例談數學類比教學的處理藝術

任善龍

摘要：九年級數學《相似形》的第五節相似三角形的性質的教學，以筆者的經驗，通過聯系三角形全等的性質來類比教學，更能讓學生接受。本文就針對于此展開論述。

關鍵詞：數學教學；類比教學；教學感受

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0099

九年級數學《相似形》的第五節相似三角形的性質的教學，以筆者的經驗，通過聯系三角形全等的性質來類比教學，更能讓學生接受。

全等三角形的性質：對應邊相等、對應角相等，從而推出：全等三角形的對應高、對應中線、對應角平分線分別相等。

這就是說：“全等”對應著“相等”，而相似三角形的性質顯然有：對應邊成比例、對應角相等。能否類似地推出：對應高、對應中線、對應角平分線分別成比例。也就是說：“相似”對應著“邊成比例”。讓學生自覺閱讀后掌握此性質，這就達到了預期的效果。

全等三角形的對應高相等，證明方法有兩種：1.利用對應角相等、對應邊相等，再用AAS可證；2.利用面積相等、對應邊相等也可證得對應高相等。而相似三角形的對應高成比例的證明，只利用了對應角相等來證，僅此一法。而這正是突出了利用兩個角對應相等的兩個三角形相似的判定方法。

至于利用對應高成比例來說明邊角廢料的充分利用，在教材中更為重要，在全等三角形對應高相等的應用知識可看以下探究過程：

根據相似三角形的定義，我們已經學習了相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。

下面我們研究相似三角形的其他性質（見圖）。

建議讓學生類比“全等三角形的對應高、對應中線、對應角平分線相等”來得出性質定理1。

性質定理1：相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分的比都等于相似比

∵△ABC∽△A′B′C′

AB⊥BC，A′D′⊥B′C′

■=■=K

教師啟發學生自己寫出“已知、求證”，然后教師分析證題思路，這里需要指出的是在尋找判定兩三角形相似所欠缺的條件時，是根據相似三角形的性質得到的，這種綜合運用相似三角形判定與性質的思維方法要向學生講清楚，而證明過程可由學生自己完成。

分析示意圖：結論→∽（欠缺條件）→∽（已知）

△ABC∽△A′B′C′

BM=MC，B′M′⊥M′C′

■=■=K

∴△ABC∽△A′B′C′

∴∠1=∠2，∠3=∠4

■=■=K

以上兩種情況的證明可由學生完成。

應用：如圖，A、C、B、D在同一直線上，AC=BD，AM=CN，BM=DN，求證：MN∥AD。

證明分析：若MN∥AD，則MN上的點到AD上的距離都相等，現在反過來，MN上的兩點到AD的距離相等時，MN是否與AD平行？

過M、N分別作AD的垂線段MP、NQ易證：△AMB≌△CND（SSS），故MP=NQ.∴四邊形MNQP是矩形（易證），∴MN∥PQ，故MN∥AD。

相似三角形性質的應用主要運用在以下幾個方面：

一、證明比例式和乘積式

例如：例1. △ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE。

解析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF∶FE=BC∶AC，再利用相似三角形或平行線性質進行證明：

證明：過D點作DK∥AB，交BC于K，

∵DK∥AB，∴DF∶FE=BK∶BE

又∵AD=BE，∴DF∶FE=BK∶AD，而BK∶AD=BC∶AC

即DF：FE= BC：AC，∴DF·AC=BC·FE

例2. 已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點，DM⊥BC于點E，交BA的延長線于點D。

求證：（1）MA2=MD·ME；

（2）■=■

證明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中點，∴MA=MC，∠1=∠C，

（上接第99頁）

∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B，∴∠1=∠D，

∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴■=■，∴MA2=MD·ME，

（2）∵△MAE∽△MDA，∴■=■，■=■，

∴■=■·■=■

評注：命題1 如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC。

命題2 如圖，如果AB2=AD·AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

二、證明兩角相等、兩線平行和線段相等

例3. 已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且■=■=■。

求證：∠AEF=∠FBD

分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關鍵是構造相似三角形。

證明：作FG⊥BD，垂足為G。設AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=3■k∵∠ADB=45°，∠FGD=90°∴∠DFG=45°∴DG=FG=■∴BG=3■k-■k=2■k∴■=■=■

又∠A=∠FGB=90°∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD

例4. 已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD。

分析：要證明AF∥CD，已知條件中有平行的條件，因而有許多比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實，要證明AF∥CD，只要證明■=■即可，因此只要找出與這四條線段相關的比例式再稍加處理即可成功。

證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴■=■，■=■∴兩式相乘可得：■=■

例5. 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求證：FC=FG。

分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關的比例線段，圖中與FC、FG相關的比例式較多，則應選擇與FC、FG都有聯系的比作為過渡，最終必須得到■=■（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。

證明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF 則有■=■而FC∥DE ∴△AED∽△AFC

則有■=■∴又■=■=■∵BE=DE（正方形的邊長相等）∴■=■，即GF=CF。

總之，通過類比教學，可以讓學生更易理解和掌握數學新知，達到事半功倍的效果。因此，教師在課堂教學中要靈活地運用類比法進行教學。

（作者單位：江西省贛州市南康區第六中學 341000）