高等數(shù)學(xué)中的幾種思維方法

周金城

摘 要：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是掌握現(xiàn)成的公式、定理，更重要的是掌握科學(xué)的思維方法。本文探討了如何運用多種教學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中努力培養(yǎng)大學(xué)生的思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；思維方法；培養(yǎng)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）01-247-01

數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力和解決實際問題的能力。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要掌握數(shù)學(xué)知識、技能和能力，而且要掌握數(shù)學(xué)思維的方法，促進思維的發(fā)展。“高等數(shù)學(xué)”是高等教育中的一門重要基礎(chǔ)理論課，對學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要作用，“高等數(shù)學(xué)”所傳播的基本概念與方法、蘊涵的數(shù)學(xué)思想以及由數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)起來的思維能力和素養(yǎng)，將會使學(xué)生終生受益。筆者結(jié)合教學(xué)實踐，總結(jié)了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾種重要的思維方法。

一、歸納思維

歸納是數(shù)學(xué)里一種基本的、重要的思維方法。著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。”歸納思維就是從眾多的事物中找出共性和本質(zhì)的東西的抽象化思維。從數(shù)學(xué)的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則的形成，都經(jīng)歷過積累經(jīng)驗的過程，從大量觀察、計算，然后歸納出其共性和本質(zhì)的東西。在高等數(shù)學(xué)中，許多重要結(jié)果的得出，都用到了歸納思維。例如：求某一函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導(dǎo)數(shù)，再歸納出 階導(dǎo)數(shù)的表達式。又各類多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歸納出連鎖法則，進而知道隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)，再進一步延伸到空間曲線切線、法平面的求法。教師在講解上述這些內(nèi)容時，不但要使學(xué)生掌握歸納方法的要點、本質(zhì)，更要使學(xué)生樹立起歸納的意識，并使他們認(rèn)識到它在創(chuàng)新能力中的作用與價值，使學(xué)生能在學(xué)習(xí)和工作中能有意識的去運用，這樣有利于對學(xué)生創(chuàng)造思維的培養(yǎng)。教學(xué)中，首先教師要以身作則，要在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)給予學(xué)生以示范，其次再要求學(xué)生去運用，去掌握。

二、發(fā)散思維

我們過去的教學(xué)較側(cè)重學(xué)生接受和記憶書本知識，也就是較注意培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維。

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，我們在教學(xué)中更要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。發(fā)散性思維是不依常規(guī)，尋求變異，對給出的材料，信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑去分析和解決問題的一種思維方式。 發(fā)散思維是一種重要的創(chuàng)造性思維，具有流暢性、多端性、靈活性、新穎性和精細性等特點。思維的多向性是發(fā)散性思維的本質(zhì)特征，主要表現(xiàn)就是多方向、多角度和多層次地對已知的信息進行分析思考，汲取和重組信息，從而使思維不恪守常規(guī)，善于開拓、變異并提出新問題。尋求問題解答采用多種途徑進行，這種思維方式對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維具有更直接和更現(xiàn)實的意義。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維時，一題多解、一題多變是非常有效的方法。

在教學(xué)中應(yīng)盡可能采用“發(fā)散性”提問，如“對某一問題的解法或思路你想到了哪些可能性？”，“還有什么不同的想法？”，或改變設(shè)問方式，增強問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，使學(xué)生產(chǎn)生和提出盡可能多，盡可能新、盡可能是前所未有和獨創(chuàng)的想法、解法，見解和可能性。實踐表明，通過啟發(fā)設(shè)問的方式對數(shù)學(xué)問題的開放發(fā)散的探索，有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。

三、類比思維

類比是根據(jù)兩個或兩類的對象間有部分屬性相同，而推出它們某種屬性也相同的推理形式，被稱為最有創(chuàng)造性的一種思想方法。如一元和多元微積分、各類級數(shù)與廣義積分、各類微分方程法求解等等都具有很豐富的類比性。又比如，在高等數(shù)學(xué)中可把羅爾中值定理和拉格朗日中值定理進行類比，將兩個中值定理的條件、結(jié)論、幾何意義相互類比，然后再說明各自所處的地位、環(huán)境及應(yīng)用，這樣就能取得比較好的教學(xué)效果。除了數(shù)學(xué)之外教學(xué)當(dāng)中還可以延伸講類比思維在其他學(xué)科中的應(yīng)用的例子。以仿生學(xué)為例，仿生學(xué)是用"生物機制"作類比。看見到燕子飛翔，人們就想到設(shè)計滑翔機和飛機；看到魚在水中的游，人們就想到潛艇、魚雷的制造。這種思想包括類比一聯(lián)想一預(yù)見的步驟，而數(shù)學(xué)的每一個概念、結(jié)論的深入，也是按著這個步驟展開的。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)重視將類比方法引進教學(xué)與學(xué)習(xí)活動，使學(xué)習(xí)活動更加具體化。實踐證明，在學(xué)習(xí)過程中，將新內(nèi)容與自己已經(jīng)熟悉的知識進行類比，不但易于接受、理解掌握新知識，更重要的是培養(yǎng)和鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。

四、逆向思維

逆向思維（又稱反向思維）是相對于習(xí)慣性思維的另一種思維形式，它的一個重要特點就是從事物的反面去思考問題，對開闊思路、解決某些難題往往能起到積極的作用。因此，教帥在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的反向思維。在高等數(shù)學(xué)中，有不少內(nèi)容可培養(yǎng)學(xué)生的反向思維。在高等數(shù)學(xué)教材中，一些輔助函數(shù)和幾何圖形、定積分和不定積分的關(guān)系、命題的逆否命題、反證法等等中無處不體現(xiàn)反向思維。若教師駕馭這種思想，不但能提高自己的教學(xué)水平，同時也能擴展學(xué)生的思維能力。例如，求解微分方程 ，若將 視為自變量， 視為未知函數(shù)，求解此方程就困難，因為它既不是可分離變量的微分方程，也不是齊次微分方程，也不是全微分方程。但是如果利用逆向思維，即反過來將 視為未知函數(shù)， 視為自變量，它就是未知函數(shù) 的線性微分方程，從而很容易求出其通解。

五、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識

數(shù)學(xué)教育要教給學(xué)生的不能只單純的數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)該努力培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識。所謂用數(shù)學(xué)的意識，就是指用數(shù)學(xué)知識的心理傾向性。它包含兩方面的意義：一方面當(dāng)主體面臨有待解決的問題時.能主動嘗試用數(shù)學(xué)的立場、觀點和方法尋求解決問題的策略；另一方面，當(dāng)主體接受一個新的數(shù)學(xué)理論時，能主動地探索這一新知識的來來龍去脈和實用價值，充分發(fā)展學(xué)生主體意識的作用，其中數(shù)學(xué)思維將起到直接或潛移默化的作用。這就需要教師在教學(xué)中努力使學(xué)生樹立數(shù)學(xué)觀念和悟性。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生的素質(zhì)得以提高。

參考文獻：

[1]黃光榮.數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)與問題解決[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，20、（2）

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.