數學史上的三次數學危機的成因分析

雷玲玲

330001 南昌市洪城學校 江西南昌

【摘 要】①公元前580～568年之間，希帕索斯發現了第一個無理數，促使了第一次數學危機的發生。而后，在幾何學中引進了不可通約量，使歐式幾何變得更加完善。②大約在公元前450年，萊布尼茨提出“無窮小量是零還是非零”促使了第二次數學危機的發生。而后，柯西提出極限理論，使微積分更完善。③十九世紀下半葉，羅素悖論的提出，促使了第三次數學危機的發生。而后，弗芝克爾改進策梅羅的七條公理得出ZF公理系統，使得集合論得到了發展。

【關鍵詞】危機；無理數；無窮小；羅素悖論

數學，絕對不是只有加、減、乘、除那樣簡單的運算而已。它是一個早從“石器時代”就開始發展的一段歷史，是一個演變和提升的過程。悖論歷史悠久，它的出現，本來并沒有引起人們的重視，可是由于19世紀末20世紀初，在集合論中出現了3個著名的悖論，引起了當時數學界、邏輯學界以至于哲學界的震驚，觸發了數學史上的第三次危機，才引起了現代數學界和邏輯學界的極大注意。本文試圖對悖論的定義、成因以及由于數學悖論引起的數學史上的三次危機作以簡要分析。

1第一次數學危機及成因

1.1危機介紹

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸于學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。

1.2危機成因分析

畢達哥拉斯學派主張“數”是萬物的本原、始基，而宇宙中一切現象都可歸結為整數或整數之比。公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的成員希帕索斯（470B.C.前后）發現：等腰直角三角形斜邊與一直角邊是不可公度的，它們的比不能歸結為整數或整數之比。這一發現不僅嚴重觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，同時也沖擊了當時希臘人的普遍見解，因此在當時它就直接導致了認識上的“危機”。希帕索斯的這一發現，史稱“希帕索斯悖論”，從而觸發了數學史上的第一次危機。

2第二次數學危機及成因

2.1第二次危機介紹

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。

2.2危機成因分析

第二次數學危機的產物——分析基礎理論的嚴密化與集合論的創立。“貝克萊悖論”提出以后，許多著名數學家從各種不同的角度進行研究、探索，試圖把微積分重新建立在可靠的基礎之上。法國數學家柯西是數學分析的集大成者，通過《分析教程》（1821）、《無窮小計算講義》（1823）、《無窮小計算在幾何中的應用》（1826）這幾部著作，柯西建立起以極限為基礎的現代微積分體系。但柯西的體系仍有尚待改進之處。比如：他關于極限的語言尚顯模糊，依靠了運動、幾何直觀的東西；缺乏實數理論。法國數學家魏爾斯特拉斯是數學分析基礎的主要奠基者之一，他改進了波爾查諾、阿貝爾、柯西的方法，首次用“e—d”方法敘述了微積分中一系列重要概念如極限、連續、導數和積分等，建立了該學科的嚴格體系。“e—d”方法的提出和應用于微積分，標志著微積分算術化的完成。為了建立極限理論的基本定理，不少數學家開始給出無理數的嚴格定義。1860年，魏爾斯特拉斯提出用遞增有界數列來定義無理數；1872年，戴德金提出用分割來定義無理數；1883年，康托爾提出用基本序列來定義無理數；等等。這些定義，從不同的側面深刻揭示了無理數的本質，從而建立了嚴格的實數理論，徹底消除了希帕索斯悖論，把極限理論建立在嚴格的實數理論的基礎上，并進而導致集合論的誕生。

3第三次數學危機及成因

3.1危機介紹

第三次數學危機發生在1902年。羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有R R.一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。

3.2危機成因分析

第三次數學危機的產物——數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。為了解決第三次數學危機，數學家們作了不同的努力。由于他們解決問題的出發點不同，所遵循的途徑不同，所以在本世紀初就形成了不同的數學哲學流派，這就是以羅素為首的邏輯主義學派、以布勞威爾（1881—1966）為首的直覺主義學派和以希爾伯特為首的形式主義學派。這三大學派的形成與發展，把數學基礎理論研究推向了一個新的階段。三大學派的數學成果首先表現在數理邏輯學科的形成和它的現代分支——證明論等——的形成上。為了排除集合論悖論，羅素提出了類型論，策梅羅提出了第一個集合論公理系統，后經弗倫克爾加以修改和補充，得到常用的策梅羅——弗倫克爾集合論公理體系，以后又經伯奈斯和哥德爾進一步改進和簡化，得到伯奈斯——哥德爾集合論公理體系。希爾伯特還建立了元數學。作為對集合論悖論研究的直接成果是哥德爾不完全性定理。

時至今日，第三次數學危機還不能說已從根本上消除了，因為數學基礎和數理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標逐漸接近。可以預料，在這個過程中還將產生許多新的重要成果。

4結論

發現和提出悖論并加以研究，對于數學基礎、邏輯學和哲學都有重要意義。正如塔斯基所指出的：“必須強調的是，悖論在建立現代演繹科學的基礎上占有一個特別重要的地位。正如集合論的悖論，特別是羅素悖論成為邏輯和數學相容性形式化的起點一樣，撒謊者悖論及其語義學悖論導致了理論語義學的發展。”

參考文獻：

[1]解恩澤，徐本順 編.數學思想方法[M].濟南：山東教育出版社，1995

[2]劉永振 編.科技思想方法的歷史沿革[M].濟南：山東教育出版社，1992

[3]趙樹智 編.潛數學思想方法[M].濟南：山東教育出版社，1994

[4]趙振威 編.數學發現導論[M].合肥：安徽教育出版社，1993