淺談初中數學例題教學的點滴體會

董俊劍

【摘要】很多教師對例題的教學往往只偏重于知識的傳授、解題技巧的訓練，有的甚至是就題論題，局限于問題的結果，而忽視了問題教學的更高層次—“問題延伸”。課本的例題是對鞏固知識、培養數學思想和創新意識的載體，具有很強代表性和示范性。教師在數學教學實踐中應加強研究，注意多解創新、變式引申和化歸推廣，引導學生思考發掘例題的潛在功能，為分析解決具體的數學問題提供了方向。

【關鍵詞】初中數學 例題 體會

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）11-0048-02

在初中數學教學活動中，教師要培養學生的學習積極性和主觀能動性，切實有效地引導學生學好基礎知識及例題分析，就能更好提高解題能力和數學思想方法的總結。因此，教師必須加強對教材中例題教學的研究，以提高教學效果和數學素養，下面具體談談個人的幾點體會。

一、找多解，求創新，集思廣益

當教師引導學生用不同的方法去尋求解題思路時，知識重現的范圍就會擴大，既復習已學的知識，又有利于深化知識；而且每解一題都會有一定的發現和積累，這樣，在一程度上就可提高解題能力和解題經驗、培養解題的創新精神。在日常教學中，可采取以下幾點的措施。

1.重過程，走捷徑

北師大版初中數學教材中有些問題在例題中，也有的在“探究活動”中，而這些問題的求解往往可以多思維、多方法求解；教學時，若只講一種解法寫出解答，而沒有深入探究、歸納和利用，就很難培養學生多種方法的解題能力。反之，在教學過程中若能準確地分析問題的條件關聯；就能找出解題捷徑，提高解題的簡捷性和合理性。

例1、關于x的二次函數的圖象經過點A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能確定這個二次函數的表達式嗎？

解法一：設二次函數解析式為y=ax2+bx+c這是本題所具有的明顯特征；

解法二：設二次函數解析式為y=a（x+m）2+k這是分析題目可以引申的方法。

評析：此節前已學過用一般式求二次函數的解析式，大部分學生容易想到用一般式求解；但對題目所給點的特征加以分析可以知道A，C兩點是對稱點從而得到點B就是兩次函數的頂點，因此可以利用頂點式來求解。因勢利導，讓學生用兩種方法板演對比，使大家清晰地領悟到數學問題的深入分析可以提高解題的簡捷性。

2.勤思考，試多解

在教學中，可讓學生對教材中一些例題嘗試一題多解，鼓勵他們從不同的角度、分析條件和結論之間的內在聯系，使學生在解題中更加積極、主動，充分發揮創造性。

例2、如圖，已知△ABC中，AB=AC，在AB上取一點D，在AC的延長線上取一點E，連接DE交BC于點F，若F是DE的中點。求證：BD=CE

證法一：過點D作DG∥AC，交BC于點G（如圖1），證明△BDG是等腰三角形得到BD=DG，進一步去證明△DFG≌△EFC得到DG=CE，從而得到BD=CE這個結論

證法二：在AC上取一點H，使CH=CE，連接DH（如圖2），證明CF是△EDH的中位線得到CE=CH，進一步去證明CH=BD，從而得到BD=CE

評析：本題的不同解答，使學生學會了幾種常用輔助線的添法及不同定理的靈活運用，對激發思維和培養思維的發散性起到重要作用。

3.既溫故，又知新

復習時，要用新的知識觀回顧以往例題，再尋找題目中條件與結論邏輯聯系的特殊性和普遍性，重新設計解題方案，讓學生在有限的問題研究中得到知識的互相滲透、深化和再創造，可讓學生站在更高一層次看待問題，學會用思維指導行為；也可以學會一種自主學習數學的方法，授之以漁；還可以橫向、縱向提升難度，拓展思路，訓練思維的作用。從而達到克服“題海戰術”的盲目性。

例3、如圖3，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，⊙O是以BC為直徑的圓，設AD邊上有一動點P（不與A、D重合），BP交⊙O于點Q。

（1）設線段BP長為xcm、CQ長為ycm，求y關于x的函數關系式和自變量x的取值范圍；

（2）當BP=CQ時，求△BQC與△PAB的面積比。

解：①由△BQC∽△PAB，得到y=（5

②S△QBC：S△PAB=CQ2：AB2=40：25=8：5。

當學習了解直角三角形和直線與圓的位置關系后，可重新回顧此題，引導學生用面積法思考圖形間的相互聯系。

另解：

①運用關系式：S△BPC=BP×CQ=xy，S△BPC=S矩形=×5×8=20；

②運用關系式：S△BQC=×8×y×sin∠BCQ，S△PAB=×5×x×sin∠APB，又證得∠BCQ=∠ABP，可得結論。

評析：通過上例運用三角形知識解決幾何問題，不僅使學生得到數學思想方法的訓練，而且能激發學生復習教材的興趣和提高學習的積極性。

二、巧引申，善變化，以少勝多

美國心理學家布魯納認為：“探索是數學的生命線。”對命題的引申、猜想是發現新知識的有效辦法，是數學教學發展的基本動力。在數學教材中有很多例題都具有很深的題材背景，為我們的數學教學研究提供了大量的引申素材。只要引申恰當，就能以少勝多，使學生能更深刻、更靈活地掌握有關的數學知識。當然，教師應根據學生的實際情況，確定具體的引申方法。

1.一題多問

根據學生的實際水平和教材中例習題的特點，對某些例題恰當地進行延伸提問，以一題變為一串問題，讓學生的思維得以順延并始終處于積極興奮的最佳狀態，從而加強教學效果。

例4、對于以上例3可繼續提問：（1）BP能否是CQ的2倍？為什么？（2）當時，求△BQC與△PAB的面積比和AP的長；

例5、已知：如圖4，△ABC和△ADE都是正三角形。求證：CE=BD。

可繼續提問：（1）AB交CE于F，BD交AE于G，求證：AF=AG；

（2）當C、A、D點在同一直線上時，求證：FG∥CD。

評析：通過對這些問題的解答，使學生對圖形中各元素間的關系有深入全面地了解，加強了有關知識的應用，提高了分析問題的能力。

2.一題多變

在日常教學時，可針對教材中例題的結構、圖形的特征，或把題設和結論相應地進行一些變化，讓學生在變化過程中觀察、對比、聯想，有助于培養思維的靈活性和應變能力。

例6、如圖5，已知一個直角三角板的兩條直角邊邊分別為30cm和40cm，現要求在內部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上。

（1）、如果設矩的一邊AB=xm，那么AD邊的長度如何表示？

（2）、設矩形的面積為ym2，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

在上面的問題中，如果把矩形改成如圖所示的位置，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？

評析：本題有助于對幾何變式的問題深入理解和數學思維的順延有著啟示作用，對知識的深入理解和綜合應用形成有效的訓練。

三、多反思，會推廣，難化易

任何學科的發展都應將繁雜的研究對象進行分類、研究，然后探求它們的內在聯系和獨立的特性。在數學教學中要經常總結各類例題的解題思路，形成解題系統方法，發展學生整體性思維能力，提高解題質量。

1.總結失誤的教訓

教學時，要注意加強解題過程中易發生錯誤性的教學，要盡可能讓學生反思得出的結論，使其對數學知識的膚淺理解能在課堂中表露出來，并得以糾正，有利于培養思維嚴密性和條理性。

例7、設x1、x2是方程x2-2（k-1）x+k2=0的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值。

解法一：

由韋達定理易解得k1=0，k2=4；當k1=0時，△>0；當k2=4時，△<0。∴k2=4不合題意，舍去。∴k=0。

解法二：

由韋達定理易解得k1=0，k2=4；∵△=4（k-1）2-4k2=-8k+4≥0，∴k≤ ，∴k2=4不合題意，舍去。∴k=0。

評析：當學生解得k1=0，k2=4時，往往以為解題已經結束。教師應啟發學生回顧一元二次方程有兩實根的條件及韋達定理的前提條件，思考得出以后結論。俗話說“吃一塹，長一智”，這樣，加深了對有關知識的理解和靈活運用，避免了以后出現習慣性的錯誤。

2.體驗數學思想方法

初中數學思想方法從宏觀上看有分類、歸納、類比、演繹、抽象、方程、化歸、建模、整體化、數形結合等。在日常教學中，不僅要使學生學好基礎知識和掌握基本解題技能，重要是把數學思想方法歸納、總結貫穿于教學之中，讓學生在解題時能準確地分析與運用。

例8、如圖6，已知矩形ABCD，AB=4cm，BC=8cm，把矩形沿對角線BD對折，使BC/與AD相交于點F。求：重疊部分△BFD的面積是多少？

評析：利用折疊原理的圖形特征進行轉化，求解△BFD的面積進而歸納為求線段FD的長度，進一步分析利用勾股定理的等量關系構造方程求解。

例9、如圖7、二次函數的頂點坐標A（1，-2），與x軸相交于B（-1，0），

問：拋物線上是否存在點C使得△ABC是一個直角三角形，若存在求出C點的坐標，若不存在請說明理由。

解法一：

分類討論分三種情況：以A、B、C為直角頂點，分別形成兩兩垂直的直線進而求解直線與二次函數的交點。

解法二：

利用整體的數學思想：描述出AB、AC、BC的三條線段長度，利用勾股定理的等量關系，構造方程求解。

評析：教學時，要對這兩種方法做詳細的分析，讓學生體會到分類討論與整體思想在數學解題中的重要運用。

笛卡兒說：“我所解決的每一個問題將成為一個范例，以用于解決其它問題。”綜上所述，教師講解課本例題時，不應是“授人以魚，只供一飯之需”，而應是“授人以漁，則終生受用無窮”。只要針對學生實際，充分挖掘教材的潛在功能，努力培養學生思維能力和解題習慣，就能使之正確、合理、簡捷、清楚地解決數學問題，達到提高教學質量作用。

參考文獻：

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