淺析求解向量題目常用的妙招

王子睿

摘要：向量題目是試卷中必定出現的題目，直接解答向量題目，往往找不到入手點，可以從幾何與代數兩個角度，將其進行轉化，就可以輕松解答。從代數角度來講，可以將向量問題實數化，從而運用數的性質加以處理；從幾何角度來講，向量問題可以運用數形結合思想加以處理。文中，介紹了求解向量題目常用的妙招，以求能夠更好地解決向量問題。

關鍵詞：向量題目；高中數學；妙招

向量，就是指既有大小又有方向的量，它的本質解釋了向量具有“數”和“形”的雙重身份。向量題目的難度并不是很大，而是轉化起來存在困難，導致出現問題。在解決向量題目是，可以根據具體問題，從代數與幾何兩個角度著手轉化，切在實踐中反思，形成解決向量題目的妙招。

1.靈活“建系”，巧妙解答向量題目

遇到平面圖形的向量問題時，可以根據需求，靈活建立平面直角坐標系，然后在通過向量坐標運算巧妙地解決問題。這正是體現向量“代數化”手段的重要性，更是解決向量問題的妙招。

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點M，N分別是AB，BC的中點。若點P是ΔABC內部任意一點，那么AN·MP的取值范圍是 。

【分析】 該題目解決之前，首先要根據題意構建一個平面坐標系xcy，且將等腰直角三角形ABC置放于平面坐標系xcy中（如 圖1-1）。根據圖1-1可以發現，點A（1，0）， N（0，1/2），M（1/2，1/2）。設點P的坐標為（x，y），則可以得出么AN=（-1，1/2）；MP=（x-1，y-1/2）。

解（略）

【評注】 該題目是一道綜合性的題目，通過抽象思維很難找到出路，而通過建立一個平面直角坐標系，就能夠找到解題思路，同時還能夠找到切入點。“平移”是運用線性規劃解題過程中常常用到的技巧，在此題目中，就是運用“平移”技巧，建立不等式，最終解決問題。

2.構造“基底”，巧妙解答向量題目

平面向量問題往往較為抽象，看到題目只覺地眼花繚亂，根本不能夠抓住題目的切入點，更不能正確、省時地解決問題。如若遇到平面向量的相關問題，能夠根據具體情況，選擇一組恰當地基底，就能夠將繁瑣的問題化簡單的問題。選擇基底不能夠隨便選擇，而是要依據平面向量的基本定理和向量相關的知識點。選擇恰當基底e1、e2，就可以將原來的向量問題轉化成為e1、e2的代數運算的問題。

例2 （2015年福建高考題）已知AB⊥AC， |AB|=1/t， |AC|=t，若點P是ΔABC所在平面內的一點，且AP=，

則PB·PC的最大值為

【分析】 該題目中向量AP的表述非常繁瑣，這無疑在解題的路上置放了一個攔路虎，且教容易出現錯誤。此時，根據題意和平面向量的基本定理及相關向量知識，選定一組基底e1、e2，就可以將繁瑣的向量問題，轉化成為基底e1、e2的代數運算。構建平面坐標系，根據題意畫圖 如圖2-1

解（略）

【評注】 該題目中的單位向量垂直且不貢獻，

因此在換元的基礎上，將之作為一組基底，不僅能夠簡化書寫，還能夠簡化運算過程。

3.借助“圖形”，巧妙解答向量題目

向量具有“數”和“形”的雙重身份，因此在遇到向量問題時，不僅要能夠靈活地運用平面向量的加法原則和減法原則，還能夠明確其幾何意義，且能夠結合題意恰當的運用。因為對于抽象的問題，往往可以通過圖形進行簡化，且有助于找到正確的解題思路，從而順利地完成題目。

例3 在平面直角坐標系xoy中，O作為原點，A（-1，0）， B（0，）， C（3，0），動點D滿足|CD|=1，則|OA+OB+OD|的最大值是

【分析】 該題目單純依據思維，根本不能夠找到一個明確的解題思路。本題目可以根據題意將圖像畫在一個平面直角坐標系中，（如 圖3-1），將其抽象為一個以點O和點C為圓心的兩個圓。

解（略）

【評析】 將題意形成具體的某個圖像并不是解題的關鍵，該題目根據繪制圖形，處理的關鍵在于三點：一是，將向量OD分別成為OC與CD兩個向量；二是做向量ON，且是向量ON=CD；三是，靈活運用向量不等式|a+b|≤|a|+|b|取等號的充分必要條件。

向量題目可以通過轉化的方式，化難為易，化繁為簡，概括來講，就是從代數和幾何兩個角度進行。從代數角度來講，可以將向量問題實數化，從而運用數的性質加以處理；從幾何角度來講，向量問題可以運用數形結合思想加以處理。

參考文獻：

[1]滕傳民.平面向量題目的求解策略[J].中學數學.2012（09）

[2]蔣明建.破解向量難題 挖掘潛在信息[J].中學數學.2013（09）endprint