一道數學題兩種不同解法合理性的思考

陳冠基

摘要：小學數學教學應當在“數學直覺”這一方面教育學生，為學生的數學能力的發展做好鋪墊，本文就筆者與小學數學科組長們在Q群關于一道數學題兩種不同解法討論中出現的兩個不同答案究竟哪個答案合理進行的思考。

關鍵詞：數學題；不同解法；合理性；思考

最近，在我們區小學數學教師群，一位老師的問題引來老師們的熱議，以下是這位老師的問題和老師們的相關討論：師1、師2……代表不同教師）

師1：請問各位老師：

鋪一個長6米，寬5米的長方形客廳，用邊長為0.3米的方磚來鋪，至少需要多少塊這樣的方磚？

方法一： 方法二：

（6×5）÷（0.3×0.3） （6÷0.3）×（5÷0.3）

=30÷0.09 ≈20×17

≈ 334（塊） =340（塊）——實際上就需要這么多。

請問哪種方法更合理？

師2：從數學的角度考慮，我覺得是方法一比較合理。

師3：題中的關鍵字“至少”，選擇方法一，在實際鋪的話也是可以實現的。

師4：

師5： 如果采用方法一的話：長邊可以放20塊方磚，短邊由于不是方磚邊長的整倍數，放16排后還留有0.2米的空隙。這時還剩334-320=14塊。把這14塊都鋸掉0.1米，鋪上。還有6個空位，每個空位鋪上鋸下來的0.3*0.1兩個，最后還剩兩個0.3*0.1細條。

方法一的確夠鋪，可是難看，我想誰家都不會這樣鋪吧。所以現實生活中往往會選擇方法二。

師6：學生兩種方法都正確，但是方法二更合理。附效果圖

師7：建議把客廳改為長6米，寬5.1米。

師8：需要多少塊是可以切割瓷磚的，所以用方法一就好。

……

一番熱議，這個題目究竟哪個答案正確，或者兩個答案都可以？在部分老師的心目中還是不明確的，數學答案大多客觀性強，在實際教學中如果這個答案可，那個答案也可，實際上是模棱兩可，留在學生的腦中的，將會是什么？亞里士多德認為：“真理不掌握在老師手里，掌握在討論中。”對這兩種解題方法究竟哪一種合理且正確進行探究顯得十分必要。

一、從小學數學思維的角度思考

鄭毓信教授指出：小學數學教學應當在“數學直覺”這一方面教育學生，為學生的數學能力的發展做好鋪墊。師一所問這道題的內容屬于北師大版小學三年級數學長方形、正方形的面積《鋪地面》的知識的應用，要求鋪地用方磚的塊數，將總面積除以單位面積即可求得，學生在遇到此類問題采用這種方法解決，我想這就是此類問題解題的數學直覺。

例如以上老師討論的這道數學題，我認為從這樣的角度去理解，因為方磚是可以切割的，只要小方磚的總面積等于或稍大于長方形客廳的面積即可實現對這個客廳的鋪設。方法一將客廳的總面積除以一塊方磚的面積利用進一法得到至少334塊的答案，我想就是學生解題的“數學直覺”其正確性不用懷疑。

二、從小學生認知角度思考

小學數學思想應該是“就簡不容繁、好教不難學、直來直去不繞彎、好聽易懂不求全，由已知開頭，常識鋪路、順理成章”。從小學生的認知水平和認知角度分析，方法二相信絕大部分學生的理解應該是：“6除以0.3表示客廳長是方磚邊長的20倍，5除以0.3表示客廳的寬約是方磚邊長的17倍”，兩個倍數相乘得出塊數會讓他們迷惑，而小學數學的教育目標要求我們應當充分重視小學數學的特殊性，要幫助學生學會數學地思維，特別是所有的教學活動都不應脫離小學生的實際認知水平。

根據數學的理性精神，什么是數學的理性精神？借用一個事實來說明：“從中小學課程中，兒童們認識到他們所做的大多數事情是憑個人見解來判斷的，文章的質量、繪畫的質量或外語發音的好壞都是如此。甚至是明顯是以事實為基礎的學科，如歷史，也只得不予深究地加以接受。只有在數學中可驗證其確定性。告訴一個學生 第二次世界大戰持續十年，他會相信；告訴他兩個4的和為10，就會引起爭論了，借助已有的數學能力，學生們知道什么是對的，什么是錯的，同時還能自己驗證”。“至少需要要多少塊這樣的方磚？”拋開“美觀”這個角度（本道題其實也沒有從美觀這個角度作出要求）師6所述答案可以是334，也可以是340，是矛盾的，既然334塊夠鋪，顯然335塊、336塊……340塊（或者更多的塊數都夠鋪），在334塊至340塊這7個數量中選一個最少的數，根據數學的理性精神我想學生會正確選出，因有“至少”這個要求，所以這道題答案應該是多少塊就顯而易見了。

三、從美觀的角度思考

數學來自于生活服務于生活，新課標要求課堂教學內容注重緊密聯系現實生活，切實反映學生生活經驗，改變學生生活和現實世界相脫節的狀況，師4從美觀的角度來考慮這道題兩個不同答案的合理性是有一定道理的。但令人反思的問題是我們聯系生活經驗真的還不夠深入，還停留在習慣性思維，不假思索，想當然地認為鋪設完整塊方磚后將切割出來的方磚碎塊鋪設在客廳的一角，（見圖一）這樣鋪出來的效果當然不美觀，現實生活中，如果就給334塊這樣的方磚讓裝修師傅鋪設這個客廳，我想有經驗的裝修師傅也不會就這么簡單的將完整的方磚鋪完后，將切割出來的方磚碎塊鋪設在客廳的一個角落完事，他總會找設計人員“因材制宜”先設計一番再動工，以求裝修效果的美觀。

因為可以切割方磚，要實現一定的審美效果，根據數學與無限的關系，點組成線、線組成面，用無限的思想去考慮，只需將方磚無限切割成線、切割成點，就一定能實現客廳鋪設效果的整齊劃一。用這樣特殊化的方法，這道題只要將所有整塊方磚切割成0.1乘以0.3的小方條即可實現用最少的334方磚鋪設出整齊或一的效果。當然現實生活中沒有誰會這樣做，但受此特殊化方法的啟發，我們只需將鋪設長6乘以0.2米的空隙的磚塊全部切割成的0.3*0.1細條，均勻而藝術地用來作為間隔線即可實現鋪設效果的美觀。

綜上所述，方法一既符合題目用最少的方磚塊數，經過設計又能實現鋪設效果的美觀，師1所提的問題用方法一解答我認為是正確且合理的。

參考文獻：

鄭毓信.《數學思維與小學數學》[M].南京：江蘇教育出版社，2008.8

（作者單位：廣東省深圳市龍崗區教育局平湖教研中心 518111）endprint