立足生活經驗 發展數學思考

朱長和

【摘要】分數是小學生需要著重理解和掌握的重要的數，這不僅僅是由于分數在我們的日常生活中有著極其廣泛的應用，還因為學生通過分數的學習將有助于加深對整數和小數等知識的理解，進一步感受數學知識之間的內在聯系，從而形成良好的知識結構。筆者教學過《分數的意義》之后有一些思考，我們在教學中要引導學生以生活經驗為基礎，幫助學生理解分數的本質內涵；要加強比較，促進理解提升；必須以數軸來強化分數的意義在“數”上的拓展，加深學生對分數意義的理解。

【關鍵詞】 分數；本質；思考

分數是小學生需要著重理解和掌握的重要的數，這不僅僅是由于分數在我們的日常生活中有著極其廣泛的應用，還因為學生通過分數的學習將有助于加深對整數和小數等知識的理解，進一步感受數學知識之間的內在聯系，從而形成良好的知識結構。為此，在蘇教版教材中，分三次來學習分數的意義，三年級時學生曾經初步認識分數，知道把一個物體、一個圖形或由許多物體組成的整體平均分成幾份，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示。本單元主要是探索并理解分數的意義，探索并掌握分數的基本性質。在此之后，學生還將繼續學習分數的四則運算和混合運算，學習依據分數的意義分析和解答相關的實際問題。通過這單元內容的教學，不僅可以擴展學生對數的認識，而且能夠有效提升學生思維的抽象水平，促進其對現實生活中數量關系的進一步理解和把握。

一、以生活經驗為基礎，理解知識本質內涵

實踐表明，學生的生活經驗是教學內容的載體，是情感的誘因，是教學活動的平臺。本節課中，引導學生在相對抽象的層面進一步理解分數的意義是教學重點，同時也是教學難點。學生對數學概念的理解從來就不是一蹴而就的，而是不斷豐富、逐步完善、螺旋上升的過程。在構筑分數的概念時，主要分三個層次來幫助學生逐步豐富和完善對分數的認識。第一層次，出示蛋糕圖、長方形、一米直條圖和由6個圓圈組成的一個整體，引導學生聯系在此前活動中對分數的初步認識，借助圖形說說這4個分數所表達的意義，讓學生說一說是把什么平均分成幾份，表示這樣的幾份。第二層次，引入單位“1”的概念，加強對分數意義的理解。實踐證明，在分數意義的抽象過程中，認識單位“1”是建立分數意義的重要環節，而準確建立單位“1”的概念則是重中之重，這一方面是因為只有建立單位“1”的概念，不同情境中的分數才會有更高層面的一致性，分數的大小比較以及相關的四則運算也才能合乎邏輯地實施；另一方面，只有真正理解單位“1”的概念，學生才能更好地解釋具體情境中的分數含義，并在此基礎上分析和解決相應的實際問題。教學中通過問學生，剛才平均分的對象是什么，答案可以是一個物體、一個計量單位，還可以是由許多物體組成的一個整體，告知學生這在我們數學上可以用自然數“1”表示，即單位“1”，并讓學生說說生活中我們可以把哪些東西 當作單位“1”進行平均分，并展示“一群羊”“4千克蘋果”“一條線段”“一堆圓片”，幫助學生豐富單位“1”的概念。第三層次，帶入新知理解分數的意義，這里首先讓學生用單位“1”平均分來分別解釋、說明每個分數的含義；接著讓學生綜合這些分數“都是怎樣得到的數”，思考不同分數表示的含義的共同點，抽象出分數的本質特征；然后依據感受到并交流出的本質特征，引導學生“說出怎樣的數是分數”。出示“把（）看作單位‘1 ，平均分成幾份，表示這樣的幾份，得到分數（）”模板，指名讓學生說一說，并作相應板書。拋出問題“那分數是怎么得到的呢？”，就顯得水到渠成了，“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數就是分數。”美國認知心理學家奧蘇泊爾說過“影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學”。以上活動，從學生熟悉的生活經驗和知識基礎出發，有效喚醒學生原有“平均分”和“認識幾分之幾”的認識，經過三個層次的鋪墊點撥，逐步抽象出分數的本質內涵。這樣建立概念的過程，是一個感知具體事實，分析各個對象的含義，綜合各個對象的共同特點，抽象一類事物的本質屬性，進一步概括出概念的過程。這樣的教學既有效尊重了學生原有的知識經驗，適應了他們的學習需求，又加強了數學概念的抽象和表達過程，幫助學生進一步積累探索學習的經驗，感受數學的基本思想。

二、加強比較，促進理解提升

數學課堂對我們教師的要求是不僅要傳授知識和方法，更要注重學生思維品質的培養。有比較才有發現，為了讓學生更好地從本質上理解分數的意義，本節課設置了三個比較環節。第一次比較，用分數表示涂色部分，師：“三幅圖單位‘1相同嗎？那為什么都用分數四分之一表示？”生：“都是把單位‘1平均分成4份，表示這樣的1份，所以都用四分之一表示。”師：“對了，它們都是把單位‘1平均分成4份，表示這樣的1份，所以都用四分之一表示，和單位‘1具體是什么沒有關系。”第二次比較，師：“那是不是單位‘1是什么就不重要了呢？”出示，涂色表示出四分之一，師：“都是四分之一，為什么涂色三角的個數卻不一樣呢？”“看來單位‘1很重要，它決定著分數所對應的數量。第一幅圖是4個三角的四分之一，所以涂1個三角；第二幅圖是8個三角的四分之一，所以涂2個三角；第三幅圖是12個三角的四分之一，所以涂3個三角。所以單位‘1很重要。”第三次比較，用分數表示涂色部分，“這一次單位‘1相同嗎？涂色的方框的個數呢？既然都相同，為什么表示的分數卻各不相同呢？”“這樣看來，要準確表示一個分數，我們既要關注單位‘1是什么，還要關注單位‘1被平均分成了幾份，表示這樣的幾份”，同時進行課件演示，聯系上圖，“被平均分成的份數就是分數的分母，表示的份數就是分數的分子，這就是分數的意義。”通過這樣的三次層次的比較，為學生提供了豐富的感性素材，觸發了思維的火花，讓學生在求同辨異中主動進行抽象和概括，在思考中逐步明晰知識要點，在體驗中領悟知識本質，并積累數學抽象的活動經驗。而在教學中，則盡可能展示學生進行比較過程中的各種體驗和感悟，幫助他們將模糊的感受明朗化、零散的體驗系統化，從而實現數學活動經驗的有效提升。

三、以數軸強化分數的意義在“數”上的拓展

我們知道分數既可以表示兩個量之間的關系，同時也可以表示一個具體的數值，和整數相比，在刻畫事物的量的特性上分數顯得更加準確。本節課我們需要幫助學生體會：一是在隨便兩個分數間有若干個分數，著重讓學生體驗它的稠密性。二是在數軸上每個分數都有相對應的點。練習時，出示數軸（教學時說數直線），并說明：在數軸上，每一個數都有著對應的位置，比如我們之前學過的整數0、1、2、…可以這樣表示，并標上數字，“哪一段可以用單位‘1表示呢？”師，“上面這些分數分別是將單位‘1平均分成幾份，表示這樣的幾份？你能在數直線上找出這些分數的位置，并和大家說說你是怎么想的嗎？”（在學生說的過程中，課件出示這些分數對應的點）適時追問：“在這條數直線上，除剛才這些分數以外，你還能找到其他的分數嗎？說說這個分數的含義和在數直線上的大致位置范圍。像這樣的分數你找得完嗎？”通過以上的活動延伸，就可以讓學生比較深入地體會分數和整數、小數一樣也是一種數，初步感受分數的稠密性。

為了突破學生對分數的認識局限在0-1之間，在學生建立分數概念時，需要將學生的思維進行適當的拓展延伸。師：“在剛才的學習中，我們在數直線上找了一下分數對應的位置，那么請同學們繼續看數直線，分數僅僅存在于整數0-1之間嗎？在1后面你就找不到分數了嗎？比如我們在這個位置找到了四分之一，并且在數軸上數出了2個四分之一、3個四分之一，你還能繼續往下數嗎？”學生會順勢數出：4個四分之一 ，并且能判斷出4個四分之四就是1。之后老師讓學生接著往下數5個四分之一，6個四分之一是……在數的過程中學生自然又會自我懷疑，這些數是不是分數了，這時老師相機引領學生理解這里究竟是多少（指著四分之五處）。學生經過思考，認為是四分之五，馬上又有學生對此進行反駁，認為這個點所對應的分數應該比1大。教師這時及時追問：“在數直線上每一點都有對應的一個數，這個點對應的數顯然比1大了，而且還不能用整數表示，那么它是幾分之幾呢？怎么表示呢？”這一問題正是學生思維沖突最強烈的問題，而教學實踐表明，恰當的認知沖突對學生思維發展是至關重要的。學生就這一問題展開討論，最后形成共識：這個分數比1大，由5個四分之一組成，是四分之五，而后面的分數則可以此類推，同時教師指出：像這樣的分數，在后面我們將會進一步研究。在上述的教學中，學生根據以前的學習探究，對真分數已經能與數軸上的點進行了一一對應，但是由于之前沒有接觸過假分數，因此存在思維定式。今天的教學憑借數軸無限延伸的特征，讓學生及時打破思維定式，憑著整數和小數的學習經驗，引導學生進行知識遷移，感知在1后面還有無限多個分數，并且這些分數都比1大，同時通過這個過程，也可以讓學生更好地理解整數、分數和小數之間的相互關系，從而促進良好認知結構的形成。