滲透優化思想，把握核心目標

李凌云

摘 要：《烙餅問題》屬于人教版小學數學四年級上冊《數學廣角》中的內容，主要讓學生能夠感受、經歷到優化思想運用的有效性，有效培養學生應用數學知識解決實際問題的意志力與能力。通過圍繞優化的思想進行，在進行數學教學的時候一定要以學習的方式作為主線，研究怎樣才能夠得出正確的方式，進而展開教學。

關鍵詞：研究方法；實施過程；研究緣起

一、研究緣起

《烙餅問題》屬于人教版小學數學四年級上冊《數學廣角》中的內容，這節課我們早在2009年就做過專門的研究，時隔幾年，再來審視自己的理解和以前的教學，幾點疑惑再度清晰地閃現：（1）本課的核心目標是優化思想的滲透，還是規律的發現、模型的建立與應用？（2）以前的教學，老師最終都引導學生去發現一個不具有普適性的計算規律，烙餅時間=每面的時間×餅的張數，最后應用這個規律解決一些實際問題；不知這個規律的價值何在？這個規律會不會對學生的學習產生負遷移？諸多的困惑事實上都指向于目標定位與價值取向，于是我們再次仔細翻閱了教材和教參，發現實驗稿與修訂版居然在單元的命名上就有了較大的差異：實驗稿稱之為“數學廣角”，而修訂稿稱之為“數學廣角——優化”，為何要增加“優化”一詞？何為“優化”？

二、研究方法的提出

為解此疑惑，我首先把這個問題拋給了我們教研組的老師：你認為《烙餅問題》的教學目標是什么？教學的重點應該放在哪里？組內共15位教師，其中只有包括我在內的4位教師認為教學的重點應該是優化，而11位教師認為優化思想固然重要，但規律的探究及時間的計算也應該是本課的一個重點，因為本課時還應該承載“提升學生解題能力”這一目標。雙方各執己見，通過實踐看結果當然是最有說服力的。于是我們分成不同的兩組進行實施研究，研究流程如下：

第一步，了解學生起點，對兩個實驗班級進行前測。

第二步，用不同的教學設計對兩班實施教學（目標定位是有顯著差異的：一個班以優化思想統領全課，自始至終圍繞策略優化展開教學；另一個班“優化思想的滲透”和“規律的發現應用”這兩個目標并重。）。

第三步，對兩個班級進行后測，對比前測，對數據進行整理和分析。

三、研究的實施過程

（一）在前測中了解學生基礎

前測我們放了三道題，前兩題是關于復印時間計算，學生明白一次復印一張還是兩張，就清楚復印的總時間。第3題是關于“烙餅”的，是想了解學生對生活中統籌安排的理解及烙餅問題的認知程度等情況，以便于調整課堂教學，更好地為教學服務。三道題目如下：

1.要復印12份試卷，雙面復印，每復印一面要1分鐘，一次只能復印一張。共要復印多少分鐘？

2.上面的題，如果每次能復印兩張，這些試卷共要復印多少分鐘？

3.張阿姨烤面包。每次可以烤兩個面包，每個面包要烤兩面，每烤一面2分鐘?？?個面包要幾分？烤3個、4個呢？（請畫圖說明）

經過統計發現，前兩題學生理解得還不錯，知道要計算總共的時間，只要計算復印的次數，再乘以每次復印的時間就可以了。所以做對的人數比較多。最后一題是想看看學生對烙餅問題到底有什么樣的基礎。翻閱作業發現，不知道“優化”的，烙3個、4個餅的時間一樣，都是8分鐘，甚至有同學是一個一個烙的。通過訪談知道，第3題做對的學生基本上是課外或家長教過的。從對的作業中可以看出：會畫圖的，說明他有優化意識，知道“烙餅”的策略。當然也有部分同學圖畫錯的，時間計算對的，說明他只記住了計算公式，沒有很好地弄懂“優化”的真正含義。

兩個班中能夠正確地畫圖理解的不多，不是圖畫錯，就是時間算錯，最根本的原因是不知道“優化”。大部分同學都是用“每面烙的時間×烙餅張數=總時間”來計算的，尤其是406班，這樣的情況我們有理由相信：406班在課外輔導班學習的人比較多，而這些人又沒有很好地理解其中的算理。所以我們要懷疑：用算式解答正確的學生對算式的含義理解嗎？這種公式的套用對學習烙餅問題有多大的幫助呢？于是我們帶著疑問和好奇，開始進入本次實驗。

（二）在不同目標引領下實施不同的教學

根據兩個班前測的數據分析和其他各種因素綜合考慮，決定確定不同的教學目標在兩個班里采取不同的教學方法實施教學，希望達到預期的教學目標。

方案A教學目標：

1.通過簡單事例，使學生初步體會優化思想在解決問題中的應用，形成尋找解決問題最優化方案的意識，并嘗試尋找解決問題的最優化方案。

2.通過觀察、操作、比較、討論、思考等活動，尋找規律，建立起烙餅問題的模型，并推廣應用，解決生活中的實際問題。

方案B教學目標：

1.通過操作，使學生初步體會優化思想在解決問題中的應用，提高學生解決問題的能力。

2.認識到解決問題的策略的多樣性，初步形成尋找解決問題最優化方案的意識。嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，體會學習數學的樂趣。

方案A、B：1～7個餅的學習路徑

1.激趣導入

課件呈現主題圖，揭示課題。

2.自主探索，研究烙法

①探究2張餅的最優烙法。熟悉烙1張餅的時間；研究2張餅的最優烙法。

②動手操作，探究3張餅的最優烙法。

讓學生說出不同的烙法，找到最優的方法，同桌合作，體驗烙法。（輪流烙）。

【充分體會、思考優化的策略一：滿鍋】

③繼續探究，研究規律。按4個餅、5個餅、6～7個餅的順序進行探究。（思考最省時方案，畫圖記錄，交流，記錄餅數、時間列成表格）

【比較輪流烙與分組烙。優化策略二：時間相同，選易操作的，體會輪流烙是不得已之舉】

方案A的后續操作：

1.找到規律，解決問題

①從第2張餅開始，每次增加一張餅，時間就加3分鐘。②餅的數量×每面所需時間=最少時間。③當烙餅的張數是雙數時，2張2張的烙；當烙餅的張數是單數時，先2張2張地烙，最后3張按最優烙法烙。

2.鞏固應用，深化理解

嘗試：平底鍋上煎魚，每次能同時煎2條魚，兩面都要煎，每面需要4分鐘?，F在要煎5條魚，至少需要多少分鐘？（可以畫圖或分組）

3.總結收獲，反思體驗

要求烙餅時間，可以先分組（或畫圖），再計算。我們找到了烙餅問題的最優方案，這就是數學中的優化思想。

方案B的后續操作：

觀察找到規律，解決問題

從第2張餅開始，每次增加一張餅，時間就加3分鐘；烙一面的時間×烙餅個數=烙餅總時間。

解決實際問題：平底鍋煎蛋，一個鍋一次最多能煎3個蛋，煎一個蛋要2分鐘（正反面各1分鐘），煎6個蛋至少要幾分鐘？【出現一次能煎3個蛋的。引發認知沖突：這樣的公式在什么時候使用？】

總結收獲，反思體驗

今天我們學習了烙餅問題，在解決有關烙餅問題的時候，要根據實際情況來選擇合適的方法。

（三）課后檢測，收集數據，對比分析

1.課后檢測，數據整理

實踐后安排了（如下）四道題作為后測，前面兩題是烙餅的基礎題，目的是了解學生通過這節課的學習，對烙餅問題的最基本的優化思想的理解、掌握情況。后面兩題稍作變形（一次能烙3張餅、4張餅的），看看學生的統籌優化思想是否能在后續學習中應用等。用兩種不同思路上課后，學生到底會更傾向于哪種？效果如何等等。

根據后測情況，我們對兩個班的正確率和應用情況作了統計，結果如下：

從統計結果看，在一只鍋里同時烙兩張餅的情況學生理解得不錯，有的用算式，有的畫圖，有的用字母表示，優化策略的理解應用在這里很好地體現。后面兩題的結果不是很理想，雖然他們也分組或畫圖了，但畫對的不多。說明優化的思想還沒有真正理解。

像第三題，叔叔煎小黃魚。每條小黃魚要煎兩面，每面要煎3分鐘，一次能煎3條。煎9條小黃魚共幾分鐘？（請你用分一分或畫一畫的方法表示）

406班解題分化出了兩種不同的思路：一部分用了套用公式的方法，對比這些同學的前后測發現主要是課前學過的占了很高比例；一部分同學雖然沒有畫圖，但他知道總共要烙的次數，用（3，3，3）進行分組，所以計算總時間就沒有障礙了。第四題由于一鍋可煎4條魚，10條魚怎么輪流煎心里沒底，所以畫圖也無法表示清楚，最后2條魚煎2次，分組也用（4，4，2）來表示了，當然煎的次數就多。407班還有人圖畫對了，時間計算卻用計算公式了，說明計算公式對他的印象太深了。

2.比照前測，理性分析

為了進一步弄清楚學生對這一內容的學習情況，了解他們的思維歷程，對兩個班的前后測進行分析對比（406班36人，407班45人），結果如下：

我們分析學生的前后測，對比發現：

①“優化”策略還沒有完全理解。一次烙兩個餅的，通過畫圖、字母或分組等，理解起來還可以，會優化。但是碰到一次烙3個、4個餅的，就沒有“優化”的意識，或是還不知道如何優化。

②課前培訓的負遷移。406班學生因為課前學習的計算公式已經“深入人心”，前測對后測錯的學生遠遠超過407班，說明思維定式一時無法打破，培訓班所帶來的負遷移作用，在這里體現得非常突出。

從統計數據來看，兩個班的差異并不明顯，這樣的數據不一定能說明兩種教學思路的優劣，但不管怎么說，406班的學生會考慮如何進行分組優化，套用公式計算的要比407班少，說明406班同學用優化策略思考問題的能力要優于407班。

四、實踐后的感悟

如何在“烙餅問題”教學中凸顯優化這一數學思想？我們認為可以從以下幾個方面入手。

（一）逐步抽象，優化教學思想

學生從動手操作，到動手記錄、用腦思考，由經歷到經驗并抽象，思維在不斷地提升。上面兩節課中的烙餅，從開始的圖片（烙餅）到用圓片代替烙餅→用“1正”“1反”畫圖來記錄烙餅過程→用數字2、3來表示分組烙餅→再到用數字記錄，[如，7（2，2，3）]。一步一步，從具體到抽象，清晰的優化痕跡，層層遞進的優化方法，不斷地在學生頭腦中滲透著優化意識，為學生探究烙餅的最佳方法及計算最少時間提供了支撐。

（二）層層比較，探索教學本質

學生通過不斷地比較，把活動經驗內化、概括，得到方法。烙1個餅、2個餅的時間一樣時，經歷第一次比較，知道只有讓鍋不空著，才會節省時間；3個餅有不同烙法時，經歷第二次比較，烙3次還是4次，只有每次滿鍋時，時間最??；4個餅的不同烙法，時間是一樣時，此時經歷第三次比較，哪種烙法更符合生活實際，操作更方便；烙6個餅時，形成了（3，3）與（2，2，2）兩種觀點，時間是一樣的，于是學生經歷了第四次比較，在比較中達成共識，強化“時間相同的情況下，我們應該選擇操作更為方便的”……這里學生經歷了四個層次比較，通過層層比較，逐步觸摸到了本課教學的本質，明白了優化的內涵：時間上要尋求優化，烙法操作上要尋求優化，優化意識貫穿了課的始終。

通過這一次的實踐，對比了同一班級前測與后測、不同班級的前測、不同班級的后測，并對這些材料和數據進行了科學的分析，從中得到了很大啟示，實踐徹底顛覆了我們的原有認識，走出了教學的誤區，原來的教學過程中我們忽視了數學教學最為本質的東西——數學思想。今天我們對這一問題有了較為深刻的認識，參與研究的老師形成了一種共識：《烙餅問題》一課教學的核心目標應該是優化意識的滲透，引導學生在解決問題的過程中嘗試選擇較為優化的策略，是我們在教學過程中需要牢牢抓住的主線。

參考文獻：

[1]段麗莎.小學數學教材“解決問題”集中編排的比較研究[D].杭州師范大學，2013.

[2]祝玉蘭.中、小學數學“情境—問題”教學策略研究[D].貴州師范大學，2004.

編輯 溫雪蓮