基于“分段函數”的高職數學探究式教學案例研究

馬祥玉　張琳

【摘要】高職數學是培養學生科學思維的基礎，它在培養學生綜合素質和專業技能方面發揮著不可替代的作用。在職業教育改革的深化和擴展環境下，探索與改革新的高職數學教學模式，提高學生的積極性和教學效果迫在眉睫。本文結合《高等數學》中《分段函數》這一內容，通過創設情景、引入新課，猜想質疑、探究結論，實際應用、反思體驗和引導小結、布置作業一系列的教學環節，探索構建“以學生為主體，以教師為主導”的探究式教學案例，創造務實高效課堂，切實提高高職數學的教學質量。

【關鍵詞】高職數學；探究式教學；分段函數

【中圖分類號】O174 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）06-0291-02

目前，高職教育正處于創新改革發展時期，課程建設與改革是高職教育提高教學質量的核心，教學改革改到難處是課程，改到深處是教學，改到痛處是教師。在這場改革創新中，很多新的教學理念和教學模式層出不窮，被大家關注、引進、探索，這對于高職教育的發展具有積極的促進作用。

高等數學作為高職院校的公共基礎課，對學生后繼專業課程的學習和思維方式的培養起著重要的作用。但是，高職學生的數學基礎薄弱，知識儲備有限，理解數學知識的能力不足，再加上課時少、內容多和傳統的授課模式，學生的學習基本上就變成了被動的聽、講、練習、記憶、考試，從而導致學生產生厭學情緒，對數學的學習喪失信心，積極性不高，教學效果不理想。因此，探索與改革新的高職數學教學模式，提高學生的積極性和教學效果迫在眉睫。探究式教學倡導學生的主體作用，在教學過程中，學生在老師的指導下，通過以“自主、探究、合作”為特征的學習方式對當前教學內容中的主要知識點進行自主學習、深入探究并進行小組合作交流，實現教學目標。探究式教學的教學模式的設計形式多樣，根據學生自主獲取的信息的不同程度，可分為接受式探究和發現式探究，不管何種方式，其核心是探究，通過探究過程獲取信息、獲得知識，達到學習的目的。

一、《分段函數》為例的探究式教學案例研究

分段函數隸屬于函數的內容，在實際生活中的應用非常廣泛。函數是微積分中最基礎的內容，通過學習函數，可以培養學生的邏輯思維能力、拓展思維以及解決問題的能力；應用函數，可以提高數據運算的速度，從而提高工作效率。而分段函數是一類特殊的函數，是在學生學習了函數的定義、定義域、一般函數關系式的建立后進行學習的內容，學好本節內容可以更好地理解函數的定義，為后繼極限、連續等知識的學習奠定基礎。

1.創設情景，引入新課

師：大家坐過出租車嗎？出租車是怎么收費的呢？（以生活中的實際案例引導學生思考分段函數的計算方法）

生：出租車收費先有一個起步價，然后是按每公里計費。

師：對，坐過出租車的同學應該都知道，以我們城市為例，起步價8元（2公里以內（含2公里）），之后1.4元/公里。因此，如果我乘坐1.5公里的出租車，應收費多少？（引導學生思考計算）

生：8元（幾乎所有學生能快速給出答案）

緊接著進一步提問。

師：那大家再幫忙計算一下，如果我乘坐10公里呢？（引導大家動手計算）

讓學生在短時間內完成實際問題的計算，目的是讓學生體會到這類問題的計算方法，從而引出這節課的主題，也為本節課的探究教學作了一個良好的開端。

2.猜想質疑，探究結論

先以一個一般的分段函數為載體，如：

首先讓學生畫出其圖形，觀察圖形并思考：

問題1 分段函數的定義域的求法。

引導學生觀察圖形，不論x取何值，都有相應的圖形與之對應，即函數表達式都有意義，因此可以明顯得出分段函數的定義域：把每一段函數的自變量的取值范圍合并起來。

部分學生能夠正確地計算出答案，但大多數的學生剛開始不知如何計算，這時，教師展示此分段函數的圖形，引導學生觀察圖形，當x的取值不同時，對應的圖形可能就不一樣，這樣計算出來的函數值就不同。給予學生充分思考的機會，讓學生分組討論，當x=-1，x=4時，函數值應該如何計算？如果沒有圖形，如何從函數關系式本身去計算相應的值呢？三分鐘后，每一小組派代表說明討論結果，教師點評并分析總結分段函數求函數值的計算方法：首先判斷x的取值屬于哪一段范圍，繼而把x的取值帶入相應的函數，計算出函數值。通過分組思考討論能夠培養學生積極主動的學習態度，培養團隊合作的意識，讓他們體會到數形結合的思想和探索真知的曲折過程。

3.實際應用，反思體驗

在學生充分理解分段函數定義域和函數值的意義后，舉一反三，讓學生在實際問題的應用中進一步掌握理論知識。

（1）分段函數定義域及函數值的計算

例1.引導學生自己動手練習，主動上臺講解計算過程及計算結果，教師點評，學生互評，這樣既可以鍛煉學生自我表現能力，又能鍛煉表達能力，通過師生互評激發學生思考問題和主動回答問題積極性。

（2）實際問題中分段函數關系式的建立

在現實生活中，分段函數的計算隨處可見，如出租車計費，居民家庭水、電的計費，產品銷售所得的收入，教師薪酬，個人所得稅金額等等，這些問題制定的標準越詳細計算就越麻煩，如果我們能先建立好函數關系式，那么計算就可以隨之簡化。

例2.某工廠生產某種產品若干臺，每臺的售價為200元，當年產量超過500臺時，超過部分只能打9折出售，這樣可以賣出300臺，若再多生產，則本年就銷售不出去了。試求：（1）產量為300臺時的總收入；（2）產量為650臺時的總收入；（3）產量為900臺時的總收入。（4）產量為1000臺時的總收入。

師：大家先計算一下答案。

生：太麻煩了。

讓學生嘗試計算，在計算過程中，大多數學生感到計算太麻煩了，因為在4個問題的計算中，有的需要重復計算，有的學生算了2個問題后就開始厭倦。

師：這個問題計算起來確實有點繁瑣，但這還不是最麻煩的呢（學生開始抱怨，還有計算更麻煩的題啊），因此，大家想一想，如果能像我們前面的例題一樣有函數的話，是不是直接把這些數據代入到相應的函數中去計算就行了呢？

經過教師點撥，學生茅塞頓開，精神抖擻，開始思考怎樣寫函數。顯然，這是一個分段函數。學生不斷地討論、分析，剛開始寫出來的函數漏洞百出，如：有的學生寫的第一段函數為y=200，有的學生第二段函數為y=200x+（x-500）·200·0.9，或者函數的范圍表示有問題，或者總共只有兩段函數，（下轉289頁）（上接291頁）而將數據代入后與實際情況明顯不吻合。

經教師不斷提示、學生不斷修正，最后大多數學生都能正確地寫出函數關系式。同樣，我們請出勇于表現自我的同學上臺為大家講解該題的解題思路。分段函數建立好后，把4個問題的數據代入相應的函數關系式，問題就迎刃而解了，計算過程也得到了最大程度的簡化。在這個不斷探討、不斷修正的過程中，讓學生明白真理是在不斷摸索、不斷求證、堅持不懈的過程中得到的。

例3.從2011年9月1日起，修改后的個稅法正式實施，個人所得稅起征點提高至3500元，稅率由九級改為七級，其中前三級稅率情況如下表（注：全月應納稅所得額=月收入-3500元）。

試求：（1）若某人月收入為2500元，個人所得稅為多少？

（2）若某人月收入為4500元，個人所得稅為多少？

（3）若某人月收入為8500元，個人所得稅為多少？

學生分組討論，解決該題。同樣的分段函數問題，經過上一題的探討后，學生掌握了分段函數關系式建立的內涵，能夠快速地捕捉到問題的核心，當然，此題有一個關鍵的概念對確定函數分段點和建立函數關系式本身有著至關重要的作用，即全月應納稅所得額=月收入-3500元。

4.引導小結，布置作業

引導學生將所學內容與前后的知識相聯系，抓住知識之間的內在聯系，解疑設懸，讓學生課下自愿地去探索、探究，起到課斷而思不斷，言盡而意不盡，同時，也能為下一節課作好鋪墊。這樣能使學生更好地反思學習過程，理清脈絡，加深記憶、鞏固知識，活躍思維，發展興趣。

二、教學評價

《分段函數》的內容比較理論，但在實際生活和工作中的應用比較廣泛。我們在教學中通過創設情景、問題引領的方式，充分發揮學生的主觀能動性，培養他們團隊協助的意識，自主交流探索、口頭表達等多方面的能力，在對問題的不斷探討和修正中落實教學目標。

三、結束語

“以學生為主體，以教師為主導”構建務實高效課堂。在課堂教學中，學生是學習的主體，只有學生有學習的興趣、求知的欲望，認真的態度，良好的方法、習慣，學習的目標才能最終得以實現。在探究式教學中，教師的任務就是緊緊的圍繞學生的學習，激發引導其興趣，指導其方法，主導其方向，使學生學有所獲、學有所樂，學會學習，良性發展，在自主輕松愉快中完成學習任務。

參考文獻

[1]田寶倉.對高職學院數學建模案例教學的探究.職教論壇，2011（05）.

[2]楊鵬.高職數學教學中的案例教學法分析.教育時空，2016.

[3]劉洋.案例教學法在高職院校數學教學中的應用.延安職業技術學院學報，2016（02）.

第一作者簡介：馬祥玉，出生年月：1981年3月，女，籍貫：四川宜賓，民族：漢，政治面貌：中共黨員，學位：碩士研究生，工作單位：四川現代職業學院旅游系，職稱：講師。