高中平面解析幾何學(xué)習(xí)實(shí)踐與探索

梁爽

摘要：平面解析幾何通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，或用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題。難度的提高，使得高中生在解析幾何的學(xué)習(xí)上有一定困難。通過(guò)對(duì)直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程四方面進(jìn)行實(shí)踐探索來(lái)使我們高中生更容易學(xué)習(xí)解析幾何。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 解析幾何 實(shí)踐探索

一、直線和向量的學(xué)習(xí)實(shí)踐與分析

（一）直線和向量的相關(guān)定義

直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線，這是幾何原本對(duì)直線的定義。直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。傾斜角，一般地，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線向上的方向與X軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角。在數(shù)學(xué)中，幾何向量（也稱為歐幾里得向量，通常簡(jiǎn)稱向量、矢量），指具有大小和方向的量。向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。

（二）直線和向量的例題實(shí)踐分析

例題1：知四面體SABC的所有棱長(zhǎng)均為a。求：（1）異面直線SC、AB的公垂線段EF及EF的長(zhǎng)；（2）異面直線EF和SA所成的角。

例題1分析：對(duì)這道例題來(lái)說(shuō)，我們學(xué)生要想輕松解答，就需要掌握異面直線的定義，先根據(jù)異面直線的公垂線的概念求做異面直線SC、AB的公垂線段，進(jìn)而求出其距離；對(duì)于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解。

例題2：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)。

例題2分析：由于過(guò)點(diǎn)B與a平行的直線是惟一存在的，因此，本題就是要證明，在平面外，不存在過(guò)B與a平行的直線，這是否定性命題，所以使用反證法。

二、圓的學(xué)習(xí)實(shí)踐與分析

（一）圓的相關(guān)定義

（1）在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，點(diǎn)O為圓心，線段OA為半徑；

（2）圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

（3）圓既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則點(diǎn)在圓外d>r，點(diǎn)在圓上d=r，點(diǎn)在圓內(nèi)d

（4）與圓有關(guān)的概念。弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分。（分優(yōu)弧和劣弧）弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧；弦心距：圓心到弦的距離；圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角；圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角。

（二）圓的例題實(shí)踐分析

例題：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P為BC的中點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以2㎝/s的速度運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作圓。設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s。

⑴當(dāng)t=1、2時(shí)，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值。

例題分析：解答該題的第一步就是進(jìn)行作圖，根據(jù)題中已知的信息作圖。最后再根據(jù)所圖形，進(jìn)行問(wèn)題的進(jìn)一步分析，結(jié)合前一課所學(xué)的直線知識(shí)，找出AB與⊙P的位置關(guān)系。第二小問(wèn)，根據(jù)外接圓的定義，結(jié)合實(shí)際圖形，列出公式求解公示。

三、圓錐曲線的學(xué)習(xí)實(shí)踐與分析

（一）圓錐曲線的相關(guān)定義

平面上到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離與到定直線（準(zhǔn)線）的距離為定值（離心率e）的點(diǎn)的集合。而根據(jù)e的大小分為橢圓，拋物線，雙曲線。圓可看作e為0的曲線。

（1）e=1為拋物線，直角坐標(biāo)系中標(biāo)準(zhǔn)方程為：y^2=2px，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)（p/2，0），準(zhǔn)線x=-p/2，x^2=2py，對(duì)稱軸為y軸，焦點(diǎn)，（0，p/2）準(zhǔn)線y=-p/2光學(xué)性質(zhì)：任意平行對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物線反射必過(guò)焦點(diǎn)（或反向延長(zhǎng)線過(guò)焦點(diǎn)）

（2）1

（二）圓錐曲線的例題實(shí)踐與分析

例題：拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在拋物線上。

（1）寫(xiě)出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程

（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾角互補(bǔ)時(shí)，求y1、y2的值及直線AB的斜率。

例題分析：這道題對(duì)我們高中生有一定難度，但是只要能夠真正記憶并理解拋物線的定義與推論，根據(jù)已知信息做出曲線，并在曲線的正確位置點(diǎn)上點(diǎn)。結(jié)合圖形寫(xiě)出曲線的方程式。

四、坐標(biāo)系與參數(shù)方程的學(xué)習(xí)實(shí)踐與分析

參數(shù)方程的相關(guān)定義：

坐標(biāo)系與參數(shù)方程：①坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)。坐標(biāo)系中可以用有序?qū)崝?shù)組確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而用方程刻畫(huà)幾何圖形。為便于用代數(shù)的方法刻畫(huà)幾何圖形或描述自然現(xiàn)象，需要建立不同的坐標(biāo)系。極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等是與直角坐標(biāo)系不同的坐標(biāo)系，對(duì)于有些幾何圖形，選用這些坐標(biāo)系可以使建立的方程更加簡(jiǎn)單。②參數(shù)方程是以參變量為中介來(lái)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式。某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便。

五、高中數(shù)學(xué)平面解析幾何學(xué)習(xí)方法探究

（一）鍛煉自己的抽象思維能力

高中數(shù)學(xué)中，平面解析幾何是其中代數(shù)知識(shí)中的方程知識(shí)點(diǎn)與平面幾何知識(shí)的結(jié)合。在處理很多解析幾何的問(wèn)題時(shí)，都要根據(jù)已知條件或方程來(lái)進(jìn)行作圖。而這個(gè)作圖的過(guò)程，就要求我們要有一定的抽象思維能力。而抽象思維能力的提升，需要平時(shí)進(jìn)行有針對(duì)性的專項(xiàng)練習(xí)。如多進(jìn)行一些立體幾何內(nèi)容中的作圖習(xí)題練習(xí)，在進(jìn)行這些習(xí)題作圖時(shí)，注意自己在作圖時(shí)容易出現(xiàn)的理解方向上的錯(cuò)誤。善于總結(jié)自己在幾何作圖方面相對(duì)薄弱的環(huán)節(jié)，對(duì)自己經(jīng)常進(jìn)入的作圖思維誤區(qū)去積極的請(qǐng)教老師同學(xué)，及時(shí)矯正自己在作圖思維模式方面的錯(cuò)誤。

（二）培養(yǎng)自己積極的學(xué)習(xí)態(tài)度

首先就要端正自己的學(xué)習(xí)態(tài)度。在老師講解解析幾何概念類知識(shí)點(diǎn)時(shí)，認(rèn)真聽(tīng)講做好記錄。獨(dú)立做題過(guò)程中遇到不理解的問(wèn)題時(shí)，及時(shí)請(qǐng)教老師或同學(xué)，不要不懂裝懂。在老師要求進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的討論時(shí)，積極的發(fā)表自己的意見(jiàn)，碰到其他同學(xué)向自己請(qǐng)教問(wèn)題時(shí)，耐心的為其講解自己的理解角度和解題思路，在幫助別人時(shí)，自己也能獲得知識(shí)點(diǎn)的鞏固練習(xí)。

（三）養(yǎng)成自己良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

要想有好的學(xué)習(xí)解析幾何的方法和理解角度，首先就要養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在老師講解解析幾何各種圖形的概念或定義時(shí)，認(rèn)真做好筆記，對(duì)老師進(jìn)行強(qiáng)調(diào)說(shuō)明的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行著重標(biāo)注，方便私下的強(qiáng)化記憶和復(fù)習(xí)。在老師進(jìn)行解題演示時(shí)，注意理解和總結(jié)老師的解題思路，同時(shí)對(duì)不太理解的部分積極的請(qǐng)教老師。在自己獨(dú)立解答問(wèn)題出現(xiàn)思路誤區(qū)時(shí)，要及時(shí)的調(diào)整心態(tài)。善于總結(jié)自己的出現(xiàn)過(guò)的解題思路錯(cuò)誤，并在接下來(lái)進(jìn)行有針對(duì)性的專項(xiàng)練習(xí)，保證徹底掌握正確的解題思路。

參考文獻(xiàn)：

[1]牛偉強(qiáng)，熊斌.高中數(shù)學(xué)課堂中探究性學(xué)習(xí)的困惑與思考[J].教學(xué)與管理，2016，（28）：55-57.

[2]陳慧.淺談高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難問(wèn)題及解決對(duì)策[J].現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)信息，2014，（04）：366.