借助多種直觀模型突破分數認識困難

袁奮明

摘 要：認識分數是學習分數的起始課，學生從自然數的認識到分數的認識，是對數的認識的一次拓展和飛躍。有的小學生表面上很容易就認識了分數，但他們真正的理解分數嗎？學生在理解分數過程的障礙是什么？通過對分數認識這個課題的研究，我終于找到了幫助小學生理解分數意義的途徑—借助多種直觀模型，幫助學生體驗分數含義的多重性，體驗分數含義的復雜性，逐步提升兒童在抽象的水平上理解分數。

關鍵詞：直觀模型；體驗；分數認識

一、要厘清分數是“行為的分數”還是“定義的分數”

一對對的數字，例如1/2，2/5等，或者短語。“二分之一，五分之二”等并不是“分數”它只是代表分數概念的符號或者語言。一般來說，學習分數不能直接從這些符號入手，而是從分數的“產生”入手。即理解分數首先從“行為”（平均分物體）入手，而不是從“定義”（形如b/a，a≠0）入手。只有學生經歷并體驗了把一個“整體”平均分為各個部分，所“關注”的部分與整體之間的關系可以用一個新的數來表示之后，才可以給出分數的“符號”表示，并建立“行為”與“符號”之間的一一對應關系。只有經歷這樣的過程，學生才能逐步理解分數的概念。即學生理解分數是從“行為”開始的，這是從“率”的角度來理解分數。

二、借助于多種直觀模型理解分數的含義

在小學階段主要學習“行為的分數”，教材中往往以學生熟悉的日常事物與活動模型，建立分數的概念。例如把一個月餅平均分成兩份，其中的一份兒是1/2個；把一張紙平均分為四份，其中的一份是1/4。這僅僅是從“面積模型”的角度來理解分數，學生理解分數可以借助于多種“模型”。

1.分數的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分數

學生最早接觸分數概念及其術語可能與“空間”有關，而且更多的是“3—維”的，而不是“2—維”的，例如，半杯牛奶，半個蘋果……

學生最早是通過“部分—整體”來認識分數，因此在教材中分數概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”，取其中的一份兒或幾份（涂上“陰影”）認識分數的，這些直觀模型即為分數的“面積模型”。

對于“平均分”，兒童有豐富的經驗。為他們認識分數的面積模型，或者從“部分—整體”的角度認識分數打下了堅實的基礎。但是對于分數的“面積模型”，在學習過程中學生經常遇到一些困難。如：

（1）能否認識到圖形“面積相等”的必要性，即“整體1”是否一樣大。

（2）是否習慣于由圖形語言到符號語言表達的轉換，初步學習分數時對分數的特有表示方法不能立即掌握，需要有熟悉、習慣的過程。

（3）理解大于“整體1”的分數。

（4）從表示多余一個“單位”的圖形中確定誰作為“單位”。

例如，對于有兩個同樣大小的正方形都被平均分成四份，其中四份都涂了顏色，另一幅其中涂了兩份，對于這樣的圖形，學生的回答是6/8，而不是6/4。這時用“面積模型”認識分數就帶來了困難。分數被理解為表示“單位面積”（關鍵是哪部分是“單位面積”）的子面積，被理解為“整數的部分”，這就為兒童理解假分數帶來了困難。

2.分數的集合模型：用集合的“子集—全集”來表示分數

這也是“部分—整體”的一種形式。與分數的面積模型聯系密切，甚至幾乎沒有區別。但學生在理解上難度更大，關鍵是“單位1”不再真正是“1個整體”了，而是把幾個物體看作“1個整體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”。例如，在一個集合圈內，有涂色長條3個，白色圖形2個，那么圖中，“涂色長條”占全部“長條”的3/5。分數的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體1”。

分數的集合模型的優點是有利于用比較抽象的數值形式表示“比”與“百分比”。例如又一幅圖：有5個同樣的長方形條，其中3個是涂色，2個是白色的，這是一個離散的量，這時我們把分數看作是“算子”，即把分數看作是一個“映射”。例如“涂色長條”與“白色長條”之比為3∶2，或者寫為3/2。

3.分數的“數線模型”：數線上的點表示分數

分數的“數線模型”就是用“數線”上的點表示分數。它把分數化歸為抽象的數，而不是具體的事物。對這個模型的理解需要學生更高的抽象水平的抽象能力，甚至有的初中生對用“分數”表示點仍然感到困難。分數的“數線模型”與分數的“面積模型”有著密切的聯系：一個分數可以表示“單位面積”的“一部分”，也可表示“單位長度”的“一部分”。前者是2維的，后者是線性的，是1維的。

“數線模型”是“數軸”的前身，是數軸的“局部放大”和“特殊化”，是用“點”來刻畫“分數”。

三、結論

根據上述分析可以看出，我們對分數的理解可以從多個角度，借助多個直觀模型，其抽象水平越來越高，因此在分數的教學設計時要注意：

1.提供多樣的模型

提供多種不同的“實物模型”，在“分割”中使兒童逐步體驗分數的解釋的多樣性與表示法的多樣性。

2.把握抽象水平

精心設計，精心控制，逐步提升學生在抽象的水平上理解分數。分數的每一種解釋都與某一種特殊的認知有關，如果忽略了其中某一必要的認知結構，可能導致學生缺乏關于分數某些方面的理解。有的學生可能對于日常生活中分數的某些應用有很好的理解，但換一種情境就感到困難。例如，一方面他們能把3米長的木條等分成5段，并取其中的三段，每段為60厘米。但他們卻不理解：3÷5=0.6。

3.學生對分數的抽象理解過早或過晚都不利于學生的發展

學生對分數的不同理解存在顯著的個體差異，有些學生很早就能在抽象水平上理解分數，而另一些則需要等待很長的時間。

為此，一開始就要利用不同的實物模型，從平均分中幫助學生體驗分數含義的多重性，體驗分數含義的復雜性。

參考文獻：

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