換元思想在數列中的體現

張子玥

摘 要 換元思想是一種重要的數學思想，通過將一元或多元多項式用一個新元來代替表示。通過換元，可以使求解的題目達到化繁為簡的目的。換元思想在高中數學中運用廣泛，作為一類有效的解題方法，在數列中體現得極為明顯。本文結合換元思想在數列中運用的常見題型進行舉證。

關鍵詞 換元思想；高中數學；數列

中圖分類號 O1 文獻標識碼 A 文章編號 2095-6363（2017）17-0090-02

換元思想具體指的是在數列題的解答中，將某個結構復雜的式子看成一個整體，用一個變量來表示這個式子。換元又稱輔助未知數法、變元代換法，換元的實質是構造元和設元。通常可以化分式為整式，化無理式為有理式，從而使復雜的問題簡單化、明朗化。換元法的廣泛應用顯示了換元思想在高中數學中的強大地位，也顯示這一方法對于高中數學學習的重要程度。

換元法是解決數列問題常用的數學方法。合理地進行換元，能凸顯隱含條件，溝通復雜代數式間的關系。換元思想的關鍵是選擇合適的換元對象，確定合理的換元方式可以把數列題變的簡單。換元思想主要應用在數列的通項公式、數列求和等問題中。下面將介紹幾種常用的在數列中的換元思想。

1 整體換元

整體換元是指在題目的已知或未知中，某個代數式或多項式幾次出現。為了減少題目的復雜程度，需要用一個變量（如一個字母）來代替它，從而簡化問題，有時候還需要通過適當變形，才能發現可被換元的整體。

1.1 簡單數列題目中的整體換元

例1.計算（a1+a2+…+an-1）（a2+…+an）-（a2+…+an-1）（a1+a2+…+an）

此題如果多項式逐一乘開，計算過程將變得非常復雜。閱讀題目，我們可以發現，幾個多項式中均有一個相同部分a2+…+an-1，這時如果考慮應用整體換元，運算起來會方便許多。

設a2+…+an-1=x

則原式可轉化為（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an）

在經過化簡，可得出結果為a1，an

本題利用整體換元，把a2+…+an-1當成一個整體帶入原式，化復雜多項式為簡單多項式。這樣問題就能被快速解決，不僅提高了做題效率，還大大減少了做題時間。可見整體換元在數列問題中十分常見。

1.2 復雜題目中的整體換元

當所求數列形式較為復雜時，也可以利用換元思想。以下是幾種常見整體換元的模型。已知數列的遞推公式，求通項公式時，如果數列的遞推公式形如：

an-1=an+pan-1an（p≠0）

則可以進行化簡成，這樣數列就轉變成{}的等差數列，先求出此數列的通項公式，再進行轉換，即可求出an。

當遞推關系為an+1=pan+q（p，q為常數，p≠1）時，可對此數列進行適當變形成把括號里的式子當成整體，得到一個新的等比數列，求出此等比數列的通項公式，即可求出原數列的的通項公式。形如：an+1=pan+qn（p，q為常數，且q≠0）的數列也可以用上述換元思想進行代換。

例2.已知p≠0，數列{an}滿足：a1=2，an+1=pan+1-p（n∈N*），求數列{an}的通項公式。

解：∵an+1=pan+1-p（n∈N*）

∴an+1–1=p（an-1）（n∈N*）

∴{an-1}是以2為首項，p為公比的等比數列

可得an-1=pn-1

所以an=1+pn-1

整體換元思想在高考中是一種常見的解題思路。這類問題的處理方法是將一個復雜數列，往特殊數列進行轉化。先求出特殊數列的通項公式，進而得到原數列的通項公式。

利用換元思想解決數列問題時，要遵循數列的一般原則，在對元進行轉化時要注意定義域是否發生變化。

2 倒數換元

在高中數學中，倒數換元也是一種常見的數列換元方法。一般是將數列已知條件的分式化為整式，進行換元計算。

例3.已知數列{an}中，a1=-1，an+1an=an+1-an，求數列{an}的通項公式？

對于此類數列問題，我們可以把已知條件進行適當變形，構造出一個新的數列，通過求此數列的通項公式，即可求得原數列的通項公式。

解：an+1an=an+1-an

設數列{bn}是以b1=-1為首項，公差為d=-1的等差數列

由此可以看出，通過倒數換元可以化分式為整式，把原來繁瑣的分式結構進行轉換，通過計算整式來求分式，大大縮短了做題時間和題目難度。倒數換元也是數列題中常出現的一種換元技巧。

3 對數換元

當數列中出現對數或有指數時，可以把已知條件通過適當變形，再進行對數換元進行求解，一般兩邊去對數。但要注意的是，去對數之前，要注意對數運算的基本原則，保證數列各項系數均為正數，才能進行對數換元。

例4.已知數列{an}中，a1=4且滿足an+1=an2，求數列{an}的通項公式。

觀察通項公式可以發現項與項之間存在對數關系，對式子進行變形

log4an+1=log4an2=2log4an則可以求解。

4 三角換元

三角換元在數列中也經常出現當數列的遞推關系中有根式或兩項的平方為一特殊定值時，如

可以考慮運用三角函數的換元思想來解答數列問題。三角換元主要應用三角函數的特殊性質，對復雜的數列問題進行特殊轉換，利用代數式與三角函數之間的關系進行換元。代數問題作三角代換，轉化為三角問題，便于應用三角函數的有關公式，性質等解決問題。

常見三角函數關系如下：

倒數關系：①tana cota=1；②sina csca=1；③cosa seca=1；

商數關系：①tana=；②cota=；

平方關系：①sin2a+cos2a=1；②1+tan2a=sec2a；

③1+cot2a=csc2a；

例5.已知數列{an}滿足a1=a，an+1=2an2-1，求數列{an}的通項公式。

觀察數列的遞推公式，不難看出an+1=an2-1很像，所以，可以把數列問題轉換成三角函數進行求解。設，可以得出。

例6.已知數列{an}，（n≥2，n為正整數）求數列{an}的通項公式。

解：通過計算a2，a3，a4等，觀察出數列{an}的極限是2

所以可用不動點方法解

解得x=1或x=2均不合題意

由此可以看出，如果數列的遞推關系式能用三角函數關系進行轉化，就可以考慮用三角代換的方法。運用高中所學的三角函數的基本性質，進行換元化簡，使數列難題變得簡單。

5 結論

本文主要介紹換元思想中的整體換元、倒數換元、對數換元、三角換元在數列中的應用。通過換元思想引入新的變量，可以把分散的已知條件清晰地聯系起來，也能使隱含的條件漸漸顯露出來，使條件與結論之間有更直接的聯系。換元思想能使數列中復雜和陌生的數學表達式變的簡單和熟悉，使數學表達式得到簡化，表達式間的邏輯關系更加清晰，使抽象的代數式更為具體。可見，換元思想是數列題中的一種常見思想。

參考文獻

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