是學生在解決一個較難的數學問題的過程中，不可避免地會碰壁. 遇到困難，這很正常，因為學生處于知識學習和方法積累的進程中，所以會因知識的缺陷或方法的偏差導致問題一時無法解決或出現暫時性困難，怎么辦？筆者認為，這個時候恰恰是我們教師教學的契機，應該在此時給學生足夠多的鼓勵，引導學生從多個視角對學習過程中遇到的困難進行猜想. 當然，猜想也不是漫無邊際地瞎猜，要有數學味，可以從結構、形式、特征、方法等角度入手. 猜想的過程是已有知識、經驗進行組合、調用的過程，是將眼前的數學問題與前面類似問題進行比較和歸納尋求新突破的過程.

例如，三角恒等變換中有這樣一道習題：求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）.

學生在這章節學習了較多的三角公式，但是這道題從表面上看與學生在本章節習得的任意一個三角公式都沒有直接的關聯，這恰恰是這道題的難點所在.學生感覺無從下手，怎么辦？為了提高學生的思維品質，筆者認為，此時必須給予適當的引導，讓學生嘗試著分析題目的表面結構，將思維的觸角伸向三角恒等變換的公式上去，因為只要學生能夠有意識地將前面的括號打開并變化得到（1+tan1°）（1+tan2°）=（tan1°+tan2°+1+tan1°·tan2°），大多數學生就可以由此發散并聯想到這個表達式與正切的兩角和公式tan（α+β）=有相似之處. 只要學生進一步將該分式變為整式就可以了，這是解決這道習題的新進展. 但是隨之而來的難點又出現了，即新角度3°怎么辦？學生有了前面解決問題的基礎，自然會嘗試著去打開相乘的括號，問題是選擇哪兩個相乘的括號呢？在這樣的問題引領下，學生探究的方向會變得明確，最終找到正確的解決問題的辦法. 這樣不僅僅解決了問題，得到了答案，在這個過程中學生得到更多的是情感體驗和能力提升.

從學生思維發展的要求來看，為了有效地促進學生直覺思維能力的發展，教師應該在學生發現問題和解決問題的過程中給予盡可能多的引導，讓學生有更多的機會去猜測正確的答案，分析和檢驗自己的猜想.

主動變式訓練，提升學生思維的深度與廣度

直覺思維依賴于平時學生的積累，當然還需要學生的思維有一定的深度與廣度，除了要注重基礎知識和方法的訓練外，筆者認為我們在平時的教學過程中，還應該密切注意學生的動態. 正如上文所述，在學生遇到問題的時給予適當的提示和幫助. 當然，也可以采用變式訓練的方式，讓學生的思維先繞出去，然后再繞回來，實現原有知識經驗與現有問題的解題方法能夠有效地銜接.

例如，求（1）sin1110°，（2）sin1290°，同時想一想兩者之間是否存在著一定的聯系.

這個題目，對于學生而言難么？如果我們仔細觀察學生的解答，我們不難發現，學生剛開始是可以完成部分解答的，能很順利地完成如下步驟：

（1）sin1110°=sin（30°+3×360°）=sin30°=；

（2）sin1290°=sin（210°+3×360°）=sin210°.

接下來“分析和認識這兩者間存在的聯系”，很多學生出現了困難，說明學生在學習過程中思維的深度不夠，怎么辦？為了促進學生的思維能夠有序發展，增加思維的廣度與深度，可以采用如下的變式訓練：

變式1：210°用30°如何表示？

變式2：210°角與30°角的終邊有怎樣的關系？

變式3：210°角與30°角的終邊交單位圓于兩點A1，A2，請分析這兩點有著怎樣的關系；設A1（x，y），求A2的坐標.

學生通過這三個變式的思考，對問題的研究逐漸深入，最后也很自然地得到了“sin30°與sin210°互為相反數”的結論，對于原問題“sin1110°與sin1290°之間的關系”也就自然找到了.

找到了兩者之間的關系，這個問題是解決了，但這并非是學生思維的終點，筆者認為我們還應該由此發散出去，近一步追問，將學生的思維引向更深處.

追問：如果對于任意角α呢，情況怎樣？sinα與sin（180°+α）有著怎樣的關系呢？借助于這些問題，引導學生通過遷移、類比、推理等一系列過程就很自然地將思維向前推進，并取得良好的教學效果，學生從特殊到一般推得誘導公式，有足夠的情感體驗，記憶會更加深刻、有效.

總之，學生直覺思維的培養并非一朝一夕，除了正常的教學上的知識和能力的指導外，我們教師還應重點引導學生形成自我反思和提問的意識. 培養學生的直覺思維要從基礎的數學知識、能力和思維練起，遵循循序漸進的原則，不能拔苗助長. 對學生思維能力提升目標的制定也要遵循由低到高的原則，要在學生的能力范圍之內，還要幫助學生制定學習內容和具體可行的學習步驟，包括怎樣科學地安排訓練時間，怎樣選擇有效的學習數學的方法與措施等，使學習目標成為一種可操作和可實現的程序設計. 當然，我們還要注意到學生的數學學習和解題中對學生直覺思維也有多方面的影響，尤其是要引導學生對解題的過程要有反思與自我監控意識. 數學的學習不是一蹴而就的，思維培養的過程也不是一帆風順的. 學習和思維培養的過程中，學生難免會遇到挫折，這時要指導學生學會正確地歸因，引導學生把數學學習中的不良結果首先歸因于自身努力程度和自信心等內部因素，培養學好數學的自信心.